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1、无限长单位冲激响应数字滤波器（IIR）的设计方法,航天学院 控制科学与工程系 金晶,第六章 IIR数字滤波器的设计,6.1 滤波器的基本概念； 6.2 模拟低通滤波器设计； 6.3 冲激响应不变法； 6.4 双线性Z变换法；,6.1.1 滤波原理,6.1 滤波器的基本概念,若 中的有用成分 和希望去除的成分 各自占有不同的频带, 通过一个线性系 统可将 有效去除.,分类: 低通(LP), 高通(HP), 带通(BP), 带阻(BS),加法性噪声,经典滤波器,6.1.2. 经典滤波器与现代滤波器,对于经典滤波器来说，每一种又有模拟(AF)、数字(DF)两种滤波器。对数字滤波器, 从实现方法上,
2、有IIR滤波器和FIR滤波器之分, 系统函数分别为:,FIR DF:,IIR DF:,现代滤波器,维纳滤波器是这类滤波器的典型代表,包括：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预 测、自适应滤波器,乘法性噪声,卷积性噪声,信号的频谱和噪声频谱混迭在一起，靠经典的滤波方法难以去除噪声。目标：从含有噪声的数据记录(又称时间序列)中估计出信号的某些特征或信号本身。,6.1.3 滤波器的技术要求,低通：,归一化,单位 (dB),如：若通带截止频率处幅度下降到 0.707, 则幅平方下降 0.5 （半功率点），则,若阻带截止频率处幅度下降到 0.01：,高通：,带通：,带阻：,LP, HP,BP, BS,2).
3、 设计出一个 ，使,1). 给定所设计的滤波器的技术指标：,6.1.4. 数字滤波器设计的一般步骤,滤波器设计与具体的输入信号无关！,给定数字滤波器的技术指标 （更多）,数字IIR滤波器设计的具体步骤：,6.2 模拟低通滤波器的设计,6.2.1 概述,上面两式将要求的衰减和模拟滤波器的幅度特性联系了起来。注意，由于衰减指标只有两个，因此也只能和幅度特性的两个特殊频率相联系。,1. 巴特沃思(Butterworth)滤波器,2. 切比雪夫I型(Chebyshev-I)滤波器,模拟低通滤波器：,1. Butterworth低通滤波器幅度平方函数：,求滤波器的阶次,6.2.2 Butterworth
4、滤波器的设计,2. 构造幅平方特性与系统传递函数关系,？,极点分配：取s左半平面的极点；零点以虚轴为对称轴的任意一半,全部极点为：,即 个极点均匀分布在 平面半 径为 的圆上，应取左半平面的 个作为 的极点，右半平面的 个作为 的极点。,对于巴特沃斯滤波器：,N为偶数时： 的极点（左半平面）成共轭对，由N/2个 二阶系统级联构成。 N为奇数时： 由一个极点在负实轴的一阶系统和(N-1)/2 个二阶系统级联构成。,二阶子系统：,N为偶数的系统函数为：,N为奇数的系统函数为：,3.巴特沃思滤波器幅频响应的特点:,“最平”幅频 响应滤波器.,例：设计模拟低通 Butterworth滤波器,Step1
5、. 求N,Step2. 求极点,Step3. 求系统函数,N=3.249，取N=4,或计算出N后查表得到滤波器的各项系数,6.2.3 切比雪夫I型模拟低通滤波器设计,1、引言,巴特沃思滤波器无论在通带与阻带，都随频率单调变化， 因而如果在通带边缘满足指标，则在通带内指标会富裕。 因此我们希望找到一种滤波器，使得它的指标精度均匀 分布在通带内或阻带内。,切比雪夫滤波器的幅度特性就是在一个频带中，具有等波纹 特性的滤波器。,切比雪夫I型：通带中等波纹，阻带中单调 切比雪夫II型：通带内单调，阻带内等波纹 椭圆函数滤波器：通带和阻带中都呈现均匀分布（或等波纹特性）,2、切比雪夫I型滤波器,幅度平方函
6、数：,其中： 为小于1的正数，表示通带纹波大小； 为归一化频率， 代表截止频率； 是N阶切比雪夫多项式，定义为：,切比雪夫多项式的特点：,当 时：,的多项式,的确是 的多项式,首项系 数是,当 时：,因此，对于式 来说， 越大， 越大； 越大， 越大；,因此，当 时，滤波器的幅频特性是单调递减的。,切比雪夫I型滤波器,在截止频率左侧， 在-1，1之间等波纹振荡， 在0,1 之间等波纹振荡； 在1,1+ 之间振荡； 在截止频率右侧，幅频特性单调下降；,(1) 当 等于0，N为偶数时，,N为奇数时，,(2) 当 时，,在通带内， ， 在 之间等波纹振荡；,(4) 在通带外，随着 增大， 单调趋近于
7、0.,3、切比雪夫I型滤波器的设计步骤,已知切比雪夫低通滤波器的通带截止频率 ，阻带截止频率 ，通带最大衰减 ，阻带最小衰减 ，设计,(1) 求,(2) 求N,令： ，则根据阻带最小衰减，有,有：,最后导出：,切比雪夫滤波器的极点分布,得到：,令,判断S的首项系数得到：,最终：,6.3 用冲激响应不变法设计 IIR DF,给定数字滤波器的技术指标 （更多）,转换成模拟滤波器的技术指标 （更多）,转换成模拟低通滤波器的技术指标,设计模拟低通滤波器,得到模拟高通、带通、带阻滤波器,得到数字高通、带通、带阻滤波器,6.3.1 基本思想,冲激响应不变法是使数字滤波器的单位冲激响应序列h(n)模仿 模拟
8、滤波器的单位冲激响应 ，即将模拟滤波器的单位冲激 响应加以等间隔抽样，使h(n)正好等于 的抽样值。,数字滤波器经抽样后的抽样序列为 ，其拉普拉斯 变换为,模拟滤波器的单位冲激响应为 ，其拉普拉斯变换为,而抽样序列 的z变换为,则当 时，抽样序列的z变换就等于其拉普拉斯变换。,回顾1：,抽样序列Z变换与抽样序列拉普拉斯变换之间的关系？,时域抽样，则频谱将以抽样频率 为周期的周期延拓。,抽样序列拉普拉斯变换与模拟滤波器拉普拉斯变换之间的关系？,回顾2：,则：,从上面的式子看，抽样序列z变换与模拟滤波器拉普拉斯变换 之间的关系，就是由复变量s平面到复变量z平面的映射。,s平面用直接坐标表示：,z平
9、面用极坐标表示：,则：,其映射关系为,s平面到z平面 的映射是多值 映射。,6.3.2 模拟滤波器的数字化方法,将模拟滤波器的系统函数 展开部分分式形式：,其相应的冲激相应 是 的拉普拉斯反变换,数字滤波器的单位抽样响应,对 求z变换，即得到数字滤波器的系统函数,6.3.3 冲激响应不变法设计低通滤波器 的步骤,线性转换关系,特点:,6.3.4 例子,利用脉冲不变技术，把,转换成数字滤波器H(z)，其中 T=0.1。,首先，用部分分式展开,极点为,所以,解：,6.4 双线性变换设计IIR数字滤波器,6.4.1 冲激响应不变法的缺点,频域有可能混叠：,6.4.2 双线性变换的思想,使数字滤波器的
10、频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法。,1）压缩变换：S平面S1平面,令：,3）S平面 z平面,2）S1平面 z平面,或z-s,这一映射关系是单一的，也就是S平面与Z平面是一一对应的。,4）模拟频率与数字频率之间的关系,令,s平面虚轴 映射为Z平面的单位圆，且有模拟角频率 与 数字角频率 间的关系,5）变换常数k的确定：k被称为频带调节系数,它可以把模拟滤波器的某一频率调整到要求的数字滤波器 对应的频率处。让数字滤波器在低频处与模拟滤波器有相 同的特性：,如低频处：,如,6.4.3 例子,设有一个模拟滤波器 抽样周期T=2， 试用双线性变换法将它转变为数字滤波器系统函数。,2. 给
11、定模拟滤波器指标,求用巴特沃思滤波器实现时所需的阶次N，滤波器的 截止频率 以及滤波器的系统函数 的表达式。,3. 导出二阶切比雪夫系统函数，已知通带波纹为1dB，归一 化截止频率为 。,4. 试用双线性变换设计一个一阶的巴特沃思低通滤波器，已知 其截止频率为 ，采样周期T=2。,1.解：,由变换公式,及,可得,T=2时：,2.解：,1）求N：,解得,2）求3dB处的截止频率,得,取,3）利用查表得到N=6的归一化系统函数,又,得,巴特沃思滤波器分母多项式 的系数,切比雪夫滤波器分母多项式 的系数,3.解：,1）求 ：,2）查表得归一化的二阶切比雪夫滤波器系统函数,又,4.解：,由于所要求的数字滤波器是一阶的，所以，该数字滤波器对应 的模拟滤波器也是一阶的，则归一化的巴特沃斯模拟滤波器传 递函数为,由数字滤波器的截止频率得到模拟滤波器的截止频率：,最后得到,则数字滤波器,5.用双线性变换法设计数字低通滤波器（采用巴特沃思方法）模拟滤波器通带边缘1kHz处的增益为3dB，12kHz处的阻带衰减为30dB，采样频率25kHz。,具体参数如下：,模拟角频率、数字角频率之间的关系,
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