位置随动系统建模与频率特性分析报告

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1、目录1 位置随动系统的分析 21.1位置随动系统建模分析 21.2 位置随动系统总体分析 21.2.1随动系统的基本原理图 21.2.2随动系统的基本原理结构图 21.2.3随动系统的基本原理分析 32 位置随动系统的原理 42.1位置随动系统各部分基本工作原理 42.1.1环形电桥电位器 42.1.2放大器 52.1.3直流伺服电动机 62.1.4 测速发电机 72.1.5 减速器 82.1.6系统的信号流图 92.1.7 系统的闭环传递函数 103 位置随动系统的开环传递函数图像绘制与稳定性判断 113.1开环传递函数伯德图像绘制 113.2开环传递函数奈奎斯特图像绘制 123.3由开环传

2、递函数求出开环系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度。 124 位置随动系统的闭环传递函数在输入下的响应 134.1闭环传递函数在单位阶跃输入下响应图像绘制 134.2闭环传递函数在斜坡信号输入下响应图像绘制 144.3闭环传递函数输入响应误差分析 155当Ka由0到8变化时根轨迹的绘制165.1等效开环传递函数的推导 165.2根轨迹的绘制 166 对系统进行超前校正 177 心得体会及参考文献 201位置随动系统的分析1.1位置随动系统建模分析在分析系统时由于所给的系统是其原理图，分析的时候很复杂，需要将系统进行建模 分析，根据数学公式分析起来就会简单得多。因此需要构造系统的数学模型去研究系统

3、是 很关键的。数学模型描述了系统内部的物理量和变量之间的关系，通过建模可将各参数联 系起来，抽象成系统的传递函数，再根据自控学习的内容进行分析，会变得比较容易。数学模型的建立在本题中主要应用机理分析建模方法，称为分析法。通过对各个元器 件进行独立的建模分析其输入与输出的关系，然后进行组合，对整体分析。首先利用学习 的电机、电路、物理等知识，推到出各元器件的数学模型及数学方程，再通过数学方程得 到传递函数，将相同量进行组合，得到总电路的传递函数，再对得到的传递函数进行分析。1.2位置随动系统总体分析1.2.1随动系统的基本原理图位置随动系统的基本原理图如图1所示：图1位置随动系统的基本原理图位置

4、随动系统由测量元件环形电桥电位器、放大器、伺服电动机、测速发电机、负载 组成。环形电桥电位器的作用是对输入信号电压与负反馈电压进行比较与放大，并将两者 偏差送入放大器放大，放大信号驱动伺服电机带动负载转动，随着转速升高，测速发电机 输出反馈电压逐渐增大，从而使输入偏差电压逐渐减小，产生最力矩减小，当输入偏差为 0时，伺服电机的转速为0，负载停止转动。122随动系统的基本原理结构图图2随动系统的基本原理结构图1.2.3 随动系统的基本原理分析通过对系统的分析知系统的目的是使输出角度0与输入指令角度9相等，具体实现过 c丫程为：当一开始左右两边电位器电位相等，即输出角度0 与输入指令角度0 相等，

5、在零初始 c丫条件下，系统初始状态为静止状态时，则输入放大器的电压为0，伺服电动机转速为0 时， 系统稳定。当左边电位器一个输入指令角度0)0时，即给予一个指令信号，在零初始条件下，此Y c时电位器两桥臂之间有压差，而此时测速发电机输出反馈电压为 0，压差进过放大器放大 后，驱动伺服电动机转动一个角度，经过减速器后带动0 增大，测速发电机输出反馈电压 c也增大，当0 增大到与输入角度0 相等时，伺服电动机不转动，测速发电机输出反馈电压 cY又为 0，系统保持稳定。当左边电位器一个输入指令角度00时，此时电位器两桥臂之间压差为负值，在零初Yc 始条件下，压差进过放大器放大后，驱动伺服电动机反转，

6、使0 减小，最终和0 相等，系 cY 统保持稳定。在电动机有一定转速的情况下，假设为正向转动，此时测速发电机输出反馈电压为一正值，若给一个指令信号使输出角度0 与输入指令角度0 相等，此时电桥两端电压为零， cY放大器两端电压为负值，而电动机由于惯性会正向减速转动使0 继续增大，而电桥两端电 c压为负值会继续增大，伺服电动机转速为零后，伺服电动机反转，使0 减小，最终和0 相 cY 等，系统保持稳定。同理，在电动机有一定转速的情况下，输入指令角度0 )0 时，伺服电动机转动一个角 Yc度，使0 增大到与输入角度0 相等时不转，输入指令角度0 0 时，电动机由于惯性会正向 cYY c减速转动使0

7、 继续增大，伺服电动机转速为零后，伺服电动机反转，使0 减小，最终和0ccY相等，系统保持稳定。2位置随动系统的原理2.1位置随动系统各部分基本工作原理2.1.1环形电桥电位器电位器的电阻丝均匀的绕在截面积处处相等的骨架上，通过电刷和电阻之间的相对位 置，来反映出被侧对象的位置，而电刷在电阻上的位置不同，从电刷上取出电阻、电压信 号也不同，就把位置信号转换成了相应的电信号。单个的环形电桥电位器原理图如图3所示：图3环形电桥电位器原理图电位器两端电压为直流电源E，电位器的电阻丝阻抗为R，环形电桥电位器电阻丝对a应的总角度为0，当电刷放在0角度时，根据分压原理，电刷上输出电压U的大小为:cE 0U

8、 二一穴R 0a由于电桥增益K二5，即:= 5 R Oa则有:U = K O = 5O cc在本位置随动系统中，环形电桥电位器是成对出现的，这种环形电桥电位器只产生相 应的测量与比较信号，不直接驱动任何负载。与指令轴（即左边的一个）相连的是发送机, 与系统输出轴（负载）相连的是接收机（即右边的一个）。发送机一般用来产生指令信号, 而接收机用来检测被控对象实际位置与指令位置的差值，为自动控制系统提供角位置控制 信号。当两个环形电桥电位器并联时，其两端输出电压差:u = K (0 -0) = 5(0 - 0 ) r cr c对其两端进行拉氏变换为:u (s)二 5 (s)-0 (s)sYC传递函数

9、图如图4所示:图4电桥电位器传递函数2.1.2放大器运算放大器具有输入阻抗很大，输出阻抗小的特点，其输入与输出呈正比关系。设输入信号为u，输出信号u ,满足等式: a对其进行拉式变换则有:u (s)= K - u(s)aa由任务书中已给Ka=40则有:u (s) = 40 - u(s)a而对于放大器输入信号u(t)而言,它与环形电桥电位器两端输出电压差u (t)和测速发S电机两端输出电压差UqC)的关系为:u(t) = u (t)-u (t)S2对其进行拉式变换则有:u(s) = u (s)- u (s)S2传递函数图如图5所示: 喲从)7/ -TU图5放大器传递函数2.1.3 直流伺服电动机

10、直流伺服电机是一中把电能转换为机械能的执行机构，是整个系统核心的部分。伺服 电机的主要作用是将输入的电压信号，通过磁场的作用，转化为机械信号，从而通过电压 控制机械的运动方式。根据电机与拖动可知电机工作原理，对伺服电机进行电路分析则有:电枢回路电压平衡方程：设其电枢回路感应电动势为E C),通过电路电流为I C),则 aa 根据 KVL 有：u (t) = Laad ( (t)d (t)+1 (t)R + E (t)a a a电枢回路感应电动势方程：设其电枢回路感应电动势为E (t)，伺服电机转速为n(t)， a磁通势为0，电动势常数为C :eE (t)= C 0 n(t)ae电磁转矩平衡方程

11、：设其电枢回路中电路电流为I (t)，电磁转矩T(t)，电磁转矩常数a为C，角速度0(t)， pi = nt由电机与拖动可知：T(t) = C0I (t) taQ(t) =pi n(t)60c 0 = 260. C 0由输出转矩平衡方程则有：T(t) = J d?(t) + f 0(t)L dtL所以整理得：E = C 0(t)aeT(t)=C I (t)maT(t) = J d?(t) + f 0(t)L dtLu (t) = L d(Ia(t) +1 (t)R + E (t) a a d(t)a a a在零初始条件下，对得到等式两段进行拉氏变换有:E (s) = C Q(s)ae2.1T

12、(s) = CI (s)m a2.2T(s)二 J sO(s)+ f 0(s)LL2.3u (s) = Lsl (s) +1 (s)R + E (s)2.4aa aa a a经过对以上公式21到24进行整理得输入u (s)与输出0(s)之间的拉氏变换关系 a为申(s ):申(s) =Q(s)u (s)aC7mJLs2 +(R J + f L )s + f R + C CaaL aL a m e在任务书中已给出 Ra=6Q, La=12mH, J=0.006kg.m2,C =Cm=0.5 Nm/A ,f=0.2 Nms 等e量，所以可知:申(s) =0.50.000072s2 + 0.0384s

13、 +1.45由于电感L和转动惯量J都很小，在低频段对系统影响可忽略不计，因此可简化为: a申(s) =0.50.0384s +1.45传递函数图如图6所示:必)；g 1 图6直流伺服电动机部分传递函数2.1.4测速发电机直流测速发电机是一种把机械转速变换成直流电压信号的测量元件。它的结构与形式 与伺服电机相同。伺服电机轴与直流测速发电机的转轴相连，通过轴连接之后可以保证测 速电机的角速度与伺服电机输出轴上的角速度相同。它将检测到的电压信号与电桥电位器 发送机相连，也就是通过负反馈将检测到的电压信号输入到放大器两端。直流测速发电机原理图如图7所示：匸伺服申巩的討轴兀色图7直流测速发电机原理图设其

14、电枢绕组产生的感应电动势为u2(t),角速度0(t)，根据直流电动机工作原理有:u (t) = C Q(t)2e测速电机增益k = 2,则有tu (t) = k 0(t) = 2Q(t)2t对两端求拉氏变换有：u (s) = k Q(s) = 2Q(s)2t传递函数图如图8所示：图8直流测速发电机部分传递函数2.1.5减速器减速器是一种相对精密的机械，使用它的目的是降低转速。它的输入轴与伺服电机相 连，输出轴将减速后的电机轴旋转角度输入到电位器的接收机，作为反馈信号，是一种负 反馈。减速器是利用各级齿轮传动来达到降速的目的，由减速器的工作原理可知减速器输入 输出转速成正比关系，而减速比=电机输

15、出转数F减速机转数，设直流伺服电机输出轴角 速度Q(t)，减速器输出轴角速度(t)，减速比为i，而电机的角速度与转速成正比关系，可 得:w(t)1对等式进行拉氏变化为:將 i=10而角度0作为反馈信号送到环形电桥电位器中，而它与(t)的关系为:cJ tw(t)d(t) =00c在零初始条件下，对等式进行拉氏变化为：0(s)出cS传递函数图如图9所示:=10筑QI3图9减速器部分传递函数2.1.6系统的信号流图信号流图是表达线性代数方程组结构的一种图，小圆圈表示变量或信号，信号只能沿 支路的箭头方向传递，标在支路旁边的数学算子称为传递增益。图中，G = p (s)=30.0384s +1.45H

16、1 = j，H2 = -2G1 = 5，G2 = 40，普严 G()0.5系统的信号流图如图10所示:2.1.7系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数图如图11所示:图11系统的闭环传递函数图系统的传递函数可简化为如图12所示:图12系统的闭环传递函数简化图对系统的闭环传递函数图进行简化，可得到系统的开环传递函数为:G(s)=10000.0384s2 + 41.45s系统的闭环传递函数为:10000.0384s2 + 41.45s +1000若系统的放大器放大倍数K不确定，则系统的开环传递函数为:aG(s)=25Ka0.0384s2 + Ks + 1.45s系统的闭环传递函数为:H (s)二25

17、Ka0.0384s2 + (K + 1.45)s + 25Kaa3位置随动系统的开环传递函数图像绘制与稳定性判断3.1开环传递函数伯德图像绘制系统的开环传递函数为:10000.0384s2 + 41.45sSCCr 匚则其bode图形如图13所示:500-50-100-1E0101 10 10 101 10Frequency (rad/sj-1S0-SO图13系统的开环传递函数伯德图源程序为：g=tf(1000,0.0384,41.45,0);%输入系统的开环传递函数bode(g)%绘制系统伯德图grid on3.2开环传递函数奈奎斯特图像绘制其奈奎斯特图形如图14所示：、二7 5：匚 3-3

18、 -1.?50.J一玄 n5L=rir:E-C2 dBC ilB:- -I*、;-:5: - -.I、r* %1SdB、-；? : 1C dB、 : ZC dD、- 、Systs-m: gRsa : -0.03-沁：C.iE-2Frst;usncr i rad；s；;: -2.5:-20 dEiSytsm: gR-al: -0.022S逬：二-wm: 27.tL -O.S -0.3-0.7 -毗 -0.E -哄 -0.S-0.-0.10图14系统的开环传递函数奈奎斯特图由于开环系统是I型系统，所以在奈氏曲线上应顺时针从o二0-补到二0+共补180 度，由图中点的变化可知二0-在图中曲线上方，o

19、二0+在图中曲线下方，补齐180度后, 奈氏曲线绕(-1, jO)点0圈，系统的开环传递函数在右半平面有0个极点，由奈奎斯特 判据可知该系统是稳定的。3.3由开环传递函数求出开环系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度。源程序为：g=tf(1000,0.0384,41.45,0);%输入系统的开环传递函数kg,r,wg,wc=margin(g)%求出系统的开环传递函数的幅值裕度、相位裕度及对应频率kg =Infr =88.7200wg =Infwc =24.1191由程序可知: 截止频率为24.1191，相角裕度为88.7200度，幅值裕度为无穷大4位置随动系统的闭环传递函数在输入下的响应4.1闭环

20、传递函数在单位阶跃输入下响应图像绘制系统的闭环传递函数为:10000.0384s2 + 41.45s +1000其单位阶跃响应曲线如图15所示:图15系统单位阶跃输入下响应图源程序为：num=1000;%系统的闭环传递函数的分子den=0.0384,41.45,1000;%系统的闭环传递函数的分母step(num,den)%系统的闭环传递函数的单位阶跃响应grid on%打开栅格xlabel(t),ylabel(c(t)title(单位阶跃响应)%在x，y轴添加t和c(t)%为图像加标题此时100032H(S)n0.0384s2 + 41.45s +1000 s2 + 2s s + nn可得3

21、 161.37ns 3.34 1系统为过阻尼系统。4.2闭环传递函数在斜坡信号输入下响应图像绘制源程序为：t=0:0.01:100;%设时间范围u=t;%单位斜坡信号g=tf(1000,0.0384,41.45,1000);% 系统的闭环传递函数lsim(g,u,t);%系统的闭环传递函数的斜坡信号响应hold on%定格图像plot(u,t,r)%画单位斜坡信号图像grid on%打开栅格闭环传递函数在斜坡信号输入下响应图像如图16所示图16系统单位斜坡输入下响应图4.3 闭环传递函数输入响应误差分析由于系统是稳定的，在单位阶跃输入和斜坡信号输入时，可以应用终值定理。因此可 利用误差系数法得

22、到的系统稳态误差终值。1.在单位阶跃输入下其误差计算如下：误差传递函数为：E(s)二-1 + G(s) s1e(g) = lim sE(s) = lim=s TOs to1 + G(s) 1 + Kp其中K = lim G(s)p STO由于此系统为I型系统，可得所以1e(g) = lim sE(s) = 0s TO1 + Kp因此在单位阶跃信号输入下系统的稳态误差为 02.在单位阶跃输入下其误差计算如下：误差传递函数为：E(s)二-丄1 + G(s) s21e(g)二 lim sE(s)二 lim二 limsTOsTO s + sG(s) sTO sG(s) Kv1000其中Kv =豊 SG

23、(S)=豊 S 0.0384S2 + 41.45s = 41.5所以1e(g) = lim sE(s) = 0.0415s TOKv因此在单位斜坡信号输入下系统的稳态误差为 0.04155当Ka由0到a变化时根轨迹的绘制5.1等效开环传递函数的推导控制系统的闭环极点在复平面上随系统参数变化的轨迹称为控制系统的根轨迹。下面 推到以K为参变量的广义根轨迹。a系统的闭环特征方程为D(s)二 0.0384S2 + (K + 1.45)s + 25K 二 0aa1+Ka(25 + s)= 00.0384s2 + 1.45s可以看出，如果绘制一个开环传递函数为(25 + s)恒等变换为G (s)H (s)

24、= d ，丿 0.0384s2 + 1.45s的系统根轨迹，实际上就是原系统的根轨迹。5.2根轨迹的绘制绘制根轨迹的源程序如下：n=1,25;%传递函数的分子d=0.0384,1.45,0; %传递函数的分母 rlocus(n,d)%绘制传递函数的根轨迹根轨迹图像如图17所示：Root Locus图17系统的根轨迹图spuooCDa)仞一 W6 对系统进行超前校正设计超前校正装置，使得系统的相角裕度增加 10 度；用 Matlab 对校正前后的系统进行仿真分析，比较其时域响应曲线有何区别；校正前系统的相角裕度为40db/dec88.72 度，截止频率为 24.12，在截止频率处剪切率为因此附加

25、角度尝试选取二15。，要求补偿角度为Aq = 10。+ = 25则取甲二Aq，并有m1 + sin qa =m = 2.461 一 sin Qm并取未校正系统幅值为-101gadB时的频率作为校正后系统的截止频率，-101gadB的大小为-3.92dB，由未校正系统的伯德图可看出，此时截止频率=38，可得 c1T 二 二 0.017awc因此校正系统传递函数为1 + aTs 1 + 0.042sG=话=1000校正后系统的开环传递函数为0 (s) = G (s)G(s) = 1 + 0.042s1 + 0.017s 0.0384s2 + 41.45s求系统校正后系统的相角裕度程序为g=tf(1

26、000*0.042,1,conv(0.0384,41.45,0,0.017,1);%输入系统的开环传递函数kg,r,wg,wc=margin(g)%求出系统的开环传递函数的幅值裕度、相位裕度及对应频率kg =Infr =113.0357wg =Infwc =38.2481由程序结果可知校正后系统的相角裕度113.03。满足要求。 校正后系统的伯德图如图 18 所示：ujp.1rl=_L 孑巨o On I5-13-定旦-丄-130010110 10J 101r rq u c n cy ：ad/sO :-:534T10103图18系统校正后的伯德图求伯德图的程序为g=tf(1000*0.042,l

27、,conv(0.0384,41.45,0,0.017,l);% 输入系统的开环传递函数bode(g)%求出系统的伯德图grid on%打开栅格校正后系统的闭环传递函数为”、G (s)G(s)42s +1000H (s) =c=1 + G (s)G(s)0.0006528s3 + 0.74305s2 + 83.45s +1000c校正前后的系统对单位阶跃信号时域响应曲线程序为num=1000;%系统校正前的闭环传递函数的分子den=0.0384,41.45,1000;%系统的校正前闭环传递函数的分母step(num,den)%系统的闭环传递函数的单位阶跃响应grid on%打开栅格xlabel(

28、t),ylabel(c(t)%在x，y轴添加t和c(t)title(单位阶跃响应)%为图像加标题hold on%定格图像num=42,1000;%系统校正后的闭环传递函数的分子den=0.0006528,0.74305,83.45,1000;%系统的校正后闭环传递函数的分母step(num,den)%系统的闭环传递函数的单位阶跃响应校正前后的系统对单位阶跃信号时域响应曲线如图19所示：单位阶跌响应0.1FO校正前 校正后-0.30.3F(Jit igsccin图19系统校正后的单位阶跃响应图由校正前后的响应图像可知校正后系统的稳定性不变，但动态性能中上升时间加快, 对系统响应速度加快。7 心得

29、体会及参考文献心得体会在这次课程设计中，我才开始对位置随动系统不太了解，不知道它的工作原理，通过 查阅控制器件这本书，弄懂各个部分工作原理。我先理清各个部分的传递关系，再通 过微分方程，得出各个部分的传递函数，再进行组合得到总的传递函数，然后再对传递函 数进行分析，这样会更简单。对于 MATLAB 的应用很关键，它贯穿整个设计，对系统的分析非常重要，通过阅读 MATLAB自动控制原理和natlab基础与应用这两本书弄懂了相关响应曲线、伯德 图及奈奎斯特曲线的绘制，最终编程实现，这是我很有成就感。在这次课程设计中我学会了很多东西。首先，我通过理论知识的掌握，灵活运用到实 际设计中，使设计更简便，

30、而我对自动控制原理学习的内容有了更深刻的认识，对这 个学期学习的内容在实际中的应用更为了解，加深了我对自控学习的兴趣。在进行校正的时候，画出校正后系统的伯德图时，由于对 MATLAB 不够了解，因此 也没有熟练应用，不能直接在原来的程序上继续修改，而是把传递函数计算出来才又编程 画的的图。通过这次课程设计，我认识到控制系统与日常生活息息相关，它给我们的生活带来很 大的便利。因此，学好自动控制原理这门课会对自己将来有很大帮助。这次课程设计不但让我积累了知识，还让我懂得做什么事情都要动脑子去想，认真对 待，冷静分析，就会有所收获。通过自主学习，更让我的学习能力有所加强。参考文献1 张平.MATLAB基础与应用.北京：北京航空航天大学出版社，20072 胡寿松. 自动控制原理（第五版）. 北京：科学出版社，20073 邹逢兴. 控制器件. 北京：中国水利水电出版社，20114 刘坤.MATLAB自动控制原理.北京：国防工业出版社，20045 王燕平.控制系统仿真与CAD北京：机械工业出版社，2011