阶段质量检测导数及其应用

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1、阶段质量检测（一）导数及其应用（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）1. 若 f （x）=sin a cos x,则 f（x）等于（）A. sin xB. cos xC. cos a +sin xD. 2sin a +cos x解析：选A函数是关于x的函数，因此sin a是一个常数.2. 以正弦曲线y=sinx上一点P为切点的切线为直线I,则直线l的倾斜角的范围是 ()B.0，n)(匹3nu(2，43n u|M，n解析：选A y=cos x，.cos xE1,1，.切线的斜率范围是1,1，倾

2、斜 角的范围是。，与。号，口）3. 函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示， 则函数f （x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A. 1个B.2个C.3 个D.4 个解析：选A设极值点依次为x x，x且aVx Vx Vx Vb，则f（x）在（a，x），（x，12312312x）上递增，在（x,，x），（x，b）上递减，因此，x，x是极大值点，只有x,是极小值点.31231324. 函数f（x）=x2|nx的单调递减区间是（）A. （TC.8,-乳0)，10，1 2x212解析：选 A Vf(x)=2x-=-，当 0VxW葺-时，f(x)W0,故 f(

3、x)的单调xx2递减区间为(0,墅5. 函数 f(x)=3x-4x3(xe0,1)的最大值是()A. 1C. 0D.-1解析：选 A f(x)=3-12x2,令 f(x)=0,11则 x=-2(舍去)或 x=2，f(0) =0, f(1) =-1,fg)=-=1,.f(x)在0,1上的最大值为 1.6. 函数f(x)=x3+ax2+3x-9，已知f(x)在x=-3处取得极值，则a=()A. 2B. 3C.4D.5解析：选 D f(x)=3x-+2ax+3,.,f(3)=0./.3X(-3)2+2aX(-3)+3=0,Aa=5.7. 函数f(x) =-ax3+-ax-2ax+1的图象经过四个象限

4、，则实数a的取值范围是()32u(6+8)解析：选 D f(x)=ax-+ax2a=a(x+2)(x1)要使函数f(x)的图象经过四个象限则f(-2)f(1)04a+1)-7a+1)0解得故选D.8. 已知函数f(x)的导函数f(x)=a(x-b)2+c的图象如图所示则函数f(x)的图象可能是(解析：选D由导函数图象可知当x0时函数f(x)递减排除A、B；当0x0,函数f(x)递增.因此，当x=0时，f(x)取得极小值，故选D. 一 .1 .一9. 定义域为R的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f,(x)-J则满足2f(x)x+ 1的x的集合为()A. x|1x1B. x|x1C

5、. x|x1D. x| x11解析：选 B 令 g(x)=2f(x)x1,、f(x)2，.,.g(x)=2f(x)10,.g(x)为单调增函数，.f(1)=1,.g(1)=2f(1)1 一1=0,.当 x1 时，g(x)0，即 2f(x)0),为使利润最大，应生产()A. 6千台B. 7千台C. 8千台D. 9千台解析：选 A 设利润为 y, lj y=yy2=17x2(2x3x2)=18x22x3, y=36x6x2, 令y= 0得x=6或x=0(舍)，f (x)在(0,6)上是增函数，在(6,+8)上是减函数，.x =6时y取得最大值.11. 已知定义在R上的函数f(x), f(x)+xf

6、(x)V0,若aVb，则一定有()A. af(a)Vbf(b)B. af(b)Vbf(a)C.af(a)bf(b)D.af(b)bf(a)解析：选C xf(x)=x f(x)+xf(x)=f(x)+x f(x)V0,.函数xf(x)是R上的减函数，/aVb,二af (a) bf (b).12. 若函数 f(x)=six,且 0x1x2bB.abC. a=bD. a, b的大小不能确定xcos xsin x解析：选A f，(x)=，令g(x)=xcos xsinx,则 g，(x)=xsinxx2+cos xcos x=xsin x./0x1, Ag,(x)0,即函数 g(x)在(0,1)上是减函

7、数，得 g(x)g(0) =0,故 f(x)b，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在题中的横线上)1 f ，、.一13. 右 f(x)=X3f，(1)x2+x+5, lj f，(1)=.32解析：f(x)=X2-2f，(1)x+1,令 x=1,得 f (1)=.3g 2答案：314. 设a0,若曲线y=&与直线x=a, y=0所围成封闭图形的面积为22,则a=解析：S=/aVxdx=|x2a4g 4答案：915. 已知函数 f(x)满足 f(x)=f(nx),且当 xE(-* 壹)时，f(x)=x+sinx,设a=f(1), b=f，c=f(3)，则a, b,

8、 c的大小关系是解析：f=f(n2), R3)=f(n3), 因为 f(x)=1+cos xN0,故f(x)在(一当 与)上是增函数，,/2n21n30,/.f(n2)f (1)f(n3)，即 cab.答案：ca0,得一 1VxV1,x2 | 1 2即函数f(x)的增区间为(一1,1).又f(x)在(m,2m+1)上单调递增，A1，所以 mV2m+1,解得一1VmW0.、2m+1W1.答案：(1,0三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题满分12分)若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值，则称x。为函数y=f (x)的极值

9、点.已知a, b是实数，1和一 1是函数f(x)=X3+ax2+bx的两个极值点.求a和b的值；设函数g(x)的导函数gz (x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.解：(1)由题设知 f (x) =3x2+2ax+b,且 F (-1)=3-2a+b=0, fz (1)=3+2a+b=0,解得 a=0, b=3.由知f (x) =X33x.因为 f (x) +2= (x1)2(x+2),所以矿(x)=0的根为x =x =1, x =-2, 123于是函数g(x)的极值点只可能是1或一2.当 xV 2 时，g/ (x)0,故一2是g(x)的极值点.当一2VxV1 或 x1 时，gz (x)0,故

10、1不是g(x)的极值点.所以g(x)的极值点为一2.18. (本小题满分12分)(北京高考)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为Y= (e-1)x+4.求a, b的值；(2)求f(x)的单调区间.解：因为 f (x) =xea-x+bx,所以 F (x) = (1 x)ea-x+b.ff 2 =2e+2,依题设有.2叫2ea-2+2b=2e+2, ea-2+b=e1.解得a=2,b=e.由知 f (x) =xe2-x+ex.由 f (x) =2-x (1 x+ex-i)及 e2-x0 知，fz (x)与 1 x+ex-1 同号.令 g(x) =1x

11、+ex-、则 g (x) = 1+ex-i.所以当 xe(-oo, 1)时，g (x)0, g(x)在区间(1, +8)上单调递增. 故g(D=1是g(x)在区间(一8, +8)上的最小值,从而 g(X)0, XE(8,+8).综上可知，fz(x)0, XG( 8,+8),故f(X)的单调递增区间为(一8,+8).19. (本小题满分12分)某个体户计划经销A, B两种商品，据调查统计，当投资额为 x(xN0)万元时，在经销A, B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x) =a(x1)+2, g(x)=6ln(x+b)(a0, b0) .已知投资额为零时收益为零.(1)

12、 求a,b的值；(2) 如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案， 使他能获得最大利润.解：(1)由投资额为零时收益为零，可知 f(0)=a+2=0, g(0) =6ln b=0,解得 a=2, b=1.由(1)可得 f (x) =2x, g(x)=6ln(x+1).设投入经销B商品的资金为x万元(0VxW5),则投入经销A商品的资金为(5x)万元，设所获得的收益为S(x)万元，则 S(x)=2(5x)+6ln(x+1)=6ln(x+1) 2x+10(0VxW5).S，(x)Z72,令 S(x)=0,得乂=2. x+1当0VxV2时，S(x)0,函数S(x)单调递

13、增；当2VxW5时，S(x)V0,函数S(x)单调递减.所以当x=2时，函数S(x)取得最大值，S(x) =S(2) =6ln 3+62 万元.所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为万元.20. (本小题满分12分)已知函数f (x) =ax2+2ln(1x)(a为常数).(1)若f(x)在x= 1处有极值，求a的值并判断x= 1是极大值点还是极小值点； 若f(x)在3,2上是增函数，求a的取值范围.2解：(1)f(x)=2ax , x (8, 1),1xf(1)=2a1=0,1所以a=.f,(x)=-x-I xx+1x21 x,/x0, x20,因此

14、，当 x0,当一1x 1 时 f,(x)0,所以g(x)在(1, e)上递减，在(e,+8)上递增.故当x=e时，g(x)的最小值为g(e) =e.所以mWe.即m的取值范围是(一8, e.由已知可得k(x) =x2ln xa.函数k (x)在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数e(x)=x2ln x与直线y=a有两个不同的交点.2 x26(x)=1=,xx当 xe(1,2)时，e(x)V0, 0(x)递减，当 xe (2,3)时，巾(x)0, 0(x)递增.又 0 (1)=1, 0 (2) =22ln 2, 0(3)=32ln 3,要使直线y=a与函数0(x)=x2ln x有两个交点，则

15、 22ln 2VaV32ln 3.即实数a的取值范围是(22ln 2,32ln 3).22. (本小题满分12分)已知函数f(x) = (x2)e、+a(x1)2有两个零点.(1) 求a的取值范围；(2) 设x1, x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x20,则当 xe(8, 1)时,f(x)0,所以千仅)在(一8,1)内单调递减，在(1,+8)内单调递增.a又f(1)=e, f( 2)=a,取 b 满足 b0 且 ba(b2) +a(b1)2=a(b2*)0,故f(x)存在两个零点. 设 a0,因此f(x)在(1,+8)内单调递增.又当xW1时，f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.e右

16、 a1,故当 xe(1,ln(2a)时，f(x)0.因此f(x)在(1,ln(2a)内单调递减，在(ln(2a),+8)内单调递增.又当xW1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点.综上，a的取值范围为(0,+8).(2)证明：不妨设x1x2,由(1)知，x1e (8, 1), x2e(1,+8), 2x2e (8, 1), 又f(x)在(一8,1)内单调递减，sw X +xft041f (X)X(2x) ysf (2x)0. 12 1 2 2 ffl-Tf (2x) Hx e2x +a(x 1)22 2 2 2af (X) H (X 2)ex +a(x 1)2HP2 2 2 2Swf(2X)HXe2X (X 2)exg (X) H xeTX (x2) e 渲 g、(X) H (XII) (e2xex) sw 眯 XYHm g、(xxpagsHp落蚱 XYwm g(x)pu3g(x2)Hf(2x2)p薄 X+X22.