高等数学D第6章定积分

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1、1,定积分和不定积分是积分学的两个,一种认识问题、分析问题、解决问题的,不定积分侧重于基本积分法的训练,而定积分则完整地体现了积分思想 ,主要组成部分.,思想方法.,2,第六章 定积分,6.1 定积分的概念与性质,6.2 定积分的几何意义,6.3 定积分的性质,6.4 微积分基本公式,6.5 定积分的换元积分法概与分部积分法,6.6 无穷限广义积分,6.7 定积分的应用,3,6.1 定积分的概念,两个典型的例子,定积分的定义,4,1.曲边梯形的面积,求由连续曲线,一、,两个典型的例子,5,用小矩形面积的和,梯形面积,（五个小矩形）,（十个小矩形）,基本思想,显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲

2、边,近似取代曲边梯形面积,6,采取下列四个步骤来求面积A.,(1) 分割,(2) 取近似,长度为,为高的小矩形,面积近似代替,7,(3) 求和,这些小矩形面积之和可作为,曲边梯形面积A的近似值.,(4) 求极限,为了得到A的精确值,取极限,形的面积:,分割无限加细,极限值就是曲边梯,面积A就是一个和式的极限！,8,2.求变速直线运动的路程,思路,把整段时间分割成若干小段,每小段上,速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便,得到路程的近似值，,设某物体作直线运动,已知速度,是时间间隔,的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程.,进一步如上例求极限.,9,(1) 分割,(3) 求和,(4)

3、取极限,路程的精确值,(2) 取近似,表示在时间区间,内走过的路程.,某时刻的速度,路程s同样是一个和式的极限！,10,上两例共同点:,1) 所求量均由一个函数和所在区间所决定；,2) 方法一样(分割取近似求和取极限)；,3) 结果形式一样(和式的极限).,11,在各小区间上任取,在a,b中任意插入,二、定积分的定义,设函数f (x)在a,b上有界,1.定义,若干个分点,把区间a,b分成n个小区间,各小区间长度依次为,一点,作乘积,并作和,记,如果不论对,12,被积函数,被积表达式,记为,怎样的分法,也不论在小区间,上点,怎样的取法,只要当,和S总趋于确定的,极限I,称这个极限I为函数f(x)

4、在区间a,b上的,定积分.,积分下限,积分上限,积分变量,a,b积分区间,13,和上、下限,(1)定积分是一个数值,定积分数值只依赖于被积函数,而与积分变量的记号无关.,(2)对定积分的补充规定:,14,结论1,结论2,2. 可积函数类,可积.,且只有有限个间,可积.,当函数,的定积分存在时,可积.,断点,？,哪些函数是可积的呢？,15,解,例 用定义计算,小区间,的长度,取,16,17,6.2 定积分的几何意义,在问题1中，,曲边梯形的面积为,那么,18,这就是说，当,时，,等于曲边梯形的面积的相反数.,x,定积分,19,在,上连续，且有时取正值，,则有,（3）如果,有时取负值,20,例,解

5、,21,6.3 定积分的性质,在下面的性质中, 假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小,性质1,性质2,(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况),性质1和性质2称为,线性性质.,22,性质3 定积分的可加性,.,在左图中：,在右图中：,所以,23,性质4,性质5,如果在,则,推论,如果在,则,证,于是,24,解,令,于是,比较积分值,和,的大小.,例,25,证,(此性质可用于估计积分值的大致范围),性质6 估值不等式,分别是函数,最大值及最小值.,则,26,解,估计积分,例,27,解,估计积分,例,28,证,由闭区间上连续函数的介值定理:,性质7(定积分中值定理）,如果函数,在闭区间,连

6、续,则在积分区间,至少存在一点,使下式成立:,积分中值公式,至少存在一点,使,即,29,积分中值公式的几何解释,至少存在一点,在区间,使得以区间,为底边,以曲线,为曲边的曲边梯形的,面积,等于同一底边而高为,的一个矩形的面积.,30,定理用途,连续函数的 平均值公式,如何去掉积分号来表示积分值.,通常称,31,比如,以速度 做直线运动的物体在,曲边梯形的平均高度,的路程为,则在这段时间内的平均速度为,可以看作,32,例 平均气温,表示某地点一昼夜中任意,时刻t的气温，那么平均气温是多少？,如果每一小时测量一次气温,所有测得的温度值相加除,如果半小时测量一次，,以24,可以得到一昼夜每小时的平均

7、气温.,气温是连续变化的，,气温自动记录仪记录的是一条连续,变化的曲线,气温曲线（连续曲线）下的面积,除以区间长度24，即,就是一昼夜的平均气温.,如果用,这样得到的平均气温代表性更好，,33,例,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,设某物体作直线运动,已知速度,的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程.,是时间间隔,一、问题的提出,其中,6.4 微积分基本公式,34,启示,问题,这种方法有没有一般性呢？,计算定积分 的方法：,求v(t)的一个,原函数s(t)， s(t)的增量就是定积分,35,根据定积分的几何意义，,二、积分上限函数及其导数,曲边,梯形的面积为,在a,b上,

8、取点x,形成的小曲边梯形面积为,（定积分）,36,一定要分清函数的,（3）如果上限 x 在区间a,b上任意变动,则对于每一个取定的x值,所以它在a,b上定义了一个函数,与,自变量x,积分变量t.,称为积分上限函数.,有一个对应值,定积分,37,证,定理6.1,因为,其导数为,38,积分中值定理,故,39,定理6.1指出:,积分联结为一个有机的整体,连续函数一定有原函数.,(2) 积分运算和微分运算的关系,它把微分和,所以称它是微积分学基本定理., 微积分,(1) 连续函数f(x)取变上限的定积分再求导，,还原为函数f(x)本身.,就是,f(x)的一个原函数，,这就证明了93页(定理5.1）,的

9、原函数存在定理：,40,例,解,练习,41,例,解,一般的,42,例,解,43,例 求极限,这是 型不定式,分析,应用洛必达法则,解,44,练习,解,这是 型不定式,分析,应用洛必达法则,45,定理6.2（牛顿-莱布尼茨公式）,证,牛顿(英)16421727,莱布尼茨(德)16461716,如果,是连续函数,的一个原函数,则,都是f(x)在a,b,因为,上的原函数,故有,C是待定常数,即有,三、牛顿莱布尼茨公式,46,牛顿(Newton)莱布尼茨(Leibniz)公式,微积分基本公式,特别,仍成立.,47,微积分基本公式表明,求定积分问题转化为求一个原函数的问题，,一个连续函数在区间a, b上

10、的定积分等于,它的任意一个原函数在区间a, b上的增量.,基本公式将定积分和不定积分联系在一起.,即求不定积分问题.,48,例 计算,因为,解,是x2 的一个原函数,所以,例,49,例,例,50,例,51,例 计算,解：,.,52,上一节的牛莱公式将定积分的计算,的形式,而不定积分可用换元法,和分部积分法求积 ,这样定积分的计算问题,已经比较完满地解决了.,归结为求不定积分,如果将换元法和分部积分法写成定积分,常可使得计算更简单.,一般计算定积分，可以采取以下步骤：,先计算相应的不定积分，得到一个原函数，,再计算原函数在积分区间上的增量.,6.5定积分的换元与分部积分法,53,定理6.3,则有

11、,定积分换元公式,假设函数,1、定积分的换元法,函数,满足条件:,(1),(2),单调且具有连续导数,54,由于积分限做了相应的,故积出来的原函数不必回代;,将原变量x换为新变量t时，x的积分限也必须,(1),换元公式仍成立;,(3),在定积分换元公式中,改变,(2),变为t 的积分限.,(4) 变量代换的选择原则与不定积分的换元法相同.,55,例,解,原式,这是半径为a的四分之一的圆的面积.,56,例 计算,解：,则,.,57,例,解,因为,原式=,58,(1)被积函数如果带有绝对值,去绝对值时 一定要注意取值.,(2)可以不写出换元函数，,注意如果不写出,新的变量 t ,定积分的上、下限就

12、不要变.,59,例,证,由于,则,60,可得:,由定积分的几何意义(面积的代数和)也可得.,奇、偶函数在对称区间上的定积分性质,且有,则,则,61,例 (1),=,+,=,(2),=,(3),62,周期函数的定积分公式,这个公式就是说：,周期函数在任何长为一周期的,区间上的定积分都相等.,例,63,定积分的分部积分公式,2、定积分的分部积分法,设,有连续的导数,则,定理 6.4,由不定积分的分部积分法,及N-L公式可得上述公式.,64,例,解,65,例 求,解,66,例 求,解,注意循环形式,67,解,先用换元法.,令,不同的计算方法要灵活运用,练习,68,还可利用定积分积分表中的定积分公式计

13、算.,n为正偶数,n为大于1的正奇数,求定积分的方法:,利用定义 , 几何意义 , 牛莱公式,69,定积分,积分区间有限,被积函数有界,积分区间无限,被积函数无界,推广,定积分的极限,广义积分,6.6 无穷限的反常积分,70,引例:,当,由于图形是开口的，所以不能直 接用定积分计算其面积,任取 t1,则在区间1,t上的曲边梯形的面积为,曲边梯形面积的极限,就理解为“开口曲边梯形”的面积,71,定义6.2,即,这时也称广义积分,如果上述极限不存在,称广义积分,如果极限,存在,则称这个极限值,无穷限广义积分,收敛;,发散.,(简称广义积分),思考题：,72,如果广义积分,和,都收敛,则称上述两广义

14、积分之和为函数,这时称广义积分,上的广义积分,即,收敛;,记作,发散.,否则称广义积分,73,例 计算广义积分,解,通常把,74,对广义积分可用如下的简记法使用N-L公式,75,上例 广义积分,76,所以无论,是否收敛，,广义积分,例 判断广义积分 的敛散性,解,发散.,77,例 讨论广义积分,因此，,的敛散性,收敛,发散.,解,其值为,78,定积分在几何学、物理学、经济学、生物学等 领域有着广泛的应用，较为简单的是根据给定的导 函数求原函数的问题，较为复杂的是通过分析才能 得到被积式，然后利用定积分求得问题的解，其中 主要的方法是“微元法”.,6.7 定积分的应用,79,采取下列四个步骤来求

15、面积A.,(1) 分割,(2) 取近似,(3) 求和,(4) 求极限,回忆：曲边梯形的面积,1、微元法,有了N-L公式后,这个复杂的极限运算问题得,到了解决.,80,究竟哪些量可用定积分来计算呢.,结合曲边梯形面积的计算,?,可知,用定积分计算的量,应具有如下,及定积分的定义,许多部分区间,(即把a, b分成,几个特点:,(1) 所求量I 即与a, b有关;,(2) I 在a, b上具有可加性.,则I 相应地分成许多部分量,而I 等于所有部分量之和),(3)部分量 可以表示为,81,对于能用定积分计算的应用问题，关键在于如何写出,被积表达式.,是所求量 I 的微分,于是, 称,为量 I 的,微

16、元或元素.,比如，在面积问题中，就称为面积元素.,82,微元法计算量I的步骤：,(1) 根据实际问题选取坐标系和积分变量，比如x，并确定其范围a,b,一、元素法(微元法).,在 上对微元积分，,得到结果,6.7 定积分的应用,83,这个小区间上所,对应的小曲边梯形面积,面积元素,得,1. 曲边梯形面积的积分式也可以用元素法,建立如下.,地等于长为f(x)、宽为dx 的,小矩形面积,故有,近似,84,求这两条曲线,及直线,所围成的区域的,面积A.,的面积元素dA为,它对应,即,小区间,微元法：,2、平面图形的面积,85,例 求由曲线,与,围成图形的面积,联立曲线方程,得两条曲线的交点：,画出参考

17、图如图，可知需要求曲线的交点.,x,及,.,解：,所求面积为,86,例 计算曲线,与,围成图形的面积,解：,求出曲线的交点为,（1）取 为积分变量，,图形面积,（）取 为积分变量，,图形面积,87,3、平行截面面积为已知的立体的体积,用过点x,且垂直于x轴的平面,截此立体，,求该立体的体积.,立体体积,采用微元法：,体积元素,88,例 计算由连续曲线,绕 轴,旋转一周所得立体的体积.,解：用过点x,且垂直于x轴的平面截此立体，,旋转体的体积,89,解,例,由旋转体体积公式得,的立体的体积.,绕x轴旋转一周所形成,90,4、分布密度函数和分布函数,除了有限个点外,称为分布函数，,分布函数用来表示随机事件发生的概率，,如果函数,且满足,就是分布密度函数，,用分布密度函数曲线下的面积表示的.,处处都连续，,于是分布函数的导函数,即,这个概率是,91,4、分布密度函数和分布函数,除了有限个点外,称为分布函数。,如果函数,且满足,处处都连续，,92,5、定积分在物理学中的应用变力做的功,6、定积分在经济学中的应用-期末价值和贴现 价值,