2023届高三数学小题专练——三角函数图像及性质3（含解析）

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1、一、单选题1已知函数在单调递增，则的最大值为（）ABCD2已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则（）ABCD3设函数，在上的图象大致如图，将该图象向右平移个单位后所得图象关于直线对称，则的最小值为（）ABCD4若将函数的图象向右平移个单位长度后为奇函数，则的值可以为（）ABCD5已知函数，有下列四个结论：若，则有2个零点最小值为在区间单调递减是的一个周期则上述结论中错误的个数为（）A0B1C2D36函数的图像与直线在区间上恰有三个交点，其横坐标分别为，则的取值范围为（）ABCD7已知是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间内是单调函数，则（）ABCD8阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而

2、达到减振效果的专业工程装置深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（cm）和时间t（s）的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，且，则（）ABCD29已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是ABCD10将函数的图象分别向左、向右平移个单位后，所得的图象都关于轴对称，则的最小值分别为（）A，B，C，D，11已知函数，则（）A的最小正周期为B的图象关于点对称C的最大值为D的图象关于直线对称12已知函数在区间内恰好有3个零点，则的取值范围是（）A

3、BCD13已如函数区间上单调，且，将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则t的最大值为ABCD14已知，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（）ABCD15若函数的最小正周期为，则（）ABCD16已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）ABCD17已知函数（a，b，）的部分图象如图所示，则（）A1BCD218已知函数，且，当时，恒成立，则a的取值范围为（）ABCD19下列判断错误的有（）命题“，”的否定是“，”命题“若，则”是真命题命题“若，则函数只有一个零点”的逆

4、命题为真命题若为奇函数，则对定义域内的任意，A3个B2个C1个D0个20若点是函数的图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为，则（ ）A的最小正周期是B的值域为C的初相D在上单调递增二、填空题21已知函数，将的图象上所有点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到图象，若在有个不同的解，则_.22已知函数与函数的部分图象如图所示，且函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到，则_23已知函数，将的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，所得图象对应的函数为，若的图象过原点，且，则_.24函数的值域为_25已知函数，给出下列四个结论：的值域是；是

5、以为最小正周期的周期函数；在上有个零点；在区间上单调递增其中所有正确结论的编号是_26设函数，则下列结论中正确的序号为_.的最小正周期为；的图象关于点对称；在区间上单调递增；在区间上的最大值为；的图象的一条对称轴为.27若方程在内有解，则a的取值范围是_28已知函数的部分图像如图所示，将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得函数图像向左平移个单位长度，的到函数的图像，则下列关于函数的说法正确的是_.（写序号）（1）点是图像的一个对称中心（2）是图像的一条对称轴（3）在区间上单调递增（4）若，则的最小值为29函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列函数的结论：一条对称轴方程为；点

6、是对称中心；在区间上为单调增函数；函数在区间上的最小值为.其中所有正确的结论为_.（写出正确结论的序号）30将函数的图像向左平移个单位后所得函数图像关于原点中心对称，则_试卷第5页，共6页参考答案：1C【分析】先化简的解析式，得到周期，根据题意可得，从而得出的大致范围，在根据函数的单调性，求出函数的单调区间，利用为某一增区间的子集， 从而得出答案.【详解】，周期 函数在单调递增，则 ,解得 则函数的单调递增区间满足即当，当时，当时，所以，则，解得 故选：C2C【分析】由题意先求对称轴方程，在给定区间上有9条对称轴，由中点坐标公式可知x1+x22，以此类推，最后两个零点加和等于对称轴的二倍，各式

7、相加，就可得出答案【详解】令，可得，即函数的对称轴方程为，令，可得，所以函数在上有9条对称轴根据正弦函数的性质可知，（最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴），将以上各式相加得，故选：C【点睛】本题考查函数零点和方程根的关系，考查正弦函数图像的性质和对称性的应用，属于中档题.3C【分析】根据五点作图法可构造方程求得，得到；由三角函数平移变换可求得平移后解析式，利用代入检验的方法，根据图象关于可构造方程求得，由此确定最小值.【详解】根据五点法作图知：，解得：，；将向右平移个单位得：，图象关于对称，解得：，由，可令得的最小值.故选：C.【点睛】方法点睛：根据余弦型函数的对称轴、对称

8、中心和单调区间求解参数值时，通常采用代入检验的方式，即将的取值代入，整体对应的对称轴、对称中心和单调区间，由此求得结果.4C【分析】先由平移公式得出平移后的函数为，由该函数为奇函数可得答案.【详解】函数的图象向右平移个单位长度后可得由题意为奇函数，则所以，对照分析答案，当时，故选：C5C【详解】所以正确，则或，所以错误，错误，在递减，在递增，正确.故选:C.【点睛】本题考查三角函数的性质，涉及零点、单调性、最值和周期，等价转化为二次函数是解题的关键，属于中档题.6D【分析】确定函数的单调性、极值，得出对称性，及的范围，从而确定的性质得出结论【详解】由得，又，所以在和上单调递增，同理在上递减，是

9、的图象的一条对称轴，所以时，存在满足题意，不妨设，则，所以，所以故选：D7A【分析】由函数的奇偶性结合的取值范围可得出的值，利用函数的对称轴可得出的表达式，结合函数的单调性可求得的取值范围，可得出的值，进而可确定的解析式，代值计算可得结果.【详解】因为是上的奇函数，则，所以，因为的图象关于直线对称，则，可得，当时，因为函数在区间内是单调函数，则，解得，所以，故，因此，.故选：A.8B【分析】利用正弦型函数的性质画出函数图象，并确定连续三次位移为的时间，即可得，可求参数.【详解】由正弦型函数的性质，函数示意图如下：所以，则，可得.故选：B9D【解析】根据题意做出函数在定义域内的图像，将函数零点转

10、化成函数与函数图像交点问题，结合图形即可求解.【详解】解：根据题意画出函数的图象，如图所示：函数有三个零点，等价于函数与函数有三个交点，当直线位于直线与直线之间时，符合题意，由图象可知：，所以，故选：D.【点睛】根据函数零点的情况求参数有三种常用方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.10A【分析】根据给定条件写出平移后的解析式，再借助对称性求出满足的关系即可推理作答.【详解】函数的图象向左平移个单

11、位得到函数的图象，因图象关于y轴对称，则，即，而，则，向右平移个单位得函数的图象，函数关于y轴对称，则有，即，而，则，所以的最小值分别为，.故选：A11D【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图像和性质判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】解：对于选项，因为，故不正确；对于选项，因为，故不正确；对于选项，因为当时，故不正确；对于选项，因为，是的最大值，所以的图象关于直线对称，故正确.故选：D.【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的图像和性质，属于中档题.12C【分析】先求出的范围，然后结合函数图象和零点个数可得：，进而求出.【详解】因为，所以，因为在区间内

12、恰好有3个零点，结合函数图象可得：，解得：，的取值范围是故选：C13B【分析】根据函数区间上单调得，再根据得是函数的一条对称轴，是函数的一个对称中心，进而得和是同一周期内相邻的对称中心和对称轴，故，所以且在上单调递增，故有，再根据集合的关系即可得答案.【详解】，.又，.是函数的一条对称轴.同理得是函数的一个对称中心，所以和是同一周期内相邻的对称中心和对称轴，得.，所以.，它在上单调递增，故.所以的最大值为.故选：B【点睛】本题考查正弦型函数的函数性质的应用，考查知识的分析应用能力与计算能力，是中档题.14A【分析】由已知得函数的周期，求出，再利用图像的平移变换规律写出函数平移后的解析式，再利用

13、函数关于原点对称，列出等式即可得到结果.【详解】由题意知函数的最小正周期，则，得，. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，要使该图象关于原点对称，则，所以，又，所以当时，取得最大值，最大值为故选：A【点睛】思路点睛：先根据正切函数图象的特征求出函数的最小正周期，进而求出，然后根据函数图象的平移变换得到平移后的函数图象的解析式，最后利用正切函数图象的对称中心建立方程求解即可，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题.15C【分析】先求得，求得函数在上单调递增，结合，利用单调性作出比较，即可求解.【详解】由题意，函数的最小正周期为，可得，解得，即，令，即，当时，即函数在上单调递增，

14、又由，又由，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了正切函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数的图象与性质，合理应用函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16D【分析】根据正弦函数的图象特征和性质，结合定义域和值域，即可求解.【详解】，因为，所以，因为，所以.正弦函数在一个周期内，要满足上式，则，所以，所以的取值范围是.故选：D17B【分析】整理，且，由图中最值可得，利用相邻对称轴的距离求得，根据对称轴求得，进而可得，即，即可求解.【详解】由题，由图可知，所以，又，所以，则，因为对称轴为，所以，则，所以，即， 所以，故选：B18B【解析】首先根据，求，利用参变分离，变

15、形为恒成立，转化为求函数的最大值问题.【详解】由题意，解得，则，则当时，即恒成立，令，则，当时，时，所以在上是减函数，在是增函数，又因为当时，取得最大值1，所以当时，取得最大值，所以.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，转化为求函数最值问题，本题的关键是参变分离后，发现的最大值和的最小值同时取得，这样易求的最大值.19B【分析】由全称命题的否定得到该命题错误；命题是真命题；由于当时，函数也只有一个零点，所以该命题错误；利用奇函数的定义得到该命题正确.【详解】解：命题“，”的否定是“，”，所以该命题错误；命题“若，则”是真命题；命题“若，则函数只有一个零点”的逆命

16、题是“若函数只有一个零点，则”，由于当时，函数也只有一个零点，所以该命题错误；若为奇函数，设，则对定义域内的任意，所以该命题正确.故答案为：B20D【分析】根据函数的性质求出，再根据得到函数的最小正周期、值域、单调性、初相，从而可得答案.【详解】由题意得，且函数的最小正周期为，故.代入，得，又，所以.所以.故函数的值域为，初相为.故A，B，C不正确，当时，而在上单调递增，所以在上单调递增，故正确.故选：D.【点睛】本题考查了由函数的性质求正弦型函数解析式中的参数，考查了正弦型函数的周期、值域、单调性，属于中档题.21【分析】根据三角函数平移伸缩变换法则求出函数的解析式，再利用函数的对称性即可求

17、出在的解，即可得解【详解】根据题意可知，由得，由，可得，所以函数关于对称，因为，所以由可得，因此故答案为：22【分析】求出点向右平移个单位长度可得，结合函数图象可得，解方程组可求出的值，结合平移求出的解析式，进而求出.【详解】由题意可知将函数图象上的点向右平移个单位长度，可得的图象与轴负半轴的第一个交点，坐标为，因为的图象与轴正半轴的第一个交点为，所以，解得，所以，故.故答案为：.23【分析】写出函数的解析式，根据已知条件求出、的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值.【详解】由题意可得，因为函数的图象过原点，则，可得，因为，则，则，所以，可得，所以，因此，.故答案为：.24【分析】利用通过换

18、元将原函数转化为含未知量的函数，再解出函数的值域即为函数的值域.【详解】令，则，即，所以，又因为，所以，即函数的值域为故答案为：.25【分析】化简函数的解析式为，利用余弦型函数的值域可判断的正误；利用周期的定义可判断的正误；在上解方程，可判断的正误；利用余弦型函数的单调性可判断的正误.【详解】因为.对于，则，正确；对于，作出函数的大致图象，如图所示由图可知，函数的最小正周期为，正确；对于，当时，由，可得，可得，分别令、，可得、，所以，函数在在上有个零点，正确；对于，当时，则，所以，函数在区间上不单调，错误.故答案为：.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单

19、调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数26【分析】求出函数的最小正周期即可判断；求出，即可判断；求出函数的单调增区间，判断是否为其子集，即可判断；根据，利用整体思想，求出函数的最大值，即可判断；求出函数的对称轴，即可判断.【详解】解：中，对；中，当时，的图象不关于点对称，错；中，的增区间为，当时，所以在区间上单调递增，对；中，错；中，的对称轴为，.当时，对称轴，对.故答案为：.27【分析】利用同角三角函数关系式可将问题转化为在上有解，利用正弦函数及二次函数的性质求得a的取值范围.【详解】把方程变为，设，则显然当且仅当的值域时,有解且由知,，当时，有最小值，当时，

20、有最大值的值域为,的取值范围是故答案为：.28（2）（4）【分析】首先根据函数的图象，求函数的解析式，再根据图象变换规律求函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可判断.【详解】由图象可知，解得：，解得：，,因为，所以，所以，的图像上所有点的横坐标伸长到原来的，得，再将所得函数图像向左平移个单位长度，得 当时，所以不是函数的对称中心，是函数的对称轴，故（1）错误；（2）正确；当时，所以在区间上单调递增，在单调递减，故（3）错误；若，则是函数的最大值和最小值点，所以，故（4）正确.故答案为：（2）（4）29【解析】先求得，然后利用代入法判断，根据单调区间和最值的求法判断.【详解】函数的图象向左平移

21、个单位得到函数，所以错误.，所以正确.由，解得，.令得，所以在区间上为单调增函数，即正确.由得，所以当时，有最小值为，所以正确.故答案为：【点睛】解决有关三角函数对称轴、对称中心的问题，可以考虑代入验证法.考查三角函数单调区间的问题，可以考虑整体代入法.30【解析】先根据函数平移变换得平移后的解析式为，再根据其图象关于原点中心对称得，进而计算得.【详解】解：根据题意得函数的图像向左平移个单位后得到的函数解析式为：，由函数图象关于原点中心对称，故，即所以.故答案为：【点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数 ；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.答案第17页，共17页