导数计算公式

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1、导数公式一、基本初等函数的导数公式已知函数：(1)尹=fx)=c；(2)y=fx)=x；(3)y=fx)=x2；(4)y=fx)=X；(5)y=fx尸x.问题：上述函数的导数是什么？提示：z).Ayfx+Ax)fx)=ccU)-AX_AX古_0,.y=limAx02)(x)，=1,(3)(x2)，=2x,(4)，1)=-X2,(5)(x)，=2x函数(2)(3)(5)均可表示为y=xa(aQ*)的形式，其导数有何规律？11-1212提示：(2)(x)，=1M-1,(3)(x2)，=2g-i,(5)(x)，=(x)，=x1，2x,(xa)，=axa-1.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)

2、=c(c为常数)f(x)=0f(x)=xa(aGQ*)f(x)=axa-1f(x)=sinxf(x)=cosxf(x)=cosxf(x)=一sinxf(x)=axf(x)=axlnaf(x)=exf(x)=exf(x)=logax77/-,.1f()xlnaf(x)=lnxfj二、导数运算法则已知f(x)=x,g(x)x-问题1：fx),g(x)的导数分别是什么？问题2：试求Q(x)=x+X，H(x)=x_X的导数.xx3=(兀+心)+厶Axx(x+Ax)，AyAx=11x(x+Ax)，：JQ(x)=limAy=limAxOAxAxO1-x(x+x)=i丄x2同理H(x)=1+1x2提示：问题

3、3：Q(x),H(x)的导数与fx),g(x)的导数有何关系？提示：Q(x)的导数等于fx),g(x)导数的和，H(x)的导数等于fx),g(x)导数的差.导数运算法则1. fx)士g(x)=f(x)士g(x)2-fx)g(x)=f(x)g(x)+fx)g(x)(x)g(x)fx)g(x)ra2(g(x)HO)题型一利用导数公式直接求导例1求下列函数的导数：(l)y=10x；(2)y=lgx；(3)y二log丄x；24(4)y=x3；(5)y=.xxsm+cos22丿解(l)y，=(10/=10xln10;(2)y=(lgx)/=xm1；114(3)y=xmz；(4)y=(x3)xln244x

4、(.x(5)y=sm2bcos2xxxxI=sin22十2sin2COS2十cos22l=sinx,y=(sinx)=cosx.练习求下列函数的导数：y=（e）x；（2）y=（T0x；G）y=ig5；（4）y=3ig3x尹三心令-1.=扁解：（iy11叫=ex=ex；(2)y=T0x1ln1010xxlnjQ=10-xln10;(3)y=lg5是常数函数，y=(lg5)31xTy=31gx=lgx,.yy=(lgx)=xin10；(5)Vy=2cos2j-1=cosx，y=(cosx)=sinx.题型二利用导数的运算法则求函数的导数例2求下列函数的导数：(l)y=x3；(2)y=xsin2CO

5、S2；(3)y=x2+1og3x；(4)y=ex+1ex1解(1)y=(x3)exx3(ex)=3x2exx3ex=x2(3x)ex.(2) Vy=x/sinx,y=x(sinx)=1/cosx.(3) yy=(x2+iog3x)y=(x2)y+(iog3x)=2久+.(4)y(ex+1)/(ex1)(ex+1)(ex1)(ex1)2ex(ex1)(ex+1)ex(ex1)22ex（ex1）2练习求下列函数的导数()y=竽(2)y=xsinx+x；(3)y=；+x+1x1+x1x(4)y=igx_x2解：(1yy(cosx)yxcosx(x)xsinxcosxx2x2xsinxcosxx2(2

6、)y/=(xsinx)+(x)Fnx+xcosx+21.x(3) y=(1+x)2+(1x)2=2+2x=4_2=r_2Y=y=1_x+1_x=T_x_2，y=L1_x2丿=_4(1_x)=4(1_X)2(1_X)2(4) y=,ig兀_音)=(igx)/_,X2)=為+吕题型三导数几何意义的应用例3(1)曲线y=5+3在点(0,2)处的切线方程为.(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C:y=x310x+13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为解析(1)y/=_5ex,所求曲线的切线斜率k=y|xo=_5eo=_5,切线方程为y(2)=5(x0),即5x

7、+y+2=0.(2)设点P的坐标为(x0,y0),因为y=3x210,所以3x210=2,解得x0=2.又点P在第一象限内，所以x0=2,又点P在曲线C上，所以y0=2310X2+13=1,所以点P的坐标为(2,1).(1)5x+y+2=0(2)(2,1)练习若曲线fx)=acosx与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,眈)处有公切线，贝卩a+b=.解析：f(x)=_asinx,g(x)=2x+b,丁曲线f(x)=acosx与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,眈)处有公切线，/(0)=a=g(0)=1,且f(0)=0=g(0)=b,a+b=1.答案：11.切线方程的求法典例已知aR，

8、函数fx)=x33x2+3ax3a+3,求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程.解由已知得f(x)=3x26x+3a，故f(1)=36+3a=3a3,且f(1)=13+3a3a+3=1.故所求切线方程为y1=(3a3)(x1),即3(a_1)x_y+4_3a=0.一、已知斜率，求切线方程此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程例：求与直线x+4y+l=0垂直的曲线fx)=2x21的切线方程.解：所求切线与直线x+4y+1=0垂直，所以所求切线的斜率k=4.设切点坐标为(x0,y0),则f(x0)=4x0=4,即x0=1.所以切点坐标为(1,1).

9、故所求切线方程为y1=4(x1)，即4xy3=0.二、已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该点在切线上来确定切点，进而求出切线方程例：求过曲线fx)=x32x上的点(1,1)的切线方程.解：设切点坐标为(x0,y0),因为f(x)=3x22,所以f(x0)=3x02,且y=fx0)=x02x0.所以切线方程为yy0=(3x022)(xx0),即y(x302x0)=(3x202)(xx0).因为切线过点(1,1),故一1(xg2兀0)=(3兀22)(1x0)即2x033x20+1=0,解得x0=1或x0=故所求切线方程为xy2=0或5x+4y1

10、=0.三、已知过曲线外一点,求切线方程.这一题型要设出切点,再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点,从而求出切线方程.例：已知函数fx)=x33x,过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求切线方程.解：由题意知点A(0,16)不在曲线fx)=x33x上，设切点坐标为M(x0,y0).则f(x0)=3x03,故切线方程为yy0=3(x01)(兀一).又点A(0,16)在切线上，所以16(环一3兀0)=3(旳一1)(0%),化简得兀0=&解得x0=2，即切点为M(2,2),故切线方程为9xy+16=0.课后练习1.给出下列结论：(cosx)=sinx；n=cosj；若y=x2，则y=1

11、1丿12xx其中正确的个数是(A0B1C2D3解析：(cosx)=sinx，所以错误；sin23，而3/2丿=0，所以错误；甘=0-(x2)，x42x=x4=2x3，所以错误；1丿=0-(x2y122xx12x2=12xx所以正确答案：B2. 函数y=sinxcosx的导数是(A.y=cos2xsin2xBy=cos2xsin2xC.y=2cosxsinxDy=cosxsinx解析：y=(sinxcosx)=cosxcosx+sinx(sinx)=cos2xsin2x.3. 若fx)=(2x+a)2，且f=20，则a=.解析：fx)=4x2+4ax+a2,:f(x)=8x+4a,:.f(2)=

12、16+4a=20,.*.a=1.答案：14. 已知曲线y=x4+ax2+l在点（一1,a+2）处切线的斜率为8,则a=解析：y/=4x3+2ax，因为曲线在点（一1,a+2）处切线的斜率为&所以y/I=4_2a=&解得a=6.答案：一65求下列函数的导数：(1)y=xx2+X1+cosx(2)y=72(3)y=(4xx)(ex+1).解：(1)：y=xx2+x+m=x3+1+x2，.y=3x22_X3(1+cosx)/x2一(1+cosx)(x2)/一xsinx一2cosx一2x4x3(2)y=(3)法:y=(4x-x)(ex+1)=4xex+4x-xex-x,.*y/=(4xex+4xxexx)/=(4x)/ex+4x(ex)/+(4x)/x/ex+x(ex)一x，=ex4xln4+4xex+4xln4exxex1=ex(4xln4+4x1x)+4xln41.法二：y/=(4xx)/(ex+1)+(4xx)(ex+1)/=(4xln41)(ex+1)+(4xx)ex=ex(4xln4+4x1x)+4xln41.