2022年高一2月月考数学试题

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1、2022年高一2月月考数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（xx宁夏）已知集合A=1，3，5，7，9，B=0，3，6，9，12，则ANB=（）A1，5，7B3，5，7C1，3，9D1，2，3考点：交、并、补集的混合运算专题：计算题分析：ACNB中的元素是属于集合A但不属于集合B的所有的自然数解答：解：A=1，3，5，7，9，B=0，3，6，9，12，ACNB=1，5，7故选A点评：本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细求解2（5分）在区间（0，+）上不是增函数的是（）Ay=2xBCDy=2 x2+x+1考点：

2、对数函数的单调性与特殊点专题：应用题分析：由指数函数的性质可知y=2x在R上单调递增，结合对数函数的性质可得在（0，+）单调递增，由反比例函数的性质可得在（0，+）单调递减，由二次函数的性质可得y=2x2+x+1在，+）单调递增，则在（0，+）单调递增解答：解：A：y=2x在R上单调递增，B：在（0，+）单调递增C：在（0，+）单调递减D：y=2x2+x+1在，+）单调递增，则在（0，+）单调递增故选：C点评：本题主要考查了指数函数、对数函反比例函数及二次函数的单调性的判断，解题的关键是熟练掌握基本初等函数的单调性的结论3（5分）下列不等式正确的是（）Alog34log43B0.30.80.3

3、0.7C1e1Da3a2（a0，且a1）考点：指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点；幂函数的性质专题：证明题分析：本题中四个选项有一个是比较对数式的大小，其余三个都是指数型的，故可依据相关函数的性质对四个选项逐一验证，以找出正确选项解答：解：对于选项A，由于log34log33=1=log44log43，故A正确；对于选项B，考察y=0.3x，它是一个减函数，故0.30.80.30.7，B不正确；对于选项C，考察幂函数y=x1，是一个减函数，故1e1，C不正确；对于D，由于底数a的大小不确定，故相关幂函数的单调性不确定，故D不正确故选A点评：本题考点是指数、对数及幂函数的单调性，考查

4、利用基本初等函数的单调性比较大小，利用单调性比较大小，是函数单调性的一个重要运用，做题时要注意做题的步骤，第一步：研究相关函数的单调；第二步：给出自变量的大小；第三步：给出结论4（5分）已知两条直线axy2=0和（a+2）xy+1=0互相垂直，则a等于（）A1B0C1D2考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系专题：计算题分析：先求出求出两直线的斜率，利用两直线垂直，斜率之积等于1 求得a值解答：解：直线axy2=0的斜率等于a，（a+2）xy+1=0 的斜率为 a+2，两条直线axy2=0和（a+2）xy+1=0互相垂直，a（a+2）=1，解得 a=1，故选 A点评：本题考查两直线垂直的性质，

5、两直线垂直，斜率之积等于1，求出两直线的斜率是解题的突破口5（5分）函数的定义域是（）ABCD0，1）考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法专题：计算题分析：令被开方数大于等于0，同时对数的真数大于0；列出不等式组，求出x的范围即为定义域解答：解：要使函数有意义，需即0x1故函数的定义域为0，1）故选D点评：本题考查求函数的定义域需要开偶次方根的被开方数大于等于0，对数的真数大于0底数大于0且不大于16（5分）（2011北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A8BC10D考点：由三视图求面积、体积专题：计算题；压轴题分析：三视图复原的几何体是一个三棱锥，根据

6、三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体四个面的面积中，最大的值解答：解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，10，显然面积的最大值，10故选C点评：本题是基础题，考查三视图复原几何体的知识，考查几何体的面积，空间想象能力，计算能力，常考题型7（5分）已知点A（5，4）、B（3，2），过点C（1，2），且与点A、B的距离相等的直线方程是（）Ax+4y7=0B4xy+7=0Cx+4y7=0或x+1=0Dx+4y7=0或4xy+7=0考点：直线的一般式方程专题：计算题分析：分A（5，4）、B（3，2）位于所求直线的同一侧与A（5，4）、B（3，2）

7、分别位于所求直线的两侧讨论解答即可解答：解：分别与A、B两点的距离相等，这样的直线方程有两个（1）A（5，4）、B（3，2）位于所求直线的同一侧，则直线与AB平行，斜率k=，故所求直线为y2=（x+1），即x+4y7=0；（2）若A（5，4）、B（3，2）分别位于所求直线的两侧，则所求直线必过AB中点（1，3），此中点与C（1，2）的横坐标相同，都为1，故所求直线为x=1，即x+1=0综上所述，与点A、B的距离相等的直线方程是x+4y7=0或x+1=0故选C点评：本题考查直线的一般式方程，考查分类讨论思想，考查解答与运算能力，属于中档题8（5分）（xx天津）设a1，若对于任意的xa，2a，都有

8、ya，a2满足方程logax+logay=3，这时a的取值集合为（）Aa|1a2Ba|a2Ca|2a3D2，3考点：幂函数的实际应用专题：压轴题分析：先由方程logax+logay=3解出y，转化为函数的值域问题求解解答：解：易得，在a，2a上单调递减，所以，故a2故选B点评：本题考查对数式的运算、反比例函数的值域、集合的关系等问题，难度不大注意函数和方程思想的应用9（5分）若直线ax+by3=0和圆x2+y2+4x1=0切于点P（1，2），则ab的值为（）A3B2C2D3考点：直线与圆的位置关系；基本不等式专题：计算题分析：把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径r，根据直线与圆相切时，圆

9、心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，让d等于圆的半径r，化简后得到关于a与b的方程，记作，又直线与圆的切点为P，所以把点P的坐标代入直线中，得到关于a与b的另一个关系式，记作，联立即可求出a与b的值，进而求出ab的值解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x+2）2+y2=5，所以圆心坐标为（2，0），半径r=，直线与圆相切，圆心到直线的距离d=r=，化简得：a2+5b212a9=0，把切点P的坐标代入直线方程得：a+2b3=0，联立，解得：a=1，b=2，则ab的值为2故选C点评：此题要求学生掌握直线与圆相切时满足的条件即圆心到直线的距离等于圆的半径，

10、灵活运用点到直线的距离公式化简求值学生应理解切点为直线与圆的唯一的公共点，所以切点满足已知的直线方程10（5分）侧棱长为a的正三棱锥PABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）AB2a2CD3a2考点：球的体积和表面积；球内接多面体专题：计算题分析：侧棱长为a的正三棱锥PABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，说明三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，求出直径，即可求出球的表面积解答：解：因为侧棱长为a的正三棱锥PABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，三棱锥的正方体的一个角，把

11、三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，正方体的对角线长为：；所以球的表面积为：4=3a2故选D点评：本题是基础题，考查三棱锥的外接球的表面积的求法，三棱锥扩展为正方体是本题的关键，正方体的对角线是外接球的直径也不容忽视，考查计算能力11（5分）已知函数f（x）=3ax+13a，在区间（1，1）内存在x0，使f（x0）=0，则a的取值范围是（）ABC或a1Da1考点：函数的零点与方程根的关系专题：计算题分析：先令f（x）=0求出x的表达式，然后根据题意得到11，解此不等式可求得a的范围，确定最后答案解答：解：令f （x）=3ax+13a=0得到 x=，所以根据题意有

12、即11，当a0时，解上述不等式得a，当a0时，解上述不等式得无解，所以a的取值范围为a，故选B点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系和分式不等式的解法，特别要注意正确求出不等式的解，属于中档题12（5分）（xx陕西）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2（，0（x1x2），有（x2x1）（f（x2）f（x1）0则当nN*时，有（）Af（n）f（n1）f（n+1）Bf（n1）f（n）f（n+1）Cf（n+1）f（n）f（n1）Df（n+1）f（n1）f（n）考点：奇偶性与单调性的综合专题：压轴题；探究型分析：由“x1，x2（，0（x1x2），有（x2x1）（f（x2）f（x1）

13、0”可等有“x2x1时，f（x2）f（x1）”，符合增函数的定义，所以f（x）在（，0为增函数，再由f（x）为偶函数，则知f（x）在（0，+）为减函数，由n+1nn10，可得结论解答：解：x1，x2（，0（x1x2），有（x2x1）（f（x2）f（x1）0x2x1时，f（x2）f（x1）f（x）在（，0为增函数f（x）为偶函数f（x）在（0，+）为减函数而n+1nn10，f（n+1）f（n）f（n1）f（n+1）f（n）f（n1）故选C点评：本题主要考查单调性定义的变形与应用，还考查了奇偶性在对称区间上的单调性，结论是：偶函数在对称区间上的单调相反，奇函数在对称区间上的单调性相同二、填空题：本

14、大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）在空间直角坐标系中，在z轴上求一点C，使得点C到点A（1，0，2）与点B（1，1，1）的距离相等，则点C的坐标为（0，0，1）考点：空间中的点的坐标专题：计算题分析：根据点C在z轴上，设出点C的坐标，再根据C到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AC，BC，解方程即可求得C的坐标解答：解：设C（0，0，z）由点C到点A（1，0，2）与点B（1，1，1）的距离相等，得12+02+（z2）2=12+12+（z1）2解得z=1，故C（0，0，1）故答案为：（0，0，1）点评：考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相

15、比较记忆，利于知识的系统化，属基础题14（5分）已知函数，则函数f（log23）的值为考点：函数的值；对数的运算性质专题：计算题分析：根据题意首先求出log23的范围为（1，2），然后结合函数的解析式可得f（log23）=f（1+log23）=解答：解：由题意可得：1log232，因为函数，所以f（log23）=f（1+log23）=故答案为点评：解决此类问题的关键是熟练掌握对数与指数的有关运算，并且加以正确的计算15（5分）下列四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图的形状相同的是考点：简单空间图形的三视图专题：常规题型分析：要分别验证各几何体的三视图，看是否仅有两个形状相同，如正方

16、体的三视图的三个图都为正方形，故不是再分别验证即可解答：解：该几何体是正方体，所以其三视图都是正方形，故不是；该几何体是圆锥，所以其三视图中正视图与侧视图是等腰三角形，俯视图是圆，故是；该几何体是三陵台，所以其三视图虽说正视图与侧视图都是梯形，但由于上下底不等长，故不是；该几何体是正四棱锥，所以其三视图正视图与侧视图都是等腰梯形，俯视图是正方形，故是；故答案为：点评：本题考查简单空间图形的三视图，一定要注意几何体的形状，及它的放置方式16（5分）已知点A（1，0），B（0，2），点P是圆（x1）2+y2=1上任意一点，则PAB面积的最大值是考点：直线与圆的位置关系专题：计算题；数形结合分析：当

17、过P点的直线与AB平行且与圆相切时，切点P为PAB面积的最大值时动点的位置，由A与B的坐标求出直线AB的斜率为2，进而得到切线的斜率也为2，设出切线方程y=2x+b，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离d等于半径r，列出关于b的方程，求出的解得到b的值，确定出切线的方程，然后由A与B两点写出直线AB的方程，根据平行线间的距离公式求出AB与切线间的距离即为三角形ABP中AB边上的高，利用勾股定理求出|AB|的长，利用三角形的面积公式即可求出此时PAB面积，此时的面积即为最大值解答：解：根据题意画出图形，如图所示：由直线AB的斜率kAB=2，得到过P与AB平行且与圆相切的直线斜率k=2，设该直线的方

18、程为：y=2x+b，又圆心坐标为（1，0），半径r=1，所以圆心到直线的距离d=r=1，即b=2（舍去）或b=2，故该直线方程为：y=2x2，又直线AB的方程为：y=2（x+1），即y=2x+2，所以两平行线的距离为，|AB|=，则PAB面积的最大值是=故答案为：点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时满足的条件，掌握平行线间的距离公式，考查了数形结合的数学思想当过一点于圆相切且与直线AB平行，此时切线与圆的切点为PAB面积取得最大值时动点P的位置，找出此点是解本题的关键三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）（1）计算：；（2）解方程：考点：对数的

19、运算性质专题：函数的性质及应用分析：（1）利用指数幂和对数的运算性质即可得出；（2）利用对数的运算性质及一元二次方程的解法即可求出解答：解：（1）原式=+=5+9+=144=10；（2）方程，lgx（lgx2）3=0，lg2x2lgx3=0，（lgx3）（lgx+1）=0，lgx3=0，或lgx+1=0，解得x=1000或点评：熟练掌握指数幂和对数的运算性质是解题的关键18（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，A1A=AC=BC=1，AB=，点D是AB的中点（I）求证：AC1平面CDB1；（II）求三棱锥A1ABC1的体积考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体

20、积专题：计算题；证明题；转化思想；空间位置关系与距离分析：（I） 设CB1与C1B的交点为E，连接DE，通过证明DEAC1，利用直线与平面平行的判定定理证明AC1平面CDB1（II）要求三棱锥A1ABC1的体积，转化为求出底面A1AC1的面积，说明BC为三棱锥BA1AC1的高；即可求解解答：（本小题满分12分）证明：（I） 设CB1与C1B的交点为E，连接DE，D是AB的中点，E是BC1的中点，DEAC1，（3分）DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1（5分）（II）底面三边长AC=BC=1，AB=，ACBC，（7分）A1A底面ABC，A1ABC；而A1AAC=C，BC面AA

21、1C1C，则BC为三棱锥BA1AC1的高； （9分）（12分）（注：若用其他方法求得，相同标准给分）点评：本题考查直线与平面平行的判定定理，棱锥的体积的求法，考查转化思想与计算能力19（12分）如图，AB是圆O的直径，C是圆周上不同于A、B的一点，VA平面ABC，VA=AB（I）证明：平面VAC平面VBC；（II）当三棱锥AVBC的体积最大值时，求VB与平面VAC所成角的大小考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角专题：空间角分析：（I）由圆周角定理可得BCAC，由线面垂直的性质可得BCVA，进而由线面垂直的判定定理可得BC面VAC，再由面面垂直的判定定理得到平面VAC平面VBC；（II

22、）由（I）可得VA为三棱锥VABC的高，故ABC的面积最大时，VAVBC最大，设BC=x （0x2a），由基本不等式，可得三棱锥AVBC的体积最大值时BC的长，结合（1）中BC面VAC，则BVC为VB与平面VAC所成角，解三角形可得答案解答：证明：（I）AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，BCAC，（2分）由VA平面ABC，BC平面ABC，BCVA，而ACVA=A，AC，VA平面VACBC面VAC，（4分）由BC平面VBC，平面VAC平面VBC（6分）解：（II）VA平面ABC，VA为三棱锥VABC的高，则，当ABC的面积最大时，VAVBC最大（8分）设AB=2a，设BC=x （0x2a），则

23、，则=当x2=2a2时，即时，ABC的面积最大，VAVBC最大（10分）由（1）知：BC面VAC，则BVC为VB与平面VAC所成角，（12分）在RtVBC中，BVC=30，故直线VB与平面VAC所成角为30（14分）点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，（I）的关键是熟练掌握空间线线垂直，线面垂直与面面垂直之间的相互转化，（II）的关键是求出线面夹角的平面角，将空间线面夹角转化为解三角形问题20（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a0）对于任意xR都有f（1+x）=f（1x），且函数y=f（x）+2x为偶函数；函数g（x）=12x（I） 求函数f（x）的表

24、达式；（II） 求证：方程f（x）+g（x）=0在区间0，1上有唯一实数根；（III） 若有f（m）=g（n），求实数n的取值范围考点：根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质专题：函数的性质及应用分析：（I）根据对于任意xR都有f（1+x）=f（1x）可知对称轴为x=1，由此得a，b的方程，再由y=f（x）+2x为偶函数可求得b值，从而求得a值；（II）设h（x）=f（x）+g（x），方程f（x）+g（x）=0在区间0，1上有唯一实数根转化为证明函数h（x）在0，1上有唯一零点，根据零点存在定理判定其存在性，利用单调性判定其唯一性；（III）求出f（x），g（x）的值域及其交集，据f（m）

25、=g（n）知g（n）属于该交集；解答：（I）解：对于任意xR都有f（1+x）=f（1x），函数f（x）的对称轴为x=1，得b=2a又函数y=f（x）+2x=ax2+（b+2）x+1为偶函数，b=2，从而可得a=1f（x）=x22x+1=（x1）2（II）证明：设h（x）=f（x）+g（x）=（x1）2+12x，h（0）=220=10，h（1）=10，h（0）h（1）0所以函数h（x）在区间0，1内必有零点，又（x1）2，2x在区间0，1上均单调递减，所以h（x）在区间0，1上单调递减，h（x）在区间0，1上存在唯一零点故方程f（x）+g（x）=0在区间0，1上有唯一实数根（III）解：由题可知

26、f（x）=（x1）20g（x）=12x1，若有f（m）=g（n），则g（n）0，1），则12n0，解得 n0故n的取值范围是n0点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，考查函数奇偶性的性质，考查学生对问题的理解能力及转化能力，零点存在定理及二次函数的有关性质是解决问题的基础21（12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）=2x3（）求f（x）的解析式；（）直接写出f（x）的单调区间（不需给出演算步骤）；（）求不等式f（x）f（x）解集考点：函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明专题：函数的性质及应用分析：（I）根据函数的奇偶性，求出x0与x=0

27、的解析式，再综合即可；（II）分别求出分段函数在各段上的单调区间即可；（III）根据函数的单调性，分段求解不等式的解集，再综合即可解答：解：（）当x=0时，f（0）=0；当x0时，则x0，f（x）=2（x）3=2x3=f（x），则f（x）=2x+3综上：f（x）=（）递增区间：（，0），（0，+）（）当x0时，2x+32x3，即当x0时，2x32x+3，即当x=0时，00，恒成立综上，所求解集为：点评：本题考查函数解析式的求法，分段函数求单调区间，解函数不等式问题22（12分）已知f（）=12sin，g（）=34cos2记F（）=af（）+bg（）（其中a，b都为常数，且b0）（）若a=4，b

28、=1，求F（）的最大值及此时的值；（）若，证明：F（）的最大值是|2ba|+b；证明：F（）+|2ba|+b0考点：两角和与差的正弦函数；函数最值的应用；正弦函数的定义域和值域专题：三角函数的图像与性质分析：（）将a与b的值代入利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后利用二次函数的性质即可求出F（）的最大值及此时的值；（）F（）解析式利用同角三角函数间的基本关系整理后，设sin=x，得到G（x）关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴，当，即2ba时，求出G（x）的最大值为G（1），当，即2ba时，G（x）的最大值G（0），即可得证；要证F（）+|2ba|+b0，即求证G（

29、x）min+|2ba|+b0，其中G（x）=4b（x）2+ab（0x1），当0，即a0时，G（x）min+|2ba|+b大于0，当01，0a4b时，G（x）min+|2ba|+b也大于0，得证解答：解：（）若a=4，b=1时，F（）=4（12sin）+34cos2=4（sin1）21，则F（）max=15，此时的=2k（kZ）；（）证明：F（）=a（12sin）+b（34cos2）=4b（sin）2+ab，令sin=x0，1，记G（x）=4b（x）2+ab（0x1），则其对称轴x=；当，即2ba时，G（x）max=G（1）=3ba；当，即2ba时，G（x）max=G（0）=ab，则G（x）max=F（）max=|2ba|+b；F（）+|2ba|+b0，即求证G（x）min+|2ba|+b0，其中G（x）=4b（x）2+ab（0x1），当0，即a0时，G（x）min+|2ba|+b=G（0）+2ba+b=2b0，当01，即0a4b时，G（x）min+|2ba|+b=G（）+|2ba|+b=ab+|2ba|+b=a+|2ba|=+|2ba|0，当1，即a4b时，G（x）min+|2ba|+b=G（1）+a2b+b=2b0，综上：F（）+|2ba|+b0点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，函数最值的应用，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键