线性代数重要公式

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1、【线性代数重要公式】1、行列式1.2.3.4.5.n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 代数余子式的性质： 、A。和a,的大小无关； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 |A| ； 代数余子式和余子式的关系：Mij （ 1y jAij 设n行列式D :将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为将D顺时针或逆时针旋转90。，所得行列式为将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为 将D主副角线翻转后，所得行列式为D4， 行列式的重要公式： 、主对角行列式：主对角元素的乘积； 、副对角行列式：副对角元素的乘积 、

2、上、下三角行列式（、卜）：主对角元素的乘积； 、匚和丄：副对角元素的乘积 、拉普拉斯展开式：IJIjAij( 1)1 j M ijn(n 1)D1，贝UD1(1)2D；n(n 1)D2，贝D2(1)2D；D3，贝U D3 D ；则 D4D ；n(n 1)(1) 26.n（n _1） （1厂厂C AB O 、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积; 、特征值；对于n阶行列式A，恒有：E A证明A 0的方法： 、A A ； 、反证法； 、构造齐次方程组Ax 0，证明其有非零解；AB、O A( 1門 AB0;n n ( 1)kSk n k，其中Sk为k阶主子式; k 17. 、利用秩，证明r(A) n

3、 ； 、证明0是其特征值；2、矩阵1. A是n阶可逆矩阵：A 0 (是非奇异矩阵)；r(A)n (是满秩矩阵)A的行(列)向量组线性无关； 齐次方程组Ax 0有非零解；b Rn， Ax b总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为0；ata是正定矩阵；A的行(列)向量组是Rn的一组基；A是Rn中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n阶矩阵A : AA* A*A |A|E无条件恒成立;3. (A1)*(A*)1(A1)T(AT)1(A*)T(AT)*TT T*111(AB)B A(AB)B A(AB)B A4.5.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代

4、数和；关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：A若 AA2 O ，贝 U：OAsI、U、A1IIA2L As ；A11A21、OB 1B 1O（主对角分块）（副对角分块）、1CBB 1;（拉普拉斯）、;（拉普拉斯）1 O. 1B CA B3、矩阵的初等变换与线性方程组矩阵FA，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一Er O ；O O mJ1. 一个 m确定的：等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类; 标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若r（A） r（B） A: B ；2. 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1； 、每行首个

5、非0元素所在列的其他元素必须为 0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变 换） 、若（A,E）：（E,X），则 A 可逆，且 X A 1 ； 、对矩阵（A,B）做初等行变化，当A变为E时，B就变成A1B，即:c1（A,B） （E,A B）；、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax b，如果（A,b）：（E,x）， 则A可逆，且x A 1b ；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；1 、2 ，左乘矩阵A ,乘A的各行元素；右乘，n各列元素；1111例如：一 1 、对调两行或两列，符号E(i,

6、j)，且E(ij)1 E(i,j)，例如：1、倍乘某行或某列，符号 E(i(k)，且 E(i (k)111k111F (k 0)；1、倍加某行或某列，符号 E(ij(k), 且 E(ij(k) 1 E(ij( k)11 k 1k11 (k 0)；1 15. 矩阵秩的基本性质： 、0 r(Am n) min(m,n)； 、r(AT) r(A)； 、若 A: B，则 r(A) r(B)； 、若P、Q可逆，则 r(A) r(PA) r(AQ) r(PAQ)；(可逆矩阵不影响矩阵的秩) 、 max(r(A),r(B) r(A,B) r(A) r(B)；(探) 、 r(A B) r(A) r(B)；(探

7、) 、r(AB) min(r(A),r(B)；(探) 、如果A是m n矩阵，B是n s矩阵，且AB 0，贝:(探)I、B的列向量全部是齐次方程组AX 0解(转置运算后的结论)；U、 r(A) r(B) n、若A、B均为n阶方阵，则 r(AB) r(A) r(B) n ；6. 三种特殊矩阵的方幂：行矩阵(向 、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)量)的形式，再米用结合律;1 a c 、型如0 1 b的矩阵：利用二项展开式;0 0 17.注：I、(a b)n展开后有Cm n(n 1)L L (n m 1) n!n1g2gg_ gmm、组合的性质：cm c；mm!(n m)!1项;ccm、利用

8、特征值和相似对角化: 伴随矩阵：、伴随矩阵的秩：r(A*)n10cn 1Cnmcm1ncn2nr 0rCnr ncn 1 ；、伴随矩阵的特征值:r(A) r(A) r(A)凶(AXX, A* |A|AA*X AX)；二项展开式：nnOn1n11mnmmn 11. n1nnmm. nm.(a b)CnaCna b LCn a b L Cn a bCnbCn a b；m 0、A* |A|A1、|A*| |A18. 关于a矩阵秩的描述： 、r(A) n , A中有n阶子式不为0, n 1阶子式全部为0；(两句话) 、r(A) n , A中有n阶子式全部为0； 、r(A) n , A中有n阶子式不为0

9、；9. 线性方程组：Ax b，其中A为m n矩阵，贝I： 、m与方程的个数相同，即方程组Ax b有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b为n元方程；10. 线性方程组Ax b的求解：、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换)； 、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:a11 x1 a12 x2 L QnXn b1a21 x1 a22 x2 La2nxn b29、 LLLLLLLLLLL ?am1 x1 am 2x2 L anm xn bn、aiia2iMami an个未知数）ai2a22M2L

10、LOLaina2nMamnXiX2MXmbibMAx b （向量方程，Abm为m n矩阵，m个方程，、aia2XiX2MXn（全部按列分块，其中bib2 ）；M）bn、有解的充要条件：r（A） r（A, ） n （ n为未知数的个数或维数）（线性表出）LanXna xa2 x24、向量组的线性相关性i. m个n维列向量所组成的向量组A : m个n维行向量所组成的向量组B :L，m构成n m矩阵iT, 2T,L , m构成m n矩阵BA （ i , 2 丄，m ）；T1T2 M ?含有有限个向量的有序向量组与矩阵对应;2. 、向量组的线性相关、无关Ax 0有、无非零解；（齐次线性方程组） 、向量

11、的线性表出Ax b是否有解；（线性方程组） 、向量组的相互线性表示AX B是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵Amn 与 Bm行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组AX 0和Bx 0 同解；（pioi 例 i4）4. r（ATA） r（A） ； （ 例 i5）、线性相关、,线性相关、,线性相关5. n维向量线性相关的几何意义:0 ；坐标成比例或共线（平行）；,共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若i，2,L , s线性相关，则i, 2,L, s, si必线性相关；若i, 2丄，s线性无关，则i, 2,L, Si必线性无关；（向量的个数加加减 减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上n r

12、个分量，构成n维向量组B :若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性 相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A线性无关，则r s（二版P74定理7）；向量组A能由向量组B线性表示，则r（A） r（B） ；（ P*6定理3）向量组A能由向量组B线性表示AX B有解；r（A） r（A,B） （ P*5定理 2）向量组A能由向量组B等价r（A） r（B） r（A,B） （ P*5定理2推论）8. 方阵a可逆 存在有限个初等矩阵 、矩阵行等价：AB PA B （左乘，P可逆） Ax

13、 0与Bx 0同解 、矩阵列等价：AB AQ B （右乘，Q可逆）； 、矩阵等价：AB PAQ B （ P、Q可逆）；9. 对于矩阵Am n与Bl n : 、若A与B行等价，则A与B的行秩相等； 、若A与B行等价，则Ax 0与Bx 0同解，且A与B的任何对应的列 向量组具有相同的线性相关性； 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； 、矩阵A的行秩等于列秩；10. 若 Am sBsn Cm n，贝 、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵； 、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转 置）11. 齐次方程组Bx 0的解一定是ABx 0的解，考试中可以直接作为定 理使用，而

14、无需证明； 、ABx 0只有零解 Bx 0只有零解； 、Bx 0有非零解ABx 0 一定存在非零解；12. 设向量组Bnr：b，b2, L ,br可由向量组乩弋耳丄,3s线性表示为：（P|10题 19结论）(b,b2,L ,br) (ai,a2丄 a)K ( B AK )其中K为s r，且A线性无关，则B组线性无关r(K) r ；( B与K的列向量组具有相同线性相关性)(必要性： Q r r(B) r(AK) r(K),r(K) r, r(K) r ； 充分性：反证法)注：当r s时，K为方阵，可当作定理使用；13.、对矩阵Am n，存在Qn m， AQ Em (A) m、Q的列向量线性无关；

15、 (卩87)、对矩阵Am n，存在Pnm， PA E.(A) n、P的行向量线性无关；141, 2,L , s线性相关存在一组不全为0的数ki,k2,L ,ks，使得ki 1 k2 2 L ks s 0成立；(定 义)x(1, 2,L , s) XM 0有非零解，即Ax 0有非零解；Xsr( 1, 2,L , s) s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax 0的解集S的 秩为：r(S) n r ；16. 若*为AX b的一个解，1,2,L,nr为AX 0的一个基础解系，则 *, 1, 2,L , n r线性无关；(P111题33结论)5、相似

16、矩阵和二次型1. 正交矩阵ATA E或A1 AT(定义)，性质： 、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aTaj 0i J(i,j 1,2,L n)；0i j5 、若A为正交矩阵，则A1 AT也为正交阵，且A 1 ； 、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2. 施密特正交化： (a1 , a2 , L , ar )a2b/jg4 barbr 1 Rr b i,b 13.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交;4. 、A与B等价A经过初等变换得到B ；PAQ B， P、Q 可逆； r(A) r(B)， A、B 同型； 、A与B合同 CTAC B，其中可逆；xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数； 、A与B相似P 1AP B ；5. 相似一定合同、合同未必相似；若C为正交矩阵，则CtAC B A: B，(合同、相似的约束条件不同， 相似的更严格)；6. A为对称阵，则A为二次型矩阵；7. n兀二次型xTAx为正定：A的正惯性指数为n ；A与E合同，即存在可逆矩阵C,使CtAC E ；A的所有特征值均为正数；A的各阶顺序主子式均大于0 ；aii0, A 0 ；(必要条件)