等差数列的前n项和ppt课件.ppt

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1、等差数列的前n项和,天马行空官方博客： ；QQ:1318241189；QQ群：175569632,问题1,1+2+3+4+5+100=？,天马行空官方博客： ；QQ:1318241189；QQ群：175569632,解法1:,1+100=101， 2+99=101， 3+98=101 ， 4+97=101， ， ， 49+52=101，50+51=101. 1+2+3+4+5+100 =50101 =5050.,高斯,德国著名数学家高斯（Carl Friedrich Causs 1777年1855年），10岁时曾很快求出它的结果！,解法2,1+99=100 ， 2+98=100 ， 3+97=

2、100 ， ， ， ， 47+53=100 ， 48+52=100 ，49+51=100 ， 1+2+3+4+5+100 =49100+150 =5050,解法1与解法3的比较,解法1： 1+100=101， 2+ 99=101， ， 49+52=101， 50+51=101. 1+2+3+4+5+100 =50101 =5050.,解法3： 设：S= 1+2+99+100 , S=100+99+2+1 , 2S=(1+100)+(2+99)+ +(99+2)+(100+1) =100101 s=100(1+100)/2 S=5050 .,解法1与解法3的比较,解法1： 1+100=101，

3、2+ 99=101， ， 49+52=101， 50+51=101. 1+2+3+4+5+100 =50101 =5050. 算术法,解法3： 设：S= 1+2+99+100 , S=100+99+2+1 , 2S=(1+100)+(2+99)+ +(99+2)+(100+1) =100101 s=100(1+100)/2 S=5050 .,解法1与解法3的比较,解法1： 1+100=101， 2+ 99=101， ， 49+52=101， 50+51=101. 1+2+3+4+5+100 =50101 =5050. 算术法,解法3： 设：S= 1+2+99+100 , S=100+99+2+

4、1 , 2S=(1+100)+(2+99)+ +(99+2)+(100+1) =100101 s=100(1+100)/2 S=5050 .,解法1与解法3的比较,解法1： 1+100=101， 2+ 99=101， ， 49+52=101， 50+51=101. 1+2+3+4+5+100 =50101 =5050. 算术法,解法3： 设：S= 1+2+99+100 , S=100+99+2+1 , 2S=(1+100)+(2+99)+ +(99+2)+(100+1) =100101 s=100(1+100)/2 S=5050 . 代数法（倒序求和）,解法3,设：S= 1+2+3+4+97+

5、98+99+100 , S=100+99+98+97+4+3+2+1 , 2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+ (97+4)+(98+3)+(99+2)+(100+1) =100101 s=100(1+100)/2 S=5050 注：此法称倒序求和（属代数法）,解法3,设：S= 1+2+3+4+97+98+99+100 , S=100+99+98+97+4+3+2+1 , 2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+ (97+4)+(98+3)+(99+2)+(100+1) =100101 s=100(1+100)/2 S=5050 注：此法称倒

6、序求和（属代数法）,猜想1,设求等差数列an 的前n项和为Sn，即 Sn=a1+a2+a3+an,则 sn=n(a1+an)/2,探索1,设:Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an , Sn=an+an-1+an-2+a3+a2+a1 2Sn =(a1+ an)+(a2+an-1)+(a3+an-2 )+ +(an-2 +a3 )+(an-1+a2 )+(an+a1 ) ？ 2Sn=n(a1+an) sn=n(a1+an)/2,解决疑难问题,定理 ：数列an是等差数列，m,n,p,q分别为自然数 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq. 证明：设等差数列首项为a1，公差为d,则

7、am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1 )d =2a1+(m+n-2)d ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d = 2a1+(p+q-2)d m+n=p+q, m+n-2=p+q-2 am+an=ap+aq,证明猜想1,证明：Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an , Sn=an+an-1+an-2+a3+a2+a1 2Sn =(a1+ an)+(a2+an-1)+(a3+an-2 )+ +(an-2 +a3 )+(an-1+a2 )+(an+a1 ) 1+n=2+n-1=3+n-2= =n-2+3=n-1+2=n+1,由定理 得 (a1+ an)=(a2+an

8、-1)=(a3+an-2 )= =(an-2 +a3 )=(an-1+a2 )=(an+a1 ) 2Sn=n(a1+an) sn=n(a1+an)/2 sn=n(a1+an)/2,由定理 得 (a1+ an)=(a2+an-1)=(a3+an-2 )= =(an-2 +a3 )=(an-1+a2 )=(an+a1 ) 2Sn=n(a1+an) sn=n(a1+an)/2 sn=n(a1+an)/2,由定理 得 (a1+ an)=(a2+an-1)=(a3+an-2 )= =(an-2 +a3 )=(an-1+a2 )=(an+a1 ) 2Sn=n(a1+a2) sn=n(a1+an)/2 sn

9、=n(a1+an)/2,解法4：,1+2+3+4+100 =3+3+4+100 =6+4+100 = =5050,解法5：,把问题1看成a1=1,d=1,n=100的等差数列，则根据等差数列的中项公式，得 1+99=250，2+98=250，3+97=250, ， ， , 47+53=250,48+52=250,49+51=250, 1+2+3+4+5+100 =49250+50+100 =5050,对问题1转换点看,用数列观点：求等差数列 1，2，3，4，5，6，n, 的前100项的和. 从而研究等差数列： a1 ,a2 ,a3 ,an , 设求等差数列an 的前n项和为Sn，即 Sn=a1

10、+a2+a3+an,用倒序求和法1,Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an Sn=an+an-1+an-2+a3+a2+a1 2Sn =(a1+ an)+(a2+an-1)+(a3+an-2 )+ +(an-2 +a3 )+(an-1+a2 )+(an+a1 ) 2Sn=a1+a1+(n-1)d+a1+d+a1+(n-2)d+ +a1+(n-2)d+ a1+d+ a1+(n-1)d+ a1,2Sn=2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+ +2a1+(n-1)d+ 2a1+(n-1)d 2Sn=n2a1+(n-1)d Sn=n2a1+(n-1)d/2 Sn=na1+n(n-1)d

11、/2,2Sn=2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+ +2a1+(n-1)d+ 2a1+(n-1)d 2Sn=n2a1+(n-1)d Sn=n2a1+(n-1)d/2 Sn=na1+n(n-1)d/2,2Sn=2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+ +2a1+(n-1)d+ 2a1+(n-1)d 2Sn=n2a1+(n-1)d Sn=n2a1+(n-1)d/2 Sn=na1+n(n-1)d/2,2Sn=2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+ +2a1+(n-1)d+ 2a1+(n-1)d 2Sn=n2a1+(n-1)d Sn=n2a1+(n-1)d/2 Sn=na1+a1+(

12、n-1)d/2 an=a1+ +(n-1)d Sn=na1+ an /2,2Sn=2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+ +2a1+(n-1)d+ 2a1+(n-1)d 2Sn=n2a1+(n-1)d Sn=n2a1+(n-1)d/2 Sn=na1+a1+(n-1)d/2 an=a1+ +(n-1)d Sn=na1+ an /2,2Sn=2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+ +2a1+(n-1)d+ 2a1+(n-1)d 2Sn=n2a1+(n-1)d Sn=n2a1+(n-1)d/2 Sn=na1+a1+(n-1)d/2 an=a1+ +(n-1)d Sn=na1+ an /2

13、,用倒序求和法2,Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an,则 Sn=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d , (1) Sn=an+(an-d)+an-(n-1)d , (2) 由（1）+（2）得 2Sn = (a1+ an) +(a1+an)+(a1+ an),用倒序求和法2,Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an,则 Sn=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d , (1) Sn=an+(an-d)+an-(n-1)d , (2) 由（1）+（2）得 n个 2Sn = (a1+ an) +(a1+an)+(a1+ an),用倒序求和法2,Sn=a1+a2+a3+an-2

14、+an-1+an,则 Sn=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d , (1) Sn=an+(an-d)+an-(n-1)d , (2) 由（1）+（2）得 n个 2Sn = (a1+ an) +(a1+an)+(a1+ an) =n (a1+ an),用倒序求和法2,Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an,则 Sn=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d , (1) Sn=an+(an-d)+an-(n-1)d , (2) 由（1）+（2）得 n个 2Sn = (a1+ an) +(a1+an)+(a1+ an) =n (a1+ an) Sn=na1+ an /2,用倒序求和法2,

15、Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an,则 Sn=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d , (1) Sn=an+(an-d)+an-(n-1)d , (2) 由（1）+（2）得 n个 2Sn = (a1+ an) +(a1+an)+(a1+ an) =n (a1+ an) Sn=na1+ an /2,等差数列的前n项和公式,Sn=na1+ an /2 (1) Sn=na1+n(n-1)d/2 (2),问题1,1+2+3+4+5+100=？ 解：由题意可知，它是等差数列前n项和求和问题，则 a1=1,an=100,n=100 Sn=100(1+100)/2 =5050 .,例1,如图

16、3-4，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支.这个V形架上共放着多少支铅笔？,解：,由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，即为an ，其中a1 =1, a120 =120.根据等差数列前n项和的公式， 得 ,S120=120(1+120)/2=7260. 答：V形架上共放着7260支铅笔.,例2,等差数列 -10，-6，-2，2， 前多少项的和是54？ 解: 设题中的等差数列为an ，前n项和是Sn，则a1 =-10，d=-6-(-10)=4，设Sn=54 根据等差数列前n项和的公式，得 -10n+n(n-1)4/2=54, 整理 得 ，n2-6n-27=0. 解得 n1= 9 n2= -3(舍去）. 因此等差数列 -10，-6，-2，2， 前9项的和是54.,小结,一、等差数列的前n项和公式 Sn=na1+n(n-1)d/2 Sn=na1+ an /2 二、运用和应用 （1）函数思想 （2）方程思想 （3）数学应用思想（4）倒序求和法 三、数学发现的方法 学会猜想，学会证明 .,同学们再见,课外阅读,