2022年高二下学期3月月考数学试卷（理科）含解析

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1、2022年高二下学期3月月考数学试卷（理科）含解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1若集合M=（x，y）|x+y=0，N=（x，y）|x2+y2=0，xR，yR，则有（）AMN=MBMN=NCMN=MDMN=2已知，是非零向量，若向量是平面的一个法向量，则“=0”是“向量所在的直线平行于平面”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充分必要D既不充分也不必要3执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（） A8B5C3D24一个几何体的三视图和尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（）A60B84C96D1205某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批

2、产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c，且a、b、c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为（）A800B1000C1200D15006已知实数x、y可以在0x2，0y2的条件下随机取数，那么取出的数对（x，y）满足（x1）2+（y1）21的概率是（）ABCD7F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上，若|PF1|=9，则|PF2|=（）A1B17C1或17D98在四边形ABCD中，任意两顶点之间恰做一个向量，做出所有的向量，其中3边向量之和为零向量的三角形称为“零三角形”，设以这4个顶点确定的三角形的个数为n，设在所有不同情况中的“零三角

3、形”个数的最大值为m，则等于（）A1BCD0二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9 =10在ABC中，若b=1，c=，C=，则a=11设集合A=1，2，B=1，2，3，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a，b）落在直线x+y=n（nN*）上”为事件Cn，若事件Cn发生的概率最大，则n的取值为12已知各项均为正数的数列an的前n项和Sn，且Sn，an，1成等差数列，则an=13为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一年

4、级每一位学生被抽到的概率是14设函数f（x）=m（x2m）（x+m+3），g（x）=2x2，若同时满足条件：对于任意的实数x，f（x）和g（x）的函数值至少有一个小于0；在区间（，4）内存在实数x，使得f（x）g（x）0成立；则实数m的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共80分）15某校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，被抽取学生的成绩均不低于160分，且低于185分，图是按成绩分组得到的频率分布表的一部分（每一组均包括左端点数 据而不包括右端点数据），且第3组、第4组、第5组的频数之比依次为3：2：1（1）请完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生

5、，该高校决定在笔试成绩较高的第3组、第4组、第5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生由考官A面试，求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率16在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ABC=90，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC平面ABCD（）求证：AB平面PBC；（）求平面PAD和平面BCP所成二面角（小于90）的大小；（）在棱PB上是否存在点M使得CM平面PAD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由17已知函数f（x）=x2+mx3（mR），g（

6、x）=xlnx（）若f（x）在x=1处的切线与直线3xy+3=0平行，求m的值；（）求函数g（x）在a，a+2（a0）上的最小值；（）x（0，+）都有f（x）2g（x）恒成立，求实数m的取值范围18已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，P（2，0）是它一个顶点，直线l：y=k（x1）与椭圆C交于不同的两点AB（）求椭圆C的方程及焦点坐标；（）若PAB的面积为时，求直线l的方程19设椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B已知|AB|=|F1F2|（1）求椭圆的离心率；（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆

7、相切，求直线l的斜率20如果函数f（x）满足在集合N*上的值域仍是集合N*，则把函数f（x）称为N函数例如：f（x）=x就是N函数（）判断下列函数：y=x2，y=2x1，y=中，哪些是N函数？（只需写出判断结果）；（）判断函数g（x）=lnx+1是否为N函数，并证明你的结论；（）证明：对于任意实数a，b，函数f（x）=bax都不是N函数（注：“x”表示不超过x的最大整数）xx学年北京民大附中高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1若集合M=（x，y）|x+y=0，N=（x，y）|x2+y2=0，xR，yR，则有（）AMN=MBMN=N

8、CMN=MDMN=【考点】交集及其运算【分析】据集合的表示法知两个集合一个表示直线一个表示一个点且点在直线上，得到两集合的并集【解答】解：M=（x，y）|x+y=0表示的是直线x+y=0又N=（x，y）|x2+y2=0表示点（0，0）（0，0）在直线x+y=0上MN=M故选项为A2已知，是非零向量，若向量是平面的一个法向量，则“=0”是“向量所在的直线平行于平面”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充分必要D既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若向量是平面的法向量，则，若=0，则，则向量所在直线平行于平面或在平面

9、内，即充分性不成立，若向量所在直线平行于平面或在平面内，则，向量是平面的法向量，则，即=0，即必要性成立，则=0是向量所在直线平行于平面或在平面内的必要条件，故选：B3执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（） A8B5C3D2【考点】循环结构【分析】根据输入的n是4，然后判定k=1，满足条件k4，则执行循环体，依此类推，当k=4，不满足条件k4，则退出执行循环体，求出此时p的值即可【解答】解：k=1，满足条件k4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1k=2，满足条件k4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2k=3，满足条件k4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2

10、，t=3k=4，不满足条件k4，则退出执行循环体，此时p=3故选：C4一个几何体的三视图和尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（）A60B84C96D120【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图还原原图形，可得原几何体是底面边长6的正四棱锥，且侧面斜高为5然后由正方形面积及三角形面积公式求得该几何体的表面积【解答】解：由三视图还原原几何体，原几何体是底面边长6的正四棱锥，且侧面斜高为5该几何体的表面积为：S=66+4=96故选：C5某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c，

11、且a、b、c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为（）A800B1000C1200D1500【考点】分层抽样方法；等差数列的通项公式【分析】根据等差数列的性质求出a，b，c的关系，结合分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论【解答】解：a、b、c构成等差数列，a+c=2b，则第二车间生产的产品数为=1200，故选：C6已知实数x、y可以在0x2，0y2的条件下随机取数，那么取出的数对（x，y）满足（x1）2+（y1）21的概率是（）ABCD【考点】几何概型【分析】根据题意，设取出的两个数为x、y，分析可得“0x2，0y2”表示的区域为纵横坐标都在（0，2）之间的正方形区域，易得其面积为4，而（x

12、1）2+（y1）21表示的区域为圆内部的部分，分别计算其面积，由几何概型的计算公式可得答案【解答】解：设取出的两个数为x、y；则有0x2，0y2，其表示的区域为纵横坐标都在（0，2）之间的正方形区域，易得其面积为4，而（x1）2+（y1）21表示的区域为以（1，1）为圆心，1为半径的圆内部的部分，如图，易得其面积为S圆=；则（x1）2+（y1）21的概率是P=；故选A7F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上，若|PF1|=9，则|PF2|=（）A1B17C1或17D9【考点】双曲线的简单性质【分析】首先根据双曲线的标准方程求得a的值然后根据定义|PF1|PF2|=2a求解【解答】解：F1

13、、F2是双曲线=1的焦点，2a=8，点P在双曲线上（1）当P点在左支上时，|PF1|PF2|=2a，|PF1|=9，解得：|PF2|=17（2）当P点在右支上时，|PF1|PF2|=2a，|PF1|=9，解得：|PF2|=1故选：C8在四边形ABCD中，任意两顶点之间恰做一个向量，做出所有的向量，其中3边向量之和为零向量的三角形称为“零三角形”，设以这4个顶点确定的三角形的个数为n，设在所有不同情况中的“零三角形”个数的最大值为m，则等于（）A1BCD0【考点】计数原理的应用【分析】确定n，m的值，即可得出的值【解答】解：由题意，以这4个顶点确定的三角形的个数为n=24，在所有不同情况中的“零

14、三角形”个数的最大值为m=12，所以等于，故选B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9 =+【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求解【解答】解：=+故答案为：10在ABC中，若b=1，c=，C=，则a=1【考点】三角形中的几何计算【分析】先根据b，c，c，由正弦定理可得sinB，进而求得B，再根据正弦定理求得a【解答】解：在ABC中由正弦定理得，sinB=，bc，故B=，则A=由正弦定理得a=1故答案为：111设集合A=1，2，B=1，2，3，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a，b）落在直线x+y=n

15、（nN*）上”为事件Cn，若事件Cn发生的概率最大，则n的取值为3，4【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】由题意，基本事件个数为有限个，且概率相等，故为古典概型【解答】解：由题意，点P的所有可能情况有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）共6种；事件C2有1种，事件C3有2种，事件C4有2种，事件C5有1种，故若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为3和4故答案为：3，412已知各项均为正数的数列an的前n项和Sn，且Sn，an，1成等差数列，则an=2n1【考点】数列的求和【分析】Sn，an，1成等差数列，可得Sn+1=2ann=1时，a1=

16、2a11，解得a1n2时，an=SnSn1，再利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：Sn，an，1成等差数列，Sn+1=2an，即Sn=2an1n=1时，a1=2a11，解得a1=1n2时，an=SnSn1=2an1（2an11），化为：an=2an1，数列an为等比数列，首项为1，公比为2anz=2n1故答案为：2n113为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一年级每一位学生被抽到的概率是【考点】分层抽样方法【分析】先求出抽取比例等于，把条件代入，再乘以高三的学生人数求

17、出所求【解答】解：根据题意和分层抽样的定义知，高三每一位学生被抽到的概率是 高一年级每一位学生被抽到的概率是故答案为：14设函数f（x）=m（x2m）（x+m+3），g（x）=2x2，若同时满足条件：对于任意的实数x，f（x）和g（x）的函数值至少有一个小于0；在区间（，4）内存在实数x，使得f（x）g（x）0成立；则实数m的取值范围是（4，2）【考点】函数的值【分析】由于g（x）=2x20时，x1，根据题意有f（x）=m（x2m）（x+m+3）0在x1时成立；由于x（，4），f（x）g（x）0，而g（x）=2x20，则f（x）=m（x2m）（x+m+3）0在x（，4）时成立由此结合二次函数的

18、性质可求出结果【解答】解：解：对于g（x）=2x2，当x1时，g（x）0，又xR，f（x）0或g（x）0f（x）=m（x2m）（x+m+3）0在x1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面，则，4m0即成立的范围为4m0又x（，4），f（x）g（x）0此时g（x）=2x20恒成立f（x）=m（x2m）（x+m+3）0在x（，4）有成立的可能，则只要4比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当1m0时，较小的根为m3，m34不成立，（ii）当m=1时，两个根同为24，不成立，（iii）当4m1时，较小的根为2m，2m4即m2成立综上可得成立时4m2故答案

19、为：（4，2）三、解答题（本大题共6小题，共80分）15某校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，被抽取学生的成绩均不低于160分，且低于185分，图是按成绩分组得到的频率分布表的一部分（每一组均包括左端点数 据而不包括右端点数据），且第3组、第4组、第5组的频数之比依次为3：2：1（1）请完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩较高的第3组、第4组、第5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生由考官A面试，求第4组至少有

20、一名学生被考官A面试的概率【考点】频率分布直方图；等可能事件的概率【分析】（1）由题意知第1，2组的频数分别为：5，35故第3，4，5组的频数之和为：60，得其频数依次为30，20，10，其频率依次为0.3，0.2，0.1（2）用分层抽样抽取6人故第3，4，5组中应抽取的学生人数依次为：3，2，1（3）有题意可知：抽取两人作为一组共有15种等可能的情况，其中共有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C），（B2，C）共9种，因此所求事件的概率为【解答】解：（1）由题意知第1，2组的频数分别为：1000.015=5

21、，1000.075=35故第3，4，5组的频数之和为：60，从而可得其频数依次为30，20，10，其频率依次为0.3，0.2，0.1，其频率分布直方图如右图（2）由第3，4，5组共60人，用分层抽样抽取6人故第3，4，5组中应抽取的学生人数依次为：第3组：；第4组：；第5组：（3）由（2）知共有6人（记为A1，A2，A3，B1，B2，C）被抽出，其中第4组有2人（记为B1，B2）有题意可知：抽取两人作为一组共有15种等可能的情况，其中共有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C），（B2，C）共9种，因此所求事件

22、的概率为16在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ABC=90，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC平面ABCD（）求证：AB平面PBC；（）求平面PAD和平面BCP所成二面角（小于90）的大小；（）在棱PB上是否存在点M使得CM平面PAD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（）证明AB平面PBC，利用面面垂直的性质，根据ABBC，平面PBC平面ABCD，即可得证；（）取BC的中点O，连接PO，证明PO平面ABCD，以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线

23、为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz，求出平面PAD的法向量，平面BCP的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得平面ADP和平面BCP所成的二面角；（）在棱PB上存在点M使得CM平面PAD，此时，证明平面MNC平面PAD，可得平面PAD【解答】（）证明：因为ABC=90，所以ABBC因为平面PBC平面ABCD，平面PBC平面ABCD=BC，AB平面ABCD，所以AB平面PBC；（）解：取BC的中点O，连接PO因为PB=PC，所以POBC因为平面PBC平面ABCD，平面PBC平面ABCD=BC，PO平面PBC，所以PO平面ABCD如图，以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面

24、ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz不妨设BC=2由直角梯形ABCD中AB=PB=PC=BC=2CD可得P（0，0，），D（1，1，0），A（1，2，0）所以设平面PAD的法向量因为，所以 令x=1，则y=2，z=所以取平面BCP的一个法向量，所以cos=所以平面ADP和平面BCP所成的二面角（小于90）的大小为（）解：在棱PB上存在点M使得CM平面PAD，此时理由如下：取AB的中点N，连接CM，CN，MN，则MNPA，AN=AB因为AB=2CD，所以AN=CD因为ABCD，所以四边形ANCD是平行四边形所以CNAD因为MNCN=N，PAAD=A

25、，所以平面MNC平面PAD因为CM平面MNC，所以CM平面PAD17已知函数f（x）=x2+mx3（mR），g（x）=xlnx（）若f（x）在x=1处的切线与直线3xy+3=0平行，求m的值；（）求函数g（x）在a，a+2（a0）上的最小值；（）x（0，+）都有f（x）2g（x）恒成立，求实数m的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出函数的导数，得到关于m的方程，求出m的值即可；（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的最小值即可；（）问题转化为mx+2lnx+，x（0，+），设h（x）=x+2lnx+，x（0，+），根据函数的单调性

26、求出m的范围即可【解答】解：（）f（x）=2x+m，因为f（x）在x=1处的切线与直线3xy+3=0平行，所以f（1）=2+m=3，得m=5；（）g（x）=1+lnx，令g（x）=0，得x=，x（0，）（，+）g（x）0+g（x）单调递减极小值单调递增因为a0，a+2a=2，当0a时，g（x）在a，单调递减，在，a+2上单调递增，所以函数g（x）在a，a+2上的最小值g（）=；当a时，g（x）在a，a+2上单调递增，所以函数g（x）在a，a+2上的最小值g（a）=alna；（）因为x（0，+）都有f（x）2g（x）恒成立，即f（x）2g（x（=x2+mx32xlnx0，即mx+2lnx+，x（

27、0，+），设h（x）=x+2lnx+，x（0，+），只需mh（x）min，h（x）=，令h（x）=0，得x=1x（0，1）1（1，+）h（x）0+h（x）单调递减极小值单调递增h（1）min=4，m418已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，P（2，0）是它一个顶点，直线l：y=k（x1）与椭圆C交于不同的两点AB（）求椭圆C的方程及焦点坐标；（）若PAB的面积为时，求直线l的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由题意得a=2， =，a2=b2+c2，联立解出即可得出（）直线方程与椭圆方程联立得（1+2k2）x24k2x+2k24=0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数

28、的关系可得|AB|=求出点P到直线l的距离d利用PAB的面积S=|AB|d即可得出【解答】解：（）由题意得a=2， =，a2=b2+c2，联立解得b=c=椭圆C的方程为： +=1焦点坐标为F1（，0），F2（）联立，整理得（1+2k2）x24k2x+2k24=0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，x1x2=|AB|=又点P到直线l的距离d=PAB的面积S=|AB|d=解得k=1，直线l的方程为：y=（x1）19设椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B已知|AB|=|F1F2|（1）求椭圆的离心率；（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段P

29、B为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）由题意设椭圆右焦点F2的坐标为（c，0），结合|AB|=|F1F2|，可得a2+b2=3c2，再结合隐含条件b2=a2c2得到a，c的关系式，则椭圆的离心率可求；（2）由题意设出椭圆方程为设P（x0，y0）由F1（c，0），B（0，c），求得，的坐标，利用=0得到（x0+c）c+y0c=0，从而得到x0+y0+c=0再由点P在椭圆上，得到两式联立得到3x20+4cx0=0根据点P不是椭圆的顶点得到x0=c进一步得到y0=，再设圆的圆心为T（x1，y1），则x1=c，y1=c，求出圆

30、的半径r再由直线l与圆相切列式求得k的值【解答】解：（1）设椭圆右焦点F2的坐标为（c，0）由|AB|=|F1F2|，可得a2+b2=3c2又b2=a2c2，则2a2=4c2，椭圆的离心率e=；（2）由（1）知a2=2c2，b2=c2故椭圆方程为设P（x0，y0）由F1（c，0），B（0，c），得=（x0+c，y0），=（c，c）由已知，有=0，即（x0+c）c+y0c=0又c0，故有x0+y0+c=0又点P在椭圆上，由和可得3x20+4cx0=0而点P不是椭圆的顶点，故x0=c代入得y0=，即点P的坐标为（，）设圆的圆心为T（x1，y1），则x1=c，y1=c，进而圆的半径r=c设直线l的斜

31、率为k，依题意，直线l的方程为y=kx由l与圆相切，可得，即，整理得k28k+1=0，解得k=4，直线l的斜率为4+或420如果函数f（x）满足在集合N*上的值域仍是集合N*，则把函数f（x）称为N函数例如：f（x）=x就是N函数（）判断下列函数：y=x2，y=2x1，y=中，哪些是N函数？（只需写出判断结果）；（）判断函数g（x）=lnx+1是否为N函数，并证明你的结论；（）证明：对于任意实数a，b，函数f（x）=bax都不是N函数（注：“x”表示不超过x的最大整数）【考点】函数的值域【分析】（）由N函数得定义，结合给出的三个函数解析式，直接判断出函数y=x2，y=2x1不是N函数，函数y=

32、是N函数；（）证明对xN*，lnx+1N*同时证明对lnx+1N*，总存在xN*，满足lnx+1N*；（）对a，b分类证明，当b0，b0且a0时举特值验证，当b0且0a1时由指数函数的性质证明，当b0且a1时，总能找到一个正整数k，使得bak到bak+1之间有一些正整数，从而说明函数f（x）=bax都不是N函数【解答】（）解：只有y=是N函数（）函数g（x）=lnx+1是N函数证明如下：显然，xN*，lnx+1N*不妨设lnx+1=k，kN*，由lnx+1=k，可得k1lnxk，即1ek1xekkN*，恒有ekek1=ek1（e1）1成立，一定存在xN*，满足ek1xek，设kN*，总存在xN

33、*，满足lnx+1=k，函数g（x）=lnx+1是N函数；（）证明：（1）当b0时，有f（2）=ba20，函数f（x）=bax都不是N函数（2）当b0时，若a0，有f（1）=ba0，函数f（x）=bax都不是N函数若0a1，由指数函数性质易得，baxba，xN*，都有f（x）=baxba函数f（x）=bax都不是N函数若a1，令bam+1bam2，则，一定存在正整数k，使得bak+1bak2，使得，f（k）n1n2f（k+1）又当xk时，baxbak，f（x）f（k）；当xk+1时，baxbak，f（x）f（k+1），xN*，都有n1f（x）|xN*，函数f（x）=bax都不是N函数综上所述，对于任意实数a，b，函数f（x）=bax都不是N函数xx年11月8日