定积分 笔记

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1、第三节定积分、定积分的定义设函数mi在皿上有界，在说中任意插入若干个分点* % 5 5 c5一15二心把区间也切分成观个小区间，各小区间的长度依次为二可-也，（日2），在各小区间上任取一点疳店g）,作乘积了纸QT2）并作为袒了，记只二max% 如，皿,如果不论对说怎样的分法，也不论在小区间j坷上点磊怎样的取 法，只要当人T 时，和泾总趋于确定的极限我们称这个极限为函数孑（X）在区间曲丄上的定积记 为：积分和卜甲）巷二期卩（郛叫H问积分区间二、定积分的性质性质1:性质2：店为常数）性质3：假设性质 4： Ldxf 必= b-a性质5：在区间际上金乂则详工叫旳性质6： 设皿及喘分别是函数加）在区间

2、纽切上的最大值及最小值，贝y 忍边一）乞f /X兀场Mp-d）性质7（定积分中值定理）如果函数了懐）在闭区间上连续，则在积分区间山丄上至少存在个点匚使积分中值公式积分中值公式的几何解释：在区间亀切上至少存在一个点使得以区间山为底边，以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为了的一个矩形的面积。f()b三、微积分的基本公式1原函数存在定理：如果mi在亞切上连续，则变上限积分的函数二打炉在压切可导, 还是在血切上的一个原函数。2.微积分基本公式（牛顿一莱布尼茨公式）如果F是连续函数金在区间讪上的一个原函数，则场L心必=呻）-陀）：/（咖厅-丑咚月微积分基本公式表明：一个连续函数在区间血切上的定

3、积分等于它的任意一个原函数在区间亞切上的增量。求定积分问题转化为求原函数的问题。第四节 定积分的积分方法与无穷区间上的广义积分、 定积分的积分方法1、定积分的换元积分法例1f 4求0dx1 +、.：x解一f 心令x 二 t f 2tdt1 + x 1 +11二 2 (1!+7)dt = 2(t - ln|1 +11) + C1R - ln1 + 肩+ Cf4于是 0dx1 + *： x=2&7 - ln(1+、x )|40 =4 - 2ln3解二设 Vx =t，即x二t2(t ).当兀=0时,t = 0；当 x = 4 时，f = 2f4 毗=f 2处=2f 2(1-丄)dt = 2(t -l

4、n|1 +11)|2 = 2(2 -ln3) 于是 o1 + Jx0 1 + t 01 +10一般地，定积分换元法可叙述如下，设f (x)在a,b 上连续，而x=e(x)满足下列条件:(1) x=e(x)在a,卩上有连续导数；(2) 9) = a，9(卩)=b，且当t在，卩上变化时,x 7的值在a, b 上变化，则有换元公 式：f bf (x)dx = fp f 9 (t )0(t )dtaa.fln2 Jex - 1dx例2求0=tx = ln(t 2 + 1)，dx = 即dtt 2 + 1换积分限：当x = 0时，=0,当x =ln2时，=】,于是Jln2：ex - 1dx = J11

5、-oo t2 +1111 (1 一)dt = 2(t 一 arctan t)ot2 +1设 x = a sect 卩y dx = a sect tan tdt换积口分限：当 x = a 时 t = 0; x = 2a时，时，于是2 八 x2 一 a 2n a tan t,22dx = 3a sec t tan tdta x4o a4 sec4 tn 1J 3sin 21 cos tdto a 2=1a2n13 sin 2 td(sin t)=-0a 2sin318a 2例4n dx 求1 = J o2T2t2dt解一t = tan ,sin x =,d x =(换元法)令 21 +121 +1

6、2 ,nx =所以，当x = o时，t = o;当2时,t=1，I=于是J1o 1 + 2t +12解二凑微分法）dxI=J:0 (sin - + cos -)22 2dx=J :oxx(tan + 1)2cos2-2 2. xd tan 1: = -2o (tan +1)2tan +12 2注意:求定口分一定要注意定口分的存在性.b -f bvdua, b 2、定积分的分部积分法Jbudv 二 uv 设u（x）,v（x）在a,b上有连续导数，则有a该公式称为定积分分部积分公式，使用该公式时要注意，把先积出来得那一部分代上下限求值，余下的 部分继续积分.这样做比完全把原函数求出来再代上下限简便

7、一些.J 2 x2 cos xdx例 5 求 0n n2 - J 22xsinxdx0 0J 2 x2 cos xdx = J 2 x2d(sin x) = x2 sin x00n 2隹兀2=+ 2J 2 xd(cos x) =+ 2x cos x404nn2 2J 2 cos xdx00n2 2sin x4n n 22 = 24oJ e|ln x| dx例6求eJ e|ln x| dx = f i|ln x| dx + J e|ln x| dx1 x 因为e1时,ln x a,如果极限存在，则称此 极限为函数f (x)在无穷区间a, +)上的广义积分，记作即 J+*f (x)dx = lim

8、 J bf (x)dx即 a= b T+a a这时也称广义积分(x)dx收敛。如果上述极限不存在，此时称广义积分(x)dx发散。例题1 计算广义积分: J+a 1 dx-a 1 + x2+a 1J +adx解 1 + x2 =arc tanx | +a_a 丄 i x-a=lim arctan x 一 lim arctan xXT+ax T-g兀 /兀、=一(一)二兀.2 2第五节定积分的应用一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分 的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U (总量)表示为定积分的方法一一微元法，这个 方法的主要步

9、骤如下：由分割写出微元根据具体问题，选取一个积分变量，例如x为积分变量，并确定它的变化区 间a,b，任取a,b的一个区间微元x,x + dx，求出相应于这个区间微元上部分量AU的近似值，即 求出所求总量U的微元dU = f (x)dx ； 由微元写出积分 根据dU二f (x)dx写出表示总量U的定积分U =bdU =Jbf (x)dxaa二、平面区域的面积1、直角坐标的情形由曲线y二f (x)(f (x) 0)及直线x = a与x - b ( a b )与x轴所围成的曲边梯形 面积A。0 说 x x-dx bbAf (x)dx其中：f (x)dx为面积元素。ax = b ( a g (x)所由

10、曲线y = f (x)与y = g(x)及直线x - a,围成的图形面积AA = J f (x) dx-f g (x) dx =Jb f(x)- g(x) dxa a a 其中： f (x) - g ( x)dx 为面积元素。例1计算抛物线y2 = 2x与直线y = x - 4所围成的图形面积。解：1、先画所围的图形简图y 2 = 2 x解方程f 得交点：（2,-2）和（8,4）。 y = x - 42. 选择积分变量并定区间选取x为积分变量，则 x 8dA =2x - (r 2x)dx=22 xdxdA = g 2x - (x 一 4)dx=(4 + ； 2x 一 x)dx3. 给出面积元素

11、在 x 2上,在2 x 8上,4. 列定积分表达式A = J 22 x dx + J 4 +2 x 一 xdx4 伍322231 一x 2+4 x +x 2 一一 x 233228= 18另解：若选取y为积分变量，贝9 - 2 y 0)和x轴所围成的三角形绕x轴旋转而生成的立体的 h体积。h ( r 丫V = J 兀一 x dxh丿0解：取x为积分变量，则x 0, h兀 r 2 f7 兀了x 2 dx =r 2 hh 2302、平行截面面积为已知的立体的体积(截面法)由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这 个立体的体积也可以用定积分来计算。取定轴为

12、x轴，且设该立体在过点x = a，x = b且垂直于x轴的两个平面之内，以A(x)表示过 点x且垂直于x轴的截面面积。取x为积分变量，它的变化区间为a,b。立体中相应于a,b上任一小区间x,x + dx的一薄片的 体积近似于底面积为A(x)，高为dx的扁圆柱体的体积。即：体积微元为 dV = A( x )dx于是，该立体的体积为V = J A( x)dxa例4计算椭圆+若=1所围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积。a 2 b 2解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆y = b va2 - x2及x轴所围成的图形绕x轴旋转所生成的立体。a在x处(-a x a)，用垂直于x轴的平面去截立体所得截面积为A

13、(x)=兀.(b a2 - x2 )2aa 2Kab 23四、平面曲线的弧长1、直角坐标情形设函数f (x)在区间a,b上具有一阶连续的导数，计算曲线y二f (x)的长度s。取x为积分变量，则x g a, b,在a, b上任取一小区间x, x + dx，那么这一小区间所对应的曲线弧 段的长度As可以用它的弧微分ds来近似。于是，弧长元素为ds = 1 + 八M dx弧长为s 二 f JI + f，(x)ldxa2 3例5计算曲线y二3x2(a x b)的弧长。解：ds = 1 + (、；x)2 dx =、：1 + xdxb23s = J -v 1 + xdx =(1 + x)2ab 2 / /

14、=3【(1 + b)32 - (1 + a)32a2、参数方稈的情形若曲线由参数方程(a t p)J x = q (t) iy =0 (t)给出，计算它的弧长时，只需要将弧微分写成ds = v (dx)2 + (dy )2 =斗 Lp，(t) 1 + |/(t)I dt的形式，从而有s = f V kpf(t)J2 + l0f(t)J2dta例6计算半径为r的圆周长度。解：圆的参数方程为x 二 rcost(0 t 2免)y 二 r sin tds = .J (- r sin t )2 + (r cos t )2 dt = rdts 二 J rdt 二 2兀 r03、极坐标情形若曲线由极坐标方程

15、r = r(0 )(a 0 P)给出，要导出它的弧长计算公式，只需要将极坐标方程化成参数方程，再利用参数方程下的弧长计算公式即可。曲线的参数方程为x = r (0 )cos0 y = r (0 )sin 0 (让0P)此时0 变成了参数，且弧长元素为Ids =、：(dx)2 +(dy)2=Y(rcos0 一rsin0)2(d0)2 + (rsin0 + rcos0)2(d0)2=*r 2 + r 2 d0从而有s = J、；r 2 + r 2 d0a例7计算心脏线r = a(1+ cos0) ( 0 0 2兀)的弧长。40；2解：ds = * a2(1 + cos0 )2 + (-a sin

16、0 )2 d0-cos2 - d 02 22acos d 02s 二丁 2 ao0歼cos d 0 二 4 a J |二 4 a J cos Q d Q + J - cos Q d Q 0也2=8 a五、变力作功例8半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重为1 ,现将这球从水中取出，需作多 少功？解：建立如图所示的坐标系lr将高为厂的球缺取出水面，所需的力F(x)为：F(x)二G - F浮小 4兀r 3其中：G =-1 - g是球的重力，F庐表示将球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力。3浮由球缺公式V =n -x2(r 3)有x从而F(x) =K -x2(r 3)g ( x g 0, 2r)。从水中将球取出所作的功等于变力F(x)从0改变至2r时所作的功。取x为积分变量，则x g 0,2r，对于0,2r上的任一小区间x,x + dx，变力F(x)从到x + dx这段距离内所作的功。xdW = F(x)dx = k -x2(r )g这就是功兀素，并且功为2 r x兀r兀X 3 -X 43122rW = J 兀 gx 2 (r -) dx = g