必修4三角函数的图像与性质

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1、1.4.1正弦函数、余弦函数的图象 学习目标：1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.能熟练运用“五点法”作图.学习重点：运用“五点法”作图 学习难点：借助于三角函数线画y=sinx的图象学习过程：一、情境设置遇到一个新的函数，画出它的图象，通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法，那么，一般采用什么方法画图象？二、探究研究问题1. 在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线. 问题2. 在相应坐标系内，在x轴表示12个角（实数表示），把单位圆中12个角的正弦线进行右移.问题 3. 通过刚才描点（x0,sinx0）,把一系

2、列点用光滑曲线连结起来，能得到什么？问题4. 观察所得函数的图象，五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？ 问题5. 如何作y=sinx,xR的图象（即正弦曲线）？问题6. 用诱导公式 cosx=_（用正弦式表示），y=cosx的图象（即余弦曲线）怎样得到？问题7. 关键五个点 .三、例题精讲例1：用“五点法”画下列函数的简图(1) y=1+sinx ，x (2) y=-cosx， x思考：（1）从函数图象变换的角度出发，由y=sinx,x的图象怎样得到y=1+sinx ，x 的图像？由y=cosx,x的图象怎样得到y=-cosx， ，x 的图像？四、巩固练习1、在0,2上,满足的x取值范围是

3、( ). A. B. C. D.2、 用五点法作) y=1-cosx， x的图象.3、结合图象，判断方程的实数解的个数.五、课堂小结在区间上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点（平衡点）.函数的图象可通过描述、平移、对称等手段得到. 六、当堂检测1、观察正弦函数的图象，以下4个命题：（1）关于原点对称 （2）关于x轴对称 （3）关于y轴对称 （4）有无数条对称轴 其中正确的是 A、（1）、（2） B、（1）、（3） C、（1）、（4） D、（2）、（3） （ ）2、对于下列判断：（1）正弦函数曲线与函数的图象是同一曲线；（2）向左、右平移个单位后，图象都不变的

4、函数一定是正弦函数；（3）直线是正弦函数图象的一条对称轴；（4）点是余弦函数的一个对称中心.其中不正确的是 A、（1） B、（2） C、（3） D、（4） （ ）3、（1）的图象与的图象关于 对称；（2）的图象与的图象关于 对称.4、（1）把余弦曲线向 平移 个单位就可以得到正弦曲线；（2）把正弦曲线向 平移 个单位就可以得到余弦曲线.5、画出的简图，并说明它与余弦曲线的区别与联系.七、课后作业教材P46 A组 第1题1.4.2 正弦函数、余弦函数的周期性 学习目标：1.了解周期函数及最小正周期的概念. 2.会求一些简单三角函数的周期.学习重点：周期函数的定义，最小正周期的求法.学习难点：周期

5、函数的概念及应用.学习过程：一、情境设置自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等.数学中从正弦函数，余弦函数的定义知，角的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，引入一个新的数学概念函数周期性.二、探究研究问题1：观察下列图表x-0sinx010-1010-10从中发现什么规律？是否具有周期性？问题1：.如何给周期函数下定义？周期函数的定义 问题2：判断下列问题：（1）对于函数y=sinx xR 有成立，能说是正弦函数y=sinx的周期？（2）是周期函数吗？为什么？（3）若T为的周期，则对于非零整数也是

6、 的周期吗？问题3：一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？问题4：最小正周期的含义；求的最小正周期？三、例题精讲例1: 求下列函数的最小正周期：（1）； （2） 变式训练:1. 求 的周期 问题5：观察以上周期的值与解析式中x的系数有何关系？结论：函数0)的周期为 四、巩固练习1、求下列函数的周期：（1）函数的周期是_.（2）函数的周期是_.（3）函数的周期是_.（4）.函数 的周期是_.（5）.函数 的周期是_.2.函数的周期与解析式中的_无关，其周期为_. 3. 函数的周期是则=_ 4.若函数是以 为周期的函数，且 5.画出函数的图像并判断是不是周期函数？若是，则它的周期

7、是多少？五、小结反思 对周期函数概念的理解注意以下几个方面：(1)是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值，仍在定义域内且使等式成立.(2)周期是常数，且使函数值重复出现的自变量的增加值.(3)周期函数并不仅仅局限于三角函数，一般的周期是指它的最小正周期.六、当堂测评：1、设，则函数的最小正周期为 （ ）A、 B、 C、 D、2、函数的周期不大于2，则正整数的最小值是（ ）A、13 B、12 C、11 D、103、求下列函数的最小正周期：（1） .（2） .4、已知函数的最小正周期为，则 .5、求函数的周期：（1） 周期为： .（2） 周期为： .（3） 周期为： .（4） 周期为： .6、

8、试画出函数y=sin的图像，函数y=sin是周期函数吗？如果是，则周期是多少？7、已知函数 ，求最小正整数，使函数周期不大于2； 七、课后作业教材P46 A组 第3、10题1.4.3 正、余弦函数的值域、奇偶性、单调性 学习目标：1.掌握正、余弦函数的有关性质并会运用. 2.熟记正、余弦函数的单调区间，并利用单调性解题.学习重点：三角函数的值域、奇偶性、单调性. 学习难点：求三角函数的单调区间，根据图象求值.学习过程：一、情境设置在已学过的内容中，我们要研究一个函数，往往从哪些方面入手？二、探究研究问题1.观察y=sinx, y=cosx (xR)的图象，你能得到一些什么性质？问题2.分别列出

9、y=sinx, y=cosx (xR)的图象与性质函数图象定义域值域最值当 时，= 当 时，= 当 时，= 当 时，= 最小正周期奇偶性单调性在 上，都是增函数；在 上，都是减函数；在 上，都是增函数；在 上，都是减函数；对称轴方程对称中心三、例题精讲例1：求下列函数的最大值及取得最大值时x的集合(1) (2) 练习1：（1）若呢？ （2）若呢？例2：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小（1）与 (2) 与练习2：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小（1）与 (2) 与（3）与 （4）与 例3:判断下列函数奇偶性（1）f(x)=1-cosx （2）g(x)=x-sinx练习3：判断

10、下列函数的奇偶性： ；： ： .例4 .求，的单调增区间练习4：（1）求，的单调增区间 （2）求的单调增区间 四、巩固练习1、.函数y=sinx,当时自变量x的集合是_.2、.把下列三角函数值从小到大排列起来为：_，3、.函数的奇偶数性为（）.A.奇函数B.偶函数 C既奇又偶函数 D.非奇非偶函数4、下列四个函数中，既是 上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（）.A. B. y= C. D.5、函数，其增区间为 .减区间为 .五、小结反思：正、余弦函数的定义域、值域、有界性、单调性、奇偶性、周期性等都可以在图象上被充分地反映出来，所以正、余弦函数的图象十分重要.结合图象解题是数学中常用的方法.

11、六、当堂测评：1、设，则三角函数的定义域是（ ）A、 B、 C、 D、 2、在上是增函数，又是奇函数的是（ ） A、 B、 C、 D、 3、已知函数，则其单调增区间是 ； 单调减区间是 。4、 求下列函数的单调增区间： （1） （2） 七、课后作业教材P46 A组 第2、4、5题1.4.3 正切函数的图象与性质 学习目标：1.熟练运用正、余弦函数的图象与性质解题.2.能借助正切函数的图象探求其性质. 学习重点：运用三角函数的图象与性质解题学习难点：正切函数的单调性学习过程：一、 情境设置问题1. 在单位圆中如何定义正切线的？问题2. 回忆图象的由来，你能通过正切线作 的图象吗？二、探究研究新知

12、1：正切曲线问题3. 观察的图象，你能得到的一些怎样性质？新知2：正切函数的性质（1）定义域 (2)值域 (3)最小正周期 (4)单调性 三、例题精讲例1：求的定义域、周期和单调区间变式训练：（1）求的定义域、周期和单调区间(2)、函数的周期为（ ）.A B C D例2、根据正切函数图象，写出满足下列条件的x的范围 四、巩固练习1、在定义域上的单调性为（ ）.A在整个定义域上为增函数 B在每一个开区间上为增函数C在整个定义域上为减函数 D在每一个开区间上为增函数2、下列各式正确的是（ ）.A. B. C. D.大小关系不确定3、直线(a为常数)与正切曲线为常数，且相交的两相邻点间的距离为（ ）

13、.A B C D与a值有关4、与函数图象不相交的一条直线是（ ）.A B C D五、小结反思：（1）作正切曲线简图的方法：“三点两线”法，即 和直线及，然后根据周期性左右两边扩展.（2）正切函数的定义域是，所以它的递增区间为六、课后作业：1、函数的最小正周期是（ ）A、 B、 C、 D、2、函数的定义域是（ ）A、且 B、且 C、且 D、且3、下列函数不等式中正确的是（ ）.A BC D4、在下列函数中，同时满足：在上递增；以为周期；是奇函数的是（ ）.A B C D5、函数的大小关系是（用不等号连接）： .6、函数的定义域是 .7、求函数的单调区间。8、确定函数的单调区间.1.5.1 函数的

14、图象与性质（1） 学习目标: 1.了解的实际意义，会用五点法画出函数的简图.2.会对函数进行振幅变换，周期变换，相位变换，领会“由简单到复杂，从特殊到一般”的化归思想.学习重点：五点法画的简图和对函数的三种变换.学习难点：函数的三种变换.学习过程：一、情境设置1.物体作简谐运动时，位移s与时间t的关系为，其中振幅是 ,周期是 ,频率是 ,相位为 ,初相是 2. 函数的图象与有何关系?二、探究研究1. 在同一坐标系中,画出,的简图.问题1. 与的图象有什么关系?结论1：一般地,函数的图象可以看做将函数的图象上所有的点向 平移 个单位长度而得到的.问题2.与的图象有什么关系?结论2： 一般地,函数

15、的图象可以看做将函数 的图象上所有的点的纵坐标变为原来的 而得到的.问题3. 与的图象有什么关系?结论3： 一般地,函数的图象可以看做将函数 的图象上所有的点的横坐标变为原来的 而得到的. 问题4.函数的图像可由函数的图像经过怎样的变化得来？例1：结论4：函数的图像，可由函数的图像用下面的步骤变化得到：第一步 第二步 第三步 第四步 三、教学精讲例2: 叙述到的变化过程. 例3: 叙述到的变化过程.练习1: 向_平移_个单位得到向_平移_个单位得到向右平移个单位得到,求例4：求函数的振幅,周期,频率,相位,初相,用五点法作出该函数的图象四、巩固练习1、把函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3

16、倍，而横坐标不变，可得 的图象，则 A、 B、 C、 D、 （ ）2.下列命题正确的是( ). A. 的图象向左平移的图象B. 的图象向右平移的图象C. 当0，0，0）的两个邻近的最值点为（）和（），则这个函数的解析式为_.3. 下列命题正确的是( ). A. 的图象向左平移的图象B. 的图象向右平移的图象C. 当O, 0,)的最小正周期是，最小值是-2，且图象经过点（），求这个函数的解析式. 五、小结反思 ：到的变换流程图.六、自我测评：1、把函数的图象向下平移1个单位，再把所得图象上点的纵坐标扩大到原来的3倍，然后再把所得图象上点的横坐标扩大到原来的3倍，最后再把所得的图象向左平移个单位，

17、则所得图象对应的函数是 （ ）A、 B、 C、 D、2、要得到的图象，只需将函数的图象 （ ）A、向左平移 B、向右平移 C、向左平移 D、向右平移3.函数的图象，可由函数的图象经过下述_变换而得到（）.A.向右平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍 B.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍 C. 向右平移个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的 D.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标缩小到原来的4、函数表示一个振动量，其中振幅是，频率是，初相是，则这个函数为 。5.函数的图象的对称轴方程为_.6.函数的图象关于y轴对称，则Q的最小值为_

18、.6、已知函数的图象最高点为，由此最高点到相邻最低点的，图象与x轴的交点为。求此函数的一个表达式.7、设函数在同一周期内，当时，y有最大值为；当，y有最小值。求此函数解析式.8、函数的最小值为-2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差是,又图象过点（0，1），求这个函数的解析式.1.6.1 三角函数的应用（1） 总第14课时 执笔: 王计文 王振华 罗鹏旺 授课时间; 年 月 日学习目标：1、会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型。 2、熟悉数学建模的方法与步骤.学习重点：函数思想解决具有周期变化规律的实际问题。学习难点：建立三角函数的模型。学习

19、过程：一、情境设置三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用。二、探究研究问题1一半径为3cm的水轮如图所示，水轮圆心o距离水面2m，设角是以ox为始边，op0为终边的角，求。解析：设问题2. 已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中P0）开始计算时间，将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数。问题3. 点P第一次到达最高点大约要多长时间？三、教学精讲例1：在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处开始记时。求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t

20、(s)之间的函数关系。 求该物体在t=5s时的位置。 例2. 某城市一年中12个月平均气温与月份数之间的关系可以近似地用一个三角函数来描述。已知6月份的月平均气温最高，为29.45，12月份的月平均气温最低，为18.3。求出这个三角函数的表达式，并画出该函数的图象。四、巩固练习1、三角函数可以作为描述现实世界中_现象的一种数学模型.2、是以_为周期的波浪型曲线.3、设是某港口水的深度关于时间t(时)的函数，其中,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系.t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数的图象可以近似

21、地看成函数的图象.根据上述数据，函数的解析式为（ ）A BC D五、小结反思 1、利用三角函数建立数学模型一定要熟悉的性质。实际问题实际问题问题数学问题实际问题问题2、六、自我测评：1、受日月引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋，某港口水的深度y（米）是时间单位：时）的函数，记作，下面是该港口在某季节每天水深的数据：t(时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经长期观察，曲线可以近似地看做函数的图象。根据以上数据，求出函数近似表达式。一般情况下，船舶航行时，船底

22、离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（航底离水面的距离）为6.5米，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）？2、如图所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数的图象。求这段时间的最大温差；写出这段曲线的函数解析式。3、以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，

23、9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由.1.6.2 三角函数的应用（2） 总第 15课时 执笔: 王计文 王振华 罗鹏旺 授课时间; 年 月 日学习目标：1、能准确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律，来解决实际问题. 2、体会生活即数学的意义.学习重点：用三角函数模型刻画潮汐变化规律，用函数思想解决具有周期变化规律的实际问题.学习难点：实际问题中陌生的背景，复杂的数据处理.学习过程：一、情境设置海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航区，靠

24、近船坞，卸货后落潮时返回海洋.常用三角函数去模拟相关函数. 二、探究研究问题1. 观察下表的数据，作出散点图，观察图形，你认为可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律？给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深：时刻水深（m）时刻水深（m）时刻水深(m)0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.56:005.015:007.524:005.0问题2. 根据所得的函数模型，求出整点时的水深。 问题3一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口待多久？ 问题4若船的吃水深度

25、为4m，安全间隙为1.5m，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减少，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 三、教学精讲例1：某港口相邻两次高潮发生时间间隔12h20min，低潮时入口处水的深度为2.8m，高潮时为8.4m，一次高潮发生在10月3日2:00。（1）若从10月3日0:00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；（2）求10月5日4:00水的深度；（3）求10月3日吃水深度为5m的轮船能进入港口的时间。 例2. 电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是，设，A=5。求电流I变化的周期和频率；当时，求电流I。画出电流I(A)随时间t(s)变化的函数图象。四、巩固练习1、课本第65页练习