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1、多项式乘法,张家琳 复旦大学附属中学,引言,多项式是最基本的数学工具之一，由于其形式简单，且易于用计算机对其进行各种计算，在当今的社会中应用越来越广。不仅在像Maple这样的数学软件中有着举足轻重的作用，在工程、信息等诸多领域中都有着广阔的应用。,下面我们给出几个多项式逼近的例子：,多项式的基本运算,加法运算,求值运算,乘法运算,普通的多项式乘法运算,多项式乘法是一个很常见的问题，在通常的算法中，两个 次多项式的乘法需要用 的时间才能完成。,让我们先来看一看这样的算法是如何进行的：,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2、. . . . . . .,在上面的过程中，似乎我们觉得这个算法并没有做任何多余的事情，因为我们必须考虑每一组 ,它们的乘积对最终的结果都会产生影响。而且我们不能通过调整计算顺序从根本上降低算法时间复杂度，至多只能使其常数因子稍小一些。,如果我们不能跳出以上思维的局限，我们就不可能在根本上降低算法的时间复杂度。,让我们首先换一个角度来考察多项式。,多项式的点值表示法,首先让我们来看多项式的另一种表示方法：点值表示法,即用 （其中， 互不相同）来表示一个不超过 次多项式。,给定一个多项式，要给出n组点值对最简单的方法是任选 n个互不相同的xi，依次求出多项式在这n个点的值。,用n个点值对也可以唯
3、一确定一个不超过n-1次多项式，这个过程称之为插值。,引理1（多项式插值的唯一性）,对于任意n个点值对组成的集合, 其中 互不相同，则存在唯一的次数不超过n-1的多项式 ，满足,continue,存在性：,已知,不妨记为XA=Y,X是范德蒙矩阵，利用行列式的变换可得该矩阵的行列式的值为,因此X有逆矩阵 。,唯一性：,若两个函数次数不超过n-1次的多项式 均符合题意，则多项式 有n个根， 且 为不超过n-1次的多项式，所以 , 即 。,back,点值多项式的乘法,因此： 适当的利用点值表示可以使多项式的乘法可以在线性时间内完成！,因为f(x)g(x)的次数为n-1，r(x)的次数为2n-2,因此
4、确定r(x)需要2n-1个点值对，而现在我们只有n个点值对。,我们可以通过对f(x)与g(x)的点值对个数的 扩充来解决这个问题，即将f(x),g(x）的点值对在一开始就取为2n-1。,利用点值表示法改善多项式系数表示法的乘法,下面让我们来看一看我们是否能够利用点值表示法在计 算多项式乘法时的线性时间来提高系数表示法的多项式乘 法的速度。 为了做到这一点，我们需要做： 将多项式由系数表示法转化为点值表示法(点值过程） 利用点值表示法完成多项式乘法 将点值表示法再转化为系数表示法（插值过程） 其中第二步只需要线性时间。问题的关键转化为第一 第三步。,continue2,continue1,con
5、tinue3,1.由系数表示法转化为点值表示法。（点值过程）,注意！x0,x1,xn-1是由我们自己选择的，我们可以充分利用这一点通过适当的选择使转化过程降为O(n log n)。,这里我们选择1的n次单位根作为x0,x1,xn-1，即,其中,引理2：对任何整数n=0,k=0,j0,成立：,证明：,折半定理,注意到， 中包含了f中所有偶下标的系数，而 中包含了f中所有奇下标的系数。,并记,求 与 在点 的值。,问题：求,设n为偶数（否则可以通过添加高次零项使n化为偶数）。,另一方面，由折半定理：,并不是n个不同的数，而是仅由1的n/2次单位根组成，每个根恰好出现2次。,由此可以看到子问题与原问
6、题形式相同，但规模缩小一半，这启示我们可以利用分治的思想通过递归来解决这个问题。,递归算法的具体实现过程,递归边界条件,Function transform(a:atype):y:ytype；,if n=1 then return a0,递归预处理,if odd(n) then begin inc(n);an-1:=0;end;,递归过程,For k:=0 to n-1 do 利用,计算,可以证明，以上计算方法的时间复杂度为O(n log n)。,back,2将点值表示法再转化为系数表示法。（插值过程）,点值过程所解决的问题可以等效为一个矩阵方程：,插值过程是点值过程的逆运算。这个问题比前一个
7、问题看起来更复杂，但事实上，通过适当的转化可以把这个问题转化为前一个问题。,记为,Y,A,点值过程,插值过程,如果,存在,引理3,利用引理3，我们就可以很容易的解决插值的问题。,Y,A,可等效为矩阵方程：,因此，我们可以充分利用点值过程的方法求出多项式的系数表达。,递归边界条件,Function transform( a:atype ):y:ytype ；,if n=1 then return a0,递归预处理,if odd(n) then begin inc(n); an-1:=0; end;,递归过程,For k:=0 to n-1 do 利用,计算,back,a:atype,y:ytyp
8、e,y0,yn-1:=0;,递归结束后再将a中每一个数除以n。,多项式乘法的算法流程,问题：f(x),g(x)是两个n-1次的多项式，已知f(x)g(x)的系数表示，求出r(x)=f(x)*g(x)的系数表示。,算法流程：,1. 预处理：通过加入n-1个值为0的高价次数，使f(x)g(x)的次数增加到2n-2。这是为了使点值对的个数足够能够唯一确定r(x)。,2. 点值：利用分治的方法，通过函数transform求出f(x)与g(x)在1的2n-1次单位根处的值。,3. 点乘：将f(x),g(x)在各点的值逐点相乘，计算出r(x)在各点的值。,4. 插值：互换a与y的作用，再利用函数trans
9、form求r(x)的系数表示，并注意要将结果除以次数作为最后结果。,以上第1、第3步的执行时间都是O(n)，第2、第4步的执行时间都是O(n log n)。,算法改进,在函数transform中，我们是用递归的方式来求解，我们对n=8的情况来具体演示一下递归调用的过程。,但是递归的方法对空间的要求很高，从函数transform中可以看到每次递归调用时都需要新的系数数组传入递归过程内部。而通过刚才的演示，我们发现我们也可以用从底向上迭代的方法来进行。,迭代算法的具体实现过程,初始化,预处理,通过增加高次零项使将多项式的次数增加到2的幂次。,Function transform_better (a:atype):y:ytype;,y:=a;,迭代过程,For k:=1 to lg n do 对数组进行恰当的合并并将结果放到数组恰当的位置。,y,y,y,y,back,下面我们将本文介绍的方法与普通的多项式乘法做一个比较。,测试环境：PIII 500 128M RAM FreePascal 1.0.4,
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