实验二 参考 快速傅立叶变换及其应用

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1、实验二快速傅立叶变换(FFT)及其应用、实验目的1.在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT的理解，熟悉FFT子程序。2熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法3.了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题以便在实际中正确应用FFT。二、实验原理在各种信号序列中，有限长序列信号处理占有很重要地位，对有限长序列，我们可以使X (k) = S x(n)W knNn=0，用离散Fouier变换(DFT)。这一变换不但可以很好的反映序列的频谱特性，而且易于用快速算法在计算机上实现，当序列x(n)的长度为N时，它的DFT定义为:.2nx( n)=丄 S X (k )W - kn有限长序列的

2、 DFT 是其 Z 变换在单位圆上的NNk=0等距采样，或者是序列Fourier变换的等距采样，因此可以用于序列的谱分析。FFT并不是与DFT不同的另一种变换，而是为了减少DFT运算次数的一种快速算 法。它是对变换式进行一次次分解，使其成为若干小点数的组合，从而减少运算量。常用的 FFT是以2为基数的，其长度N=2L，它的效率高，程序简单使用非常方便，当要变换的序 列长度不等于2的整数次方时，为了使用以2为基数的FFT，可以用末位补零的方法，使其 长度延长至2的整数次方。在运用DFT进行频谱分析的过程中可能产生几种问题：(1) 混叠序列的频谱时被采样信号的周期延拓，当采样速率不满足Nyquis

3、t定理时，就会发生频 谱混叠，使得采样后的信号序列频谱不能真实的反映原信号的频谱。避免混叠现象的唯一方法是保证采样速率足够高，使频谱混叠现象不致出现，即在确定 采样频率之前，必须对频谱的性质有所了解，在一般情况下，为了保证高于折叠频率的分量 不会出现，在采样前，先用低通模拟滤波器对信号进行滤波。(2)泄漏 实际中我们往往用截短的序列来近似很长的甚至是无限长的序列，这样可以使用较短的 DFT 来对信号进行频谱分析，这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数，也相当 于在频域将信号的频谱和矩形窗函数的频谱卷积，所得的频谱是原序列频谱的扩展。泄漏不能与混叠完全分开，因为泄漏导致频谱的扩展，从而造成

4、混叠。为了减少泄漏的 影响，可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减至最小。DFT 是对单位圆上 Z 变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数，就一定意 义上看，用 DFT 来观察频谱就好像通过一个栅栏来观看一个图景一样，只能在离散点上看 到真实的频谱，这样就有可能发生一些频谱的峰点或谷点被“尖桩的栅栏”所拦住，不能别我 们观察到。减小栅栏效应的一个方法就是借助于在原序列的末端填补一些零值，从而变动DFT的 点数，这一方法实际上是人为地改变了对真实频谱采样的点数和位置，相当于搬动了每一根 “尖桩栅栏”的位置，从而使得频谱的峰点或谷点暴露出来。用 FFT 可以实现两个序列的圆周卷积。在一定的

5、条件下，可以使圆周卷积等于线性卷积。 一般情况，设两个序列的长度分别为N1和N2,要使圆周卷积等于线性卷积的充要条件是FFT 的长度N 三 N1+N2对于长度不足N的两个序列，分别将他们补零延长到N。当两个序列中有一个序列比较长的时候，我们可以采用分段卷积的方法。有两种方法： 重叠相加法。将长序列分成与短序列相仿的片段，分别用 FFT 对它们作线性卷积， 再将分段卷积各段重叠的部分相加构成总的卷积输出。重叠保留法。这种方法在长序列分段时，段与段之间保留有互相重叠的部分，在构成 总的卷积输出时只需将各段线性卷积部分直接连接起来，省掉了输出段的直接相加。(3) 栅栏效应DFT是对单位圆上z变换的均

6、匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数，从某 种意义上讲，用DFT来观察频谱就如同通过一个栅栏来观看景象一样，只能在离散点上看 到真实的频谱，这样一些频谱的峰点或谷点就可能被尖 桩的栅栏挡住，也就是正好落在 两个离散采样点之间，不能被观察到。减小栅栏效应的一个方法是在原序列的末端填补一些零值，从而变动DFT的点数，这一方 法实际上是人为地改变了对真实频谱采样的点数和位置，相当于 搬动了尖桩栅栏的位置， 从而使得频谱的峰点或谷点暴露出来。(4) DFT的分辨率填补零值可以改变对DTFT的采样密度，人们常常有一种误解，认为补零可以提高DFT的 频率分辨率，事实上，DFT的频率分辨率通常规定为f

7、JN，这里的N是指信号X勺有x nx n效长度，而不是补零的长度。不同长度的，其DTFT的结果是不同的;而相同长度的尽管补零的长度不同其 DTFT 的结果应是相同的，它们的 DFT 只是反映了对相同的 DTFT 采用了不同的采样密度。xn总结一下：要提高DFT分辨率只有增加信号的截取长度N。三、实验用到序列a) 高斯序列(n ) = e0(”一 p )2q0 n 15其他b) 衰减正弦序列(n)=e -an sm 2兀 fn 丿0其他0 n 15c) 三角波序列(n)=0n34n7其他d) 反三角波序列x (n )=d0 n 34 n !1 :10246频率(Hz)8 10矩形波对数谱3 !;2 ；1:-i Ois矩形波均方根谱2468频率(Hz)10_2 ：Ii_02468频率(Hz)x105白噪声幅频谱图1 .1i11_02468频率(Hz)11111白嗓声对数谱13,；.2.5.21.81 .O.R.40.0.2OL O .2 -O.通过IFF俄换的矩形波波形105白噪声均方根谱2468频率(Hz)谨过IFF祇换的白噪声波形1011 -10.5 - 02468频率(Hz)