立体几何专题复习

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1、立体几何专题复习一、立体几何初步(一)、在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断，考查通过三视图给岀的空间几何体的表面积和体积的计算等问题试题的题型主要是选择题或者填空 题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都是中等难度或者较易的试题.该部分要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过对各种空间几何体结构特征的了解，认识各种空 间几何体的三视图和直观图，通过三视图和直观图判断空间几何体的结构，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法必备知识正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的

2、射影构成一个直 角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边 长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一 个直角三角形.三视图(1) 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.(2) 三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度 和正视图一样，宽度与俯视图一样.几何体的切接问题(1) 球的内接长方体、正方体、正四棱柱等关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长

3、.(2) 柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何问题.必备方法1. 几何体中计算问题的方法与技巧：在正棱锥中，正棱锥的高、侧面等腰三角形的斜高与侧棱构成 两个直角三角形，有关计算往往与两者相关；正四棱台中要掌握对角面与侧面两个等腰梯形中关于上底、 下底及梯形高的计算，另外，要能将正三棱台、正四棱台的高与其斜高，侧棱在合适的平面图形中联系起来；研究圆柱、圆锥、圆台等问题，主要方法是研究其轴截面，各元素之间的关系，数量都可以在轴截 面中得到；多面体及旋转体的侧 面展开图是将立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段.2. 求体积常见技巧当给岀的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然

4、几何体并不复杂，但条件中的已知元 素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利.(1) 几何体的“分割：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之.(2) 几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方 体、正方体等.另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法.(3) 有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直 角梯形求有关的几何元素.(二)、点、直线、平面之间的位置首先要学会认识几何图形，有一定

5、的空间想象能力，对照着已知条件逐一判断其次要熟悉相关的基本定理和基本性质，要善于把空间问题转化为平面问题进行解答高考试题一般是利用直线与平面平行或垂直的判断定理和性质定理，以及平面与平面平行或垂直的判定定理和性质定理，把空间中的线线位置关 系、线面位置关系和面面位置关系进行相互转化，这就要求同学们对平行与垂直的判定定理和性质定理熟 练掌握，并在相应的题目中用相应的数学语言进行准确的表述.必备知识平行关系的转化两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行， 所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图.血而平彳f的判泄面面平行的性质解决平行问

6、题时要注意以下结论的应用(1) 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(2) 两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面.(3) 条直线与两平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交.(4) 平行于同一条直线的两条直线平行.(5) 平行于同一个平面的两个平面平行.(6) 如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线必与它们的交线平行. 垂直关系的转化与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图.血血垂直的河泄线血垂宜的判瞪网S fn血垂直的判定面面垂直曲而垂直的性质在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线

7、必垂直于另一个平面，当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化.必备方法1 证明平行、垂直问题常常从已知联想到有关判定定理或性质定理，将分析法与综合法综合起来考虑.2证明面面平行、垂直时，常转化为线面的平行与垂直，再转化为线线的平行与垂直.3使用化归策略可将立体几何问题转化为平面几何问题.4正向思维受阻时，可考虑使用反证法.5计算题应在计算中融入论证，使证算合一，逻辑严谨通常计算题是经过“作图、证明、说明、计算”等步骤来完成的，应不缺不漏，清晰、严谨.本专题在高考考查内容上，占据比较固定的位置，一般会有一道小题(选择题或者填空题)与一道解答 题，小题一般难度不会太大，属于中档题，考试

8、只要了解基本知识，是没有问题的，解答题也是属于中档 题，在有限的时间，希望同学们理解好基础知识。选择与填空题主要考查体积，表面积的计算，或者平行， 垂直定理的判断。 解答题主要是考察平行于垂直定理的应用或是空间几何体体积的计算。、空间向量与立体几何对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题.空间向量的引入为空间立体几何问题的解决提供了新的思路，作为解决空间几何问题的重要工具，首先要从定义入手，抓住实质，准确记忆向量的计算公式，注意向量与线面关

9、系、线面角、面面角的准确转 化；其次要从向量的基本运算入手，养成良好的运算习惯，确保运算的准确性必备知识直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线|，m的方向向量分别为a= (ai，b1，o)，b=(a?，H，c?).平面a、p的法向量分别为g =(a3，b3，C3)，v = (a4，b4，C4)(以下相同).(1) 线面平行l / a ? aX g ? a g = 0? aa3 + bb + ciC3= 0.(2) 线面垂直| 丄 a ? a/ g ? a= kg ? ai= ka3，bi= k&，ci= kC3.(3) 面面平行a / p ? g / v? g =入 v? a3 =

10、入 a4， bs =入 b， C3 =入 C4.(4) 面面垂直a 丄 p ? g 丄 v ? g v= 0? a3a4+bab4+ C3 = 0.空间角的计算(1) 两条异面直线所成角的求法设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为9，贝UI a b |cos = |cos 9 | = pa|i b| (其中为异面直线a，b所成的角).(2) 直线和平面所成角的求法如图所示，设直线I的方向向量为e,平面a的法向量为 n直线I与平面a所成的角为，两向I e n|量e与n的夹角为 9，则有 sin = |cos 9 | = |剖 n| .(3) 二面角的求法利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角

11、，如图所示,m n即为所求二面角的平面角.对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时,可以利用这两个平面的法向量的夹角来求.如图所示，二面角 a l p，平面a的法向量为n1，平面p的法向量为n2,n 1，n2= 9，则二面有a l p的大小为 9或n 9 .空间距离的计算直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离.| PM- n|点P到平面a的距离，d= yn （其中n为a的法向量，M为a内任一点）必备方法1.空间角的范围异面直线所成的角（9 ） : 0 9 nn ；（2）直线与平面所成的角（9 ） : 0 9 2;（3）二面角（9 ） : 0 9 0，则 P(0,

12、0,2)0, 3, B 2, b,0).于是验(2 2, 0, 2), b，f,Z，- b，f,从而比社0, Pc-艮0,故 PCLBE PCLDE又BEH DE= E,所以PCL平面BDE解 AP= (0,0,2) , AB= ( 2, b, 0).设m= (x, y, z)为平面PAB的法向量，则nr XP= 0, mi- AB= 0,即卩 2z = 0 且 2x by= 0, 令 x = b,则 n= (b, 2, 0).设n= (p, q, r)为平面PBC勺法向量，贝Un PC= 0, n BE= 0,即 2 2p 2r = 0 且弋牛+ bq+ 2r = 0,，2.33令 p= 1

13、,贝U r = 2, q=彳,n= 1,因为面PABL面PBC故m- n= 0,b 2= 0,故 ，于是 n= (1 , 1,奁),SP=(2, 2, 2).cosn, Bp =| nil DPn DP 12，n,DP = 60.因为PD与平面PBC所成角和n,DP互余，故PD与平面PBC所成的角为30.(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进行论证、计算；转化为几何结论.【突破训练】(2011 陕西)如图，在 ABC中，/ ABC= 60,/ BAC= 90, AD是 BC上的高，沿人。把厶ABD折起，使/ BDC=

14、 90A(1)证明：平面 ADBL平面BDC设E为BC的中点，求AE与DB夹角的余弦值.(1)证明折起前AD是 BC边上的高,当厶 ABD折起后，ADL DC ADL DB又 DBH DC= D, AD丄平面 BDC/ AC?平面 ABD平面ADBL平面BDC解 由/ BDC= 90及(1)知DA DB DC两两垂直，不妨设|DB = 1,以D为坐标原点，以 DE?, DC ,DA所在直线分别为x , y , z轴建立如图所示的空间直角坐标系,易得Q0,0,0),B(1,0,0), C(0,3,0),DB = (1,0,0),32，2,A(0,0 ,1 a!=人已与DtB夹角的余弦值为 cos

15、Atl, DtB = AE DBA A|AE| DB|14、(2012 天津改编)如图，在四棱锥 PABC中, PA!平面 ABCDACL AD AB丄BC / BAC =45, PA= AD= 2, AC= 1.(1) 证明：PCL AD(2) 求二面角APCD勺正弦值.审题视点建立空间坐标系，应用向量法求解.A(0,0,0),D解如图,以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得2,0,0),1 1qo,1,o), B 2, 2，0, P(0,0,2)证明：易得PO (0,1 , 2),Xb=(2,0,0).于是 配 XD= 0,所以 PCLAD PC (0,1， 2), Cb= (2 , 1

16、,0). 设平面PCD勺法向量n= (x, y, z),则0,-Cb= 0,y 2z = 0. 即2x y = 0.不妨令z= 1,可得 n= (1,2,1)可取平面PAC的法向量m= (1,0,0)于是cosnnr ni m m1从而si n mn306-所以二面角APC啲正弦值为,30借助向量求二面角是解决空间角问题的常用方法求解过程中应注意以下几个方面:(1)两平面的法向量的夹角不一定就是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求；(2)求平面的法向量的方法：待定系数法：设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标 的方程解之；先确定平面的垂线，然后取相关线段对应的向量，即确定了平面的法向量.

17、当 平面的垂线较易确定时，常考虑此方法.【突破训练3】(2012 唐山一模)如图，在三棱柱ABCAB1C1中，CC丄底面ABC底面是边长为2的正三角形，M N分别是棱CC、AB的中点.(1) 求证：CN/平面AMB(2) 若二面角AMR为45,求CC的长.(1)证明 设AB的中点为P,连接NR MP1 1CM綉严，NP綉2从，二 CM綉 NPCNP是平行四边形， CN/ MP/ CN?平面 AMB MF?平面 AMBCN/ 平面 AMB 解 如图，以C为原点，建立空间直角坐标系 Cxyz,使x轴、y轴、z轴分别与NA(Cn CC同向.则 C(0,0,0) , A1 , , 3, 0),B 1,

18、3, 0)，设 M0,0 , a)(a 0),则 B( 1,3, 2a),Ma= (1 ,3, a), Mb = ( 1,3, a), CM= (0,0 , a),设平面AMB的法向量n= (x , y , z),则 n MA= 0 , n IMB= 0 ,x + 羽 y az= 0 , x+ y+ az = 0则 y = 0 ,令 x = a ,贝U z= 1,即 n= ( a, 0,1). 设平面MBC的一个法向量是 m= (u , v , w),u+3v+ aw= 0 ,aw= 0 ,则 w= 0,令 v = 1,贝y u=3 ,即 m= (3 , 1,0)所以cosm, n2 ” a2

19、+ T依题意,m n= 45则2,a3：1冷,解得a= 2 ,所以CC的长为7利用向量法解决立体几何中的探索性问题此类问题命题背景宽， 涉及到的知识点多， 综合性较强，通常是寻找使结论成立的条件 或探索使结论成立的点是否存在等问题，全面考查考生对立体几何基础知识的掌握程度，考生的空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力.15、如图所示,四边形 ABCD是边长为1的正方形，MDL平面 ABCD NBL平面 ABCD且MD= NB= 1, E为BC的中点.(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值;(2)在线段AN上是否存在点 S,使得ES丄平面B线段AS的长；若不存在，请说明理由.审题视点建立以D

20、为原点的空间直角坐标系，利用向量法求解，第(2)问中设AS=入AN由ESL平面AM阿得入值.解(1)如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.依题意，易得 D0,0,0), A(1,0,0),M0,0,1) , C(0,1,0) , B(1,1,0),1Ni,i,i) , E2, 1,0.-NE=- 2, 0, - 1, cos1辰 AM 2|NE ! AM :2异面直线NE与AM所成角的余弦值为10Tq假设在线段AN上存在点S,使得ES丄平面AMN XNh (0,1,1)，可设 AS= XNh (0,入，入),又EA= 1, 1,0 , ES= EA AS= 2,es- am= o,

21、由ESL平面AMN得$-XN0,即-2 +入=0,+入=0,1_x1 1_x故入=1，此时AS= 0, 2, 2，|AS|经检验,当ES丄平面AMN故线段AN上存在点S,使得ES!平面AMN此时A/空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，因此使用问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题.A图1【突破训练4】如图1,/ ACB= 45, BC= 3，过动点 A作ADL BC,垂足 D在线段BC 上且异于点

22、B,连接AB沿人。将厶ABD折起，使/ BDC= 90 (如图 2所示). 当BD的长为多少时，三棱锥 ABC啲体积最大；(2)当三棱锥ABCD勺体积最大时，设点 E, M分别为棱BC AC的中点, 试在棱CD确定一点N,使得ENL BM并求EN与平面BMh所成角的大小.解 法一 在如题图1所示的 ABC中，设BD= x(0 v xv 3)，则CD=3 x.由ADL BC / ACB= 45知， ADC为等腰直角三角形，所以 AD=CD= 3 x.由折起前ADL BC知 ,折起后(如题图2) , ADL DC ADL BD,且BDn DC= D,111所以 ADL平面 BCD又/ BDC= 9

23、0 ,所以 Sabc尸-BD- CD= -x(3 x),于是 Sbc尸-AD- S；x +2231111 2x +BC 3(3 x)-歹(3 x) = 12 -2x(3 x)(3 x) 0; 当 x (1,3)时,f (x) v 0. 所以当x = 1时，f(x)取得最大值.故当BD= 1时，三棱锥 ABC啲体积最大. 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz由(1)知，当三棱锥 ABCD勺体积最大时，BD= 1, AD= CD= 2.于是可得 D(0,0,0), B(1,0,0),q0,2,0), A(0,0,2), M0,1,1),E1, 1,0，且 E3M= ( 1,1,1)._

24、1设 N(o,入，0)，则 En=-2,入1,0.因为ENL BM等价于EN- BIM= 0,1 1即一2，入一1,0 - ( 1,1,1) = 2 + 入一1 = 0,1 1 故入=2，N0, 2，0.1所以当DN= 2(即N是CD勺靠近点D的一个四等分点)时，ENL BMn 丄 BN,由,nL BM设平面BMN勺一个法向量为 n= (x, y, z),i1y=2x,及BN= 1-, 0,得可取 n= (1,2 , 1).2z = x._I1 1设EN与平面BMb所成角的大小为 0，则由EN= 2, 2, 0, n= (1,2 , 1),可得si n10 = cos (900 = 60n-詡

25、21羽曲0 ) = I=2=乏，即|n| -IEN 6X故EN与平面BMb所成角的大小为60.利用向量法求空间角要破“四关”利用向量法求解空间角，可以避免利用定义法作角、证角、求角中的一作、二证、三计算”的繁琐过程，利用法向量求解空间角的关键在于“四破”.第一破“建系关”，第二破“求坐标关”；第三破“求法向量关”； 第四破“应用公式关”，熟记线面成的角与二面角的公式，即可求出空间角.【示例】(2012 佛山调研)如图所示，在三棱锥 PABC中，已知PC丄平面ABC点C在 平面PBA内的射影D在直线PB上.(1) 求证：AB丄平面PBC(2) 设AB= BC直线PA与平面ABC所成的角为45,求

26、异面直线AP与BC所成的角；(3) 在 的条件下，求二面角 CPA啲余弦值.满分解答(1) T PC丄平面ABC AB?平面ABC AELPC 点C在平面PBA内的射影 D在直线PB上,CDL平面 PAB又 AB?平面 PBA ABL CD又 CDT PC= C AB丄平面 PBC(4 分)（2） PCX平面 ABC,/ PAC为直线PA与平面ABC所成的角.于是/ PAC= 45，设 AB= BC= 1,贝U PC= AC= 2，以 B 为 原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0,0 , 0） , A（0,1,0）,qi,o,o），p（i,o，2）,AP= (1 , - 1,2) , B

27、O (1,0,0),t tXP- BC1 cos AP BO =-t t 2|AP -| BC异面直线 AP与 BC所成的角为60 .（8分）_X11取AC的中点E,连接BE则目氐-,-,0 ,/ AB= BC BEL AC 又：平面 PCA_平面 ABC BE!平面PAC BE是平面PAC的法向量.设平面 PAB的法向量为 n= （x , y , z）,则昇丄BAn丄AP得取 z= 1,得/ =.2 , n= ( 2 , 0,1).于是 cos n , BEn - BE| n| -| b!1|又二面角CPAB锐角，所求二面角的余弦值为-3.（12分）1解决此类问题，一定要先分析已知条件中，是

28、否直接说出此三条直线是两两垂直，否则，要先证明以后才能建立坐标系，另外，要在作图时画出每条坐标轴的方向，2有的考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视法向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.如本t/313例中求得cos BE= y，不少考生回答为：二面角的余弦值为一亏，这是错误的，原因是忽视了对二面角CPA啲大小的判断.【试一试】（2012 东北三校模拟）如图所示，在三棱柱 ABCABG中，AA丄平面ABCAB= BC= CA= AA, D为 AB的中点.(1)求证：BG/平面DCA 求二面角 DCAC的平面角的余弦值

29、.证明如图所示，以 BC的中点0为原点建立空间直角坐标系 Oxyz,设AB= BC= CA= AA= 2.In CD= 0, 设n= (x, y, z)是平面DCA勺一个法向量，则、n CA= 0.又CD= 2, 0,舟,CA = (1,2 ,3),J3x + z= 0,厂所以厂令x = 1, z=书,y = 1,/ + 2y+p 3z = 0.所以 n= (1,1 , .3) 因为 BC= ( 2,2,0),所以 n BC= 2 + 2 + 0 = 0.又BC?平面DCA 所以BC /平面DCA 解 设m=(X1, y1, z是平面CAC的一个法向量，则又cC= (0,2,0) , CA= (1,2 , 3),m- CA= 0.y1= 0,“+ 2y1+ 萌Z1= 0.令 Z1= 1, X1 = 3,2 .3所以 m= (3, 0,1).所以 cosm n所以所求二面角的余弦值为一