数与代数数的运算

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1、数与代数-数的运算一、分数的计算方法：（一）加减法：知识点1.同分母分数相加减，分母不变，即分数单位不变，分子相加减，最后要约分例1： 2/9+5/9=（2+5）/9=7/9例2： 1/8+3/8=（1+3）/8=4/8=1/2例3： 5/9-1/9=（5-1）/9=4/9例4： 3/4-1/4=（3-1）/4=2/4=1/2知识点2.异分母分数相加减，先通分，即运用分数的基本性质将异分母分数 转化为同分母分数，改变其分数单位而大小不变，再按同分母分数相加减法去 计算，最后要约分。例1： 3/4+5/7=21/28+20/28=（21+20）/28=41/28例2： 5/24+1/8=5/24

2、+3/24=（5+3）/24=8/24=1/3例3： 7/8-1/4=7/8-2/8=（7-2）/8=5/8例4： 8/15-1/5=8/15-3/15=（8-3）/15=5/15=1/3（二）乘除法：知识点1.分数乘整数，分母不变，分子乘整数，最后要约分。例1： 4/5 X 3=（4 X3）/5=12/5例2： 3/22 X 2=（3 X 2）/22=6/22=3/11知识点2.分数乘分数，用分子乘分子，用分母乘分母，最后要约分。例1： 5/6 X 1/3=5 X 1/（6 X3）=5/18例2 ： 2/5 X1/4=（2X 1）/（5 X 4）=2/20=1/10知识点3.分数除以整数，分

3、母不变，如果分子是整数的倍数，则用分子除 以整数，最后要约分。例1： 4/15： 2=（4： 2）/15=2/15例2： 42/30:7=(42:7)/30=6/30=1/5知识点4.分数除以整数，分母不变，如果分子不是整数的倍数，则用这个 分数乘这个整数的倒数，最后要约分。例 1 ： 3/8： 2=3/8 X 1/2=(3 X 1)/(8 X 2)=3/16例2： 4/5：6=4/5X1/6= (4X1) / (5X6) =4/30=2/15知识点5.分数除以分数，等于被除数乘除数的倒数，最后不是最简分数要 约分。例 1: 2/3：3/4=2/3 X4/3=(2 X4)/(3 X3)=8/9

4、例2： 2/15： 1/3=2/15X3=(2X3)/15=6/15=2/5二、整数的计算方法：(一) 整数四则运算知识点1整数加法：把两个数合并成一个数的运算叫做加法。在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。加数+加数=和 一个加数=和一另一个加数知识点2整数减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算 叫做减法。在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被 减数是总数，减数和差分别是部分数。加法和减法互为逆运算。知识点3整数乘法：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数

5、的和叫做积。在乘法里，0和任何数相乘都得0.1和任何数相乘都的任何数。一个因数X 个因数=积一个因数=积：另一个因数知识点4整数除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。乘法和除法互为逆运算。在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0， 均得不到一个确定的商。被除数：除数=商 除数=被除数：商 被除数=商乂除数(二) 运算定律知识点1.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a。知识点2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数

6、；或者先把后两个数相加，再 和第一个数相加它们的和不变，艮口 (a+b)+c=a+(b+c)。知识点3.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即aXb=bXa。知识点4.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再 和第一个数相乘，它们的积不变，即(aXb)Xc=aX(bXc)。知识点5.乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)Xc=aXc+bXc。知识点6.减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c)。(三) 运算法则1. 整

7、数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。2. 整数减法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十， 和本位上的数合并在一起，再减。3. 整数乘法计算法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位 上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。4. 整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除， 就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够 商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。运算顺序：先乘除后

8、加减，有括号先算括号三、奇偶性(1) 奇数土奇数=偶数，偶数土偶数=偶数，奇数土偶数=奇数，偶数X偶数=偶数，奇数 X偶数=偶数，奇数X奇数=奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的 和、差为偶数，偶数个奇数的和、差为奇数；(2) 奇数的平方都可以表示成(8m+1)的形式，偶数的平方可以表示为8m或(8m+4) 的形式；(3)若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数， 则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是 整数，它必为偶数。四.整数-整除性的一些特征(即常见结论)（1）若一个整数的末位是0、2、4、6或8,

9、则这个数能被2整除。（2）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。（3）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。（4）若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除。（5）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。下表给出任何整数a，b和c的加法和乘法的基本性质。性质加法乘法封闭性a + b是整数a x b是整数结合律a + (b + c) = (a + b) + c 是整数a x (b x c) = (a x b) x c 是整数交换律a + b = b + aa x b = b x a存在单位元a + 0 = aa x 1 = a存在逆元a + (-a) = 0

10、在整数集中，只有1或-1关于乘法存在整数逆元分配律a x (b + c) = a x b+ a x c性质及应用：如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。定义：设a,b是给定的数，b/0，若存在整数c，使得a=bc,则称b整除a，记作b|a，并称 b是a的一个约数（因子），称a是b的一个倍数，如果不存在上述c，则称b不能整除a。五.整数、分数、小数的运算的比较：（一）四则运算的意义整数小数分数加法把两个数合并成一个数的运算与整数加法意义相同与整数加法意义相同减法已知两个数的和与其中的一个 加数，求另一个加数的运算与整数减法的意义相 同与整数减法的意义相 同乘法求几个相

11、同加数 的和的简便运算一个数与小数相乘，可 以看作是求这个数的 十分之、百分之几 是多少.一个数与分数相乘， 可以看作是求这个数 的几分之几是多少.除法已知两个因数的积与其中一个 因数，求另一个因数的运算.与整数除法意义相同与整数除法意义相同（二）四则运算的法则1、加减法的法则整数小数分数1、相同数位对齐2、从低位算起3、加法中满几十就向前一 位进几；减法中不够时，就 从前一位借，借几当几十。1、相同数位对齐（小数点对 齐）2、从底位算起3、按整数加减法的法则进行计算4、结果中小数点和相同加减的数里的小数点对齐1、同分母分数相加减，分母 不变，分子相加减2、异分母分数相加减，先通 分，然后计算

12、3、结果能约分的要约分2、乘除法的法则乘 法整数小数分数1. 从个位算起，依次用第二个因 数每位上的数去乘第一个因数2. 用第二个因数哪一位上的数去 乘，得数的末位就和第二个因数 的那一位对齐3. 再把几次乘得的数加起来1. 按整数乘法法则先求出积2. 看因数中一共有几位小数，就从积 的右边起数出几位点上小数点略除 法除数是整数的除法：从被除数的 高位起，除数是几位数，就先看 被除数的前几位，如果不够除， 就看多一位。除到哪一位就把商 写在那一位的上面。商的小数点 和被除数的小数点对齐除数是小数的除法：先移动除数的 小数点，是它变成整数。除数的小 数点向右移动几位，被除数的小数 点也向右边移动

13、相同的位数（位数 不够的补0），然后按照除数是整数 的除法进行计算。略（三）四则运算的练习1. 请分析错误原因并改正。308330.83+ 02- 6.02.1 1 1910324.813 = 5注：相同数位对齐，小数点对齐，分母相同时才能直接相加减相同单位上的数才能相加或相减142X234262S432662、对照上面两题，口述整数乘法和除法的计算法则34124182,竺4924923、小数乘除法计算确定小数点的位置1.42x2.3、4.1821.23注：小数乘法先按整数乘法法则计算，小数除法把除数转化成整数后，也按整数除法法则 计算。小数乘、除法还要在计算结果上确定小数点的位置4、计算后说

14、一说各题计算时需要注意什么73.06-3.96（差的百分位是0，可以不写）37.5X1.03（积是三位小数）8.73.3（商是整数）3.1315（得数保留三位小数）（要先通分）5|x2|-5C先把带分数化成假分数）（四）法则中的特殊情况第一组：a+0=a a-0=a aX0=0 0：a=0弟二组:aX 1 = a 印十 1 二 a. 1 a =-第三组：a-a=0 a：a=1（五）四则运算的验算加法可用减法验算，减法可用加法或减法验算加数+加数=和一个加数=和-另一个加数被减数=差+减数被减数-减数=差I 减数=被减数-差乘法可用除法验算，除法可用乘法或除法验算因数X因数=积一个因数=积+另一

15、个因数卜 I被除数=商乂除数被除数：除数=商一I除数=被除数+商（六）四则运算的顺序：先乘除后加减，有括号先算括号六.应用：解决问题时有哪些主要步骤：1.最主要的是分析数量关系；2.可以借助线段图来 进行思考。练习1、整数运算一、计算能力测试。1、直接写得数。516943 =279993 =888974=42X20=24095=700X40=70797=60X12 =960098=30X62=34094=14X7 =810990 =630921 =75 9 15 =240 9 15 =380 9 19 =520 9 26 =420921 =80916 =200925=500925=400925

16、=1000925 =225925=750925=140920 =360918 =2、列竖式计算178X46 =。408X25=37X235=380X23=3、用递等式计算。36096X51380+350970(165 7593)X81000- (480996 + 36)X12；253+ (338 + 565 204) 93；3759 (25 10)X154、估计下表各算式中另一个因数。算式积的范围58X()3000360064X()40004200196X()45004800练习2：小数运算一、填空:）。十分位上是6,千分位上（1）、2 个 1，3 个 0.1，4 个 0.01，组成（是5，这

17、个数是（）。（2）、0.26可以写作（），1里面有（ ）个0.12里面有（ ）个0.001其中有（ ）个0.011里面有（ ）个0.015.02里面有（ ）个0.01（3）、整数部分的最低位是（），小数部分的最高位是（）。（4）、0.6的计数单位是（），它有（）个这样的计数单位，再加（）个这样的数单位就是1了。（5） 、0.60的计数单位是（），它有（）个这样的计数单位，再加（）个这样的计数单位就是1了。（6）、把下列小数用 连接起来。0.7、0.07、0.17、0.701、0.171（）（7）、0.07扩大到原数的（）变成0.7，10缩小到原数的（）变成0.01.（8）、把2.01的小数点去

18、掉，变成（），（）到原数的（）。与原数相差（9）、1吨50千克=（3.4平方分米=（8.8平方米=（）。）吨 2千米450米=（）千米）平方分米（）平方厘米）平方分米=（）平方厘米（10）4.99（保留一位小数）2（）把0.36改写成三位小数是（）。把0.36改写成以千分之一为单位的小数是（)，把 5 6887 0000改写为以亿作单位的数，再保留一位小数是（二、判断：（1）0.6的计数单位大于0.60的计数单位。（2）因为0.2=0.20，所以它们的计数单位一样（）（）（）（3）根据小数的性质，小数里的0都能去掉.（4）在3.1的后面添上两个0,也就是把这个数扩大。（）（5）在3的后面添上两

19、个0,也就是把这个数扩大。（）（6）四位小数一定比三位小数大。（）（7）四位数一定比三位数大。（）三、选择：（1）0.7 与 0.700 相比，（）A、大小相等，意义相同B、大小相等，意义不同C、大小不等，意义相同D、大小不等，意义不同（2） 30个0.01和3个0.1相比较（）。A、30个0.01大 B、3个0.1大 C、它们大小相等（3）下面各数，把0去掉大小不变的是（）。A、650 B、6.50C、0.20D、6.05（4）0.1和0.9之间有（ ）个小数。A、7个B、8个 C、无数个四、计算：1、口算 2.17X10=0.7+0.9=1-0.4=4.8-3 =2、用竖式计算: 97.2

20、3 =0.3 : 10=4.7-0.5 =0.39+0.15 =5.7+0.2 =4.52+2.38 =0.42X10=0.56-0.46 =7.7+0.6 =3.6-1.6 =5.31X100= 1.2+0.8= 3.6-0.8 = 7+2.3=3.16 2.254=0.3 + 0.76 =练习3：分数运算一、填空。（22分）（1）分数加法的意义与整数加法的意义（）。（2） 12的分数单位是（），它有（）个这样的单位，再添上（）个这样的单位就是1。（3）同分母分数相加减，分母不变，只把（）。（4）异分母分数相加、减，要先（）才能相加。（5） 35分钟=（）小时80厘米=（）米（6）0.8里面

21、有8个（）分之一，它表示（）分之（）；0.05里面有5个（）个（）分之一，它表示（）分之（）；0.018里面有18个（）分之一。它表示（）分之（）。（7） 10米比（）米短2米比4米长20米的是（）米。（8） 分数单位是日的最简真分数有（）个，它们的和是（）。二、判断题。正确的在题后的括号里画“乎，错的画“x，（6分）（1）分数减法的意义与整数减法的意义不同。（）（2）分数单位相同的分数才能相加减。（ ）（3）分数加减混合运算的运算顺序，和整数加减法混合运算的运算顺序相同。（）（4）整数加法的交换律、结合律对分数加法不适用。（）（5）一个最简分数，如果分母除了 2和5以外，不含有其它的质因数，这个分数就 能化成有限小数。（）