微分方程例题课件

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1、例例.求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:)1(sin2yxy解解:令令,1yxu则则yu1故有故有uu2sin1即即xuuddsec2Cxutan解得解得Cxyx)1tan(C 为任意常数为任意常数)所求通解所求通解:例例:.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分离变量分离变量xeyexyddCeexy即即01)(yxeCe(C 0 )解法解法 2,yxu令yu1则故有故有ueu1积分积分Cxeuu1dCxeuu)1(ln(C 为任意常数为任意常数)所求通解所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1(例例.解微分方程解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2

2、xyxyxy方程变形为,xyu 令则有则有22uuuxu分离变量分离变量xxuuudd2积分得积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解代回原变量得通解即即Cuux)1(yCxyx)(说明说明:显然显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解也是原方程的解,但但在在(C 为任意常数为任意常数)求解过程中丢失了求解过程中丢失了.例例.求方程的通解.解解:注意 x,y 同号,d2d,0 xxxx时当yyxyx2dd2yyP21)(yyQ1)(由一阶线性方程通解公式通解公式,得ex yy2dey1yy2dCxlnd故方程可变形为0d2d3yyxyyxxyy1y1 lndCy

3、 所求通解为)0(CCeyyxyCyln这是以x为因变量,y为 自变量的一阶线性方程思考与练习思考与练习判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd)1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分离 变量方程xyxyxylndd齐次方程221dd2xyxxy线性方程221dd2yxyyx线性方程2sin2ddyxxyxxy伯努利方程例例.求解0d1d)(2yxxxyx解解:21xyP 这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程改写为0ddd2xxyyxxx即,0d21d2xyx故

4、原方程的通解为021d2xyx或Cxyx221,xQ思考思考:如何解方程?0dd)(3yxxyx这不是一个全微分方程,12x就化成上例 的方程.但若在方程两边同乘备用题备用题 解方程.0d)(dyxyxy解法解法1 积分因子法.原方程变形为0d)dd(yyyxxy取积分因子21y0ddd2yyyyxxy故通解为Cyyxln此外,y=0 也是方程的解.解法解法2 化为齐次方程.原方程变形为xyyxyddxyxy1,xuy 令，则uxuyuuuxu1xxuuudd)1(2积分得Cxuulnln1将xyu 代入,Cyyxln得通解此外,y=0 也是方程的解.解法解法3 化为线性方程.原方程变形为11

5、ddxyyx1,1QyPyyexd1)1(yyed1Cy dyyyCd1yCyln其通解为yxxPed)(CxexQxxPd)(d)(即此外,y=0 也是方程的解.Cyyxln例例.cos2xeyx 求解解解:12cosCxdxeyx 12sin21Cxexxey241xey2811121CC此处xsin21xC32CxCxcos21CxC例例.求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解:),(xpy 设,py 则代入方程得pxpx2)1(2分离变量)1(d2d2xxxpp积分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用,31C得于是有)1(32xy两端再积分

6、得233Cxxy利用,10 xy,12C得133xxy因此所求特解为对于 1,nnyxfy型方程(n2)，可以令pyn1.,pxfp 得如果能求出其通解,1Cxp,11Cxyn逐次积分n-1次，就可得到原方程的通解,332211nnnnCxCxCdxCxy其中C1,C2.,Cn为任意常数.例例.解初值问题解解:令02 yey,00 xy10 xy),(ypy,ddyppy 则代入方程得yeppydd2积分得1221221Cepy利用初始条件,0100 xyyp,01C得根据yepxydd积分得,2Cxey,00 xy再由12C得故所求特解为xey1得例例.052)4(yyy求方程的通解.解解:

7、特征方程,052234rrr特征根:irrr21,04,321因此原方程通解为xCCy21)2sin2cos(43xCxCex例例.0)4()5(yy解方程解解:特征方程:,045rr特征根:1,054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxeC5(不难看出,原方程有特解),132xexxx02)(22222rr例例.)0(0dd444wxw解方程解解:特征方程:44r即0)2)(2(2222rrrr其根为),1(22,1ir)1(24,3ir方程通解:xew2)2sin2cos(21xCxCxe2)2sin2cos(43xCxC备用题备用题,2cos,2,321xyexye

8、yxx求一个以xy2sin34为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解解:根据给定的特解知特征方程有根:,121 rrir24,3因此特征方程为2)1(r0)4(2r即04852234rrrr04852)4(yyyyy故所求方程为其通解为xCxCexCCyx2sin2cos)(4321常数,则该方程的通解是().321,yyy设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy 的解,21,CC是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例.提示提示

9、:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)3322311)()()(yyyCyyCC(89 考研考研)3322311)()()(yyyCyyCD例例.已知微分方程)()()(xfyxqyxpy 个解,2321xxeyeyxy求此方程满足初始条件3)0(,1)0(yy的特解.解解:1312yyyy与是对应齐次方程的解,且xexeyyyyxx21312常数因而线性无关,故原方程通解为)()(221xeCxeCyxxx代入初始条件,3)0(,1)0(yy,2,121CC得.22xxeey故所求特解为有三 例例.0)1(yyxyx的通解为,21xeCxCY 的通解.解解:将

10、所给方程化为:1111 xyxyxxy已知齐次方程求2)1()1(xyyxyx),()(21xvexvxyx令利用,建立方程组:021vevxx121xvevx,121xexvv解得积分得xexCvxCv)1(,2211故所求通解为)1(221xxeCxCyx)1(221xeCxCx例例.42)()2(xyyxxyx 求方程的通解.解解:对应齐次方程为0)()2(2 yyxxyx由观察可知它有特解:,1xy 令,)(xuxy 代入非齐次方程后化简得xuu 此题不需再作变换.特征根:,1,0rr设的特解为)(BAxxu于是得的通解:)(22121xxeCCux故原方程通解为(二阶常系数非齐次方程

11、二阶常系数非齐次方程)代入可得:1,21BA)(232121xxexCxCuxyx例例1.1332 xyyy求方程的一个特解.解解:本题而特征方程为,0322rr不是特征方程的根.设所求特解为,*10bxby代入方程:13233010 xbbxb比较系数,得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0例例2.求解定解问题 0)0()0()0(123yyyyyy解解:本题特征方程为,02323rrr其根为设非齐次方程特解为,*xby代入方程得,12b故,*21xy0321CCC21322CC2,1,0321rrr故对应齐次方程通解为1CY xeC2xeC23原方程通解

12、为x211Cy xeC2xeC23由初始条件得0432CC,0于是所求解为xeeyxx2141432解得)423(412xxeex41 143321CCC例例4 xxyy2cos 求方程的一个特解.解解:本题 特征方程,2,0故设特解为xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,ii2代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl,0)(xPn比较系数,得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一个特解13 a043cb03 c043ad0 cb例例5.xxyy3sin303cos189 求方程的通解.解

13、解:特征方程为,092r其根为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数,得,5a,3b因此特解为)3sin33cos5(*xxxyir32,1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为例例6.xyyysin2)1()4(解解:(1)特征方程,01224rr,0)1(22r即有二重根,ir所以设非齐次方程特解为(*2xy)sincosxbxa(2)特征方程,024 rr0)1(22rr即有根irr4,32,1

14、,0 xexyyxsin3)2()4(利用叠加原理,可设非齐次方程特解为)(*2baxxyxec)sincos(xkxdx设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:思考与练习思考与练习时可设特解为 xxxfcos)()1当xexxxf22cos)()2当xy*xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2)(xfyy 时可设特解为 xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(xkexy*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1.(填空)设sin)(cos)(xxRxxRmm2.已知二阶常微分方程xecybyay 有特解,)1(2xxexey求微分方程的通解.解解

15、:将特解代入方程得恒等式xxxxecexbaeaeba)1()2()1(比较系数得01baca 201ba0a1b2c故原方程为xeyy2 对应齐次方程通解:xxeCeCY21xxexey原方程通解为xxeCeCy21xex例例1.ln2ln2222的通解求方程xxyyxyx 解解:,tex 令,ln xt 则,ddtD 记则原方程化为ttyyDyDD222)1(2亦即ttytyty22dd3dd222其根,2,121rr则对应的齐次方程的通解为特征方程,0232 rrttyDD2)23(22即 tteCeCY221 的通解为41ln21ln212221xxxCxCy4121212221tteCeCytt换回原变量,得原方程通解为设特解:CtBtAy2代入确定系数,得4121212tty例例2.22的通解求方程xxyxyy 解解:将方程化为xyyxyx22(欧拉方程),ddtD 记则方程化为,tex 令teyDDD2)1)1(即teyDD2)12(2特征根:,121 rr设特解:,2 tetAy 代入 解得 A=1,ttetetCCy221)(xxxxCC221ln)ln(所求通解为