2021年新教材高中数学必修第二册6.2.4 向量的数量积 第2课时 向量的向量积 教学设计

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1、2021 年新教材高中数学必修第二册：6.2.4 向量的数量积第 2 课时 向量的向量积本节课选自普通高中课程标准数学教科书-必修第二册（人教 A 版）第六章平面向量及 其应用，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数 量积的运算律,本节课是第二课时，本节课主要学习平面向量的数量积的运算律及其运用。向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算,它的内容很丰富。包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。向量数量积是代数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。但它与向量的线性运算有着本质的区

2、 别,运算结果是一个数量。课程目标A.掌握数量积的运算律；B.利用数量积的运算律进行化简、求值；学科素养1.数学抽象：数量积的运算律；2.逻辑推理：证明数量积的运算律；3.数学运算：运用数量积的运算律求值；1.教学重点：数量积的运算律；2.教学难点：利用数量积的运算律化简、求值。多媒体第 1 页 共 7 页教学过程一、复习回顾，温故知新1.向量的数乘的运算律【答案】设 a 、 b 为任意向量， l 、 m 为任意实数，则有：教学设计意图核心素养目标通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识（1）l(ma) =(lm)a间的联系，提高学生概括、类比推理（2）(l+m)a =la +ma的能力。

3、（3）l(a +b) =la+lb2.平面向量的数量积定义：a b=|a | b | cosq平面向量的数量积的结果是数量。二、探索新知1.平面向量数量积的运算律探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得 到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？平面向量数量积的运算律通过探究，让学 生证明，讲解向量数 量积的运算律，提高 学生的解决问题、分 析问题的能力。第 2 页 共 7 页证明：（1）因为 a b=|a | b | cosq， b a=|b | a | cosq所以，a b=b a。（2）当l0时， la与b的夹角、a与b的夹角一样。因为(la) b=|la | b | c

4、osq=l|a | b | cosq=l(ab)，a (lb) =|a |lb| cosq=l|a | b | cosq=l(ab)同理，当l0时，(la)b=l(ab)=a (lb)成立。所以，(la) b=l(ab)=a (lb)。（3）通过思考，总结第 3 页 共 7 页( a +b ) =a +2 a b+b( a +b )( a -b ) =a -b论 ？（1）； （2）2 22 2思考：设a, b, c是向量，( a b)c=a (bc)一定成立吗？为什么？通过思考，让学生明【答案】( a b)cc表示与一个与 共线的向量，白 向 量 数 量 积 不 满足结合律，提高学生而a (b

5、c)a a c表示一个与 共线的向量，但 与 不一定共线。解决问题的能力。所以( a b)ca (bc)。结论：向量数量积不满足结合律。例1. 对 任 意a, b R， 恒 有( a +b ) 2 =a 2 +2 ab +b 2，通过例题进一( a +b )( a -b ) =a2-b2，对任意向量 a , b ，是否也有下面类似的结步巩固向量数量积2 2 2 22【解析】（1）(a +b ) 2 =( a +b )( a +b ) =a a+a b+ba+bb=a +2 a b+b(2)(a +b )( a -b ) =a a-a b+ba-bb=a -b。的运算律，提高学生运用所学知识解决

6、问题的能力。例 2.已知 a =6, b =4, 夹角q=60 0, 求(a +2b ) (a -3b)第 4 页 共 7 页2 22 2 解：原式 =a a-3a b+2b a-6b b=|a |2-a b-6| b |2=|a |2 -| a | b | cos q -6 | b |2=6 2 -6 4 cos 60-6 4 2 =-72例 3. 已知| a |=3,| b |=4,且a与b不共线，当 k 为何值时，向量a +kb与a -kb互相垂直？解：a +kb与a -kb互相垂直的充要条件是( a +kb) (a -kb) =0，即a -k 2 b =0，因为a =32=9, b =

7、42=16。所以9 -16 k2=0 ，解得 k =34。也就是说，当k =34时，向量a +kb与a -kb互相垂直。三、达标检测1给出下列判断：若 a2b20，则 ab0；已知 a，b，c 是三个非零向量，若 ab0，则|ac|bc|；a，b 共线ab|a|b|；|a|b|0，则 a 与 b 的夹角为锐角；若 a，b 的夹角为 ，则|b|cos 表示向量通过练习巩固本节b 在向量 a 方向上的投影长其中正确的是：_【解析】 由于 a20，b20，所以，若 a2b20，则 ab0，故 正确；若 ab0，则 ab，又 a，b，c 是三个非零向量，所以 acbc，所以|ac|bc|，正确；a，b

8、 共线ab|a |b|，所以 不正确；对于应有|a|b |ab；对于，应该是 aaa|a|2a；a2b22|a |b |2ab，故正确；第 5 页 共 7 页所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。1当 a 与 b 的夹角为 0 时，也有 ab0，因此错；【答案】 2.若非零向量 a，b 满足|a|3|b|a2b|，则 a 与 b 夹角的余弦值为 _【解】 设 a 与 b 夹角为 ，因为|a|3|b|，所以|a|29|b|2，又|a|a2b|，所以|a|2|a|24|b|24ab|a|24|b|24|a|b| cos13|b|212|b|2cos，即 9|

9、b|213|b|212|b|2cos，故有 cos .31【答案】 33.已知|a|3，|b|2，向量 a，b 的夹角为 60，c3a5b，dma 3b，求当 m 为何值时，c 与 d 垂直？【解析】 由已知得 ab 32cos 603.由 cd，知 cd 0，即 cd (3a5b) (ma3b)3ma2(5m9)ab 15b 27m3(5m9)6042m870，29 29m ，即 m 时，c 与 d 垂直14 142四、小结1. 理解数量积的定义；2.向量数量积的运算律； 五、作业习题 6.2 11（1），18 题通过总结，让学生 进 一 步 巩 固 本 节 所 学内容，提高概括能 力, 提

10、高学生的数学 运 算 能 力 和 逻 辑 推 理能力。第 6 页 共 7 页在整个探求过程中,充分利用“旧知识”及“旧知识形成过程”并利用它探求新知识。这样的过程,既是学生获得新知识的过程,更是培养学生能力的过程。我感觉不足的有:(1)教师应该如何准确的提出问题在教学中,教师提出的问题要具体、准确,而不应该模棱两可。(2)教师如何把握“收”与“放”的问题何时放手让学生思考,何时教师引导学生,何时教师讲授,这是个值得思考的问题。(3)教师要点拨到位，在学生出现问题后,教师要及时点评加以总结,要重视思维的提升,提高学生的数学能力和素质。(4)课堂语言还需要进一步提炼。在教学中,提出的问题,分析引导的话应具体,明确,不能让学生不知道如何回答 ,当然有些问题我也考虑过该如何问 ,只是没有找到更合适的提间方法 ,这 方面的能力有待加强。第 7 页 共 7 页