求一元二元函数极限的方法总结

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1、摘要1关键词1Abstract1Key words1引言11预备知识 1 1.1 一元函数极限的定义21.2一元函数极限的性质及相关定理 31.3两个重要的极限31.4无穷小量的定义及等价无穷小31.5常用的导数定义式,31.6二元函数极限的定义42求一元函数极限的方法42.1利用定义求极限 42.2利用归结原则求极限52.3利用左右极限求得函数极限 52.4利用迫敛性求极限 62.5利用四则运算法则求极限 72.6利用两个重要极限求极限 7 2.7利用等价无穷小量代换求极限 72.8利用函数的连续性求极限 82.9利用洛比达法则求极限 82.10利用泰勒公式求极限92.11用导数的定义求极限

2、 102.12利用定积分求极限 103二元函数的极限以及判定 113.1利用二重极限的定义 113.2运用连续函数的性质 113.3利用变量替换 113.4 先求对数后求极限 123.5利用分子或分母有理化123.6判断在点处极限不存在的方法 12 求函数极限的方法 摘要：本文首先归纳和总结出一元函数，二元函数极限的定义及其相关的性质，这些性质对于求解函数的极限有很重要的作用，是求解函数极限的基础；其次依据不同的原则，按照不同的方法，从不同角度概括出求函数极限的若干主要方法，并列举出具有代表性的例题。关键词：函数；极限 ;性质 ；方法Methods Of Solving the Limit o

3、f FunctionAbstract：This paper induces and summarizes the function of one variable, the definition of limit of function of two variables and their properties, these properties have a very important role in solving the limit of function, is the foundation for solving the limit of function; secondly, b

4、ased on different principles, according to different methods, summarize some main methods for the limit function from different angles, and lists the representative examples.Key words: Function; limit; quality ； method引言极限是微积分的理论基础，微积分中的重要概念，如连续，导数，定积分，级数都是用不同类型的极限来定义的，函数极限理论是数学分析中最基本、最重要的内容之一因此掌握函数

5、极限的理论和求函数极限的方法对学习数学分析及数学专业相关课程来说是相当关键的函数是数学分析的研究的对象，而极限方法则是在数学分分析中研究函数的重要方法，因此怎样求极限就非常重要。求函数极限的方法很多，而且非常灵活，因此研究与总结求函数极限的方法尤为重要本文针对各种形式的函数极限整理和归纳了具有代表性的各种求解方法，幷辅以典型的例题既要理解极限的性质，概念和极限存在的条件，又要能准确求出各种极限。1. 预备知识1.1 一元函数极限的定义 定义1 设为定义在上的函数，为定数若对任给的，存在正整数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限记作：或定义2 设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数，若对任给

6、的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限记作：或定义3 设函数在（或）内有定义，为定数若对任给的，存在正数，使得当时（或）有，则称数为函数当趋于（或）时的右（左）极限记作：或注：函数在点处是否有极限，与函数在点处是否有定义无关1.2 一元函数极限的性质及相关定理性质1（唯一性） 若极限存在，则此极限是唯一的性质2（局部有界性） 若存在，则在的某空心邻域内有界性质3（局部保号性） 若（或），则对任何正数（或），存在，使得对一切有（或）性质4（保不等式性） 设与都存在，且在某邻域内有，则性质5（迫敛性）设，且在某邻域内有，则性质6（四则运算法则） 若极限与都存在，则函数，当时极限也存在，

7、且1. ；2. ；又若，则当时极限存在，且有3. 定理：归结原则设在内有定义，存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等1.3两个重要的极限（1）；其变形为. （2）其变形为.或，其变形为1.4无穷小量的定义及等价无穷小设函数在内有定义，若=0，则称为当时的无穷小量。若，则称f与g是当时的等价无穷小量。在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，常见等价无穷小量， 1.5常用的导数定义式,设函数在点处可导，则下列式子成立：1，2其中是无穷小，可以是，的函数或其他表达式1.6二元函

8、数极限的定义设为定义在上的二元函数，为的一个聚点。是一个确定的实数，若对任给正数，总存在某正数 ，使得当时都有，则称在上当,以为极限，记做.求一元函数极限的方法2.1 利用定义求极限 例1证明 证 当时有若限制于，则，于是对任给的，只要取，则当时，便有从而有成立。例2 证明分析 当时，故，于是有，取，当时，故有，从而有，取即可证明 对于，取，于是当时，有，由定义知成立2.2利用归结原则求极限例 2 求极限分析 利用复合函数求极限，令，求解解 令，则有；，由幂指函数求极限公式得，故由归结原则得注 1 归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于，和这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可

9、表示为更强的形式注 2 若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以为极限的数列与，使与都存在而不相等，则不存在2.3利用左右极限求得函数极限例3 解：，因此=2.4利用迫敛性求极限例 4 求极限解 由放缩法得，化简得，因为，由迫敛性定理得在利用迫敛性求函数极限时，一般可经过放缩法找出适当的两个函数，且这两个函数的极限相等本题就是用放缩法使得，且，满足函数极限的迫敛性，即可求出极限2.5利用四则运算法则求极限对和、差、积、商形式的函数求极限，会想到极限四则运算法则，法则本身很简单但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变换或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定常用

10、的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换例 5 求极限，为正整数解 2.6利用两个重要极限求极限例6求极限 解 ，于是有 先利用和差化积对函数进行转化，要使用，必须使函数中出现此类型的式子，如当时，此时，再进行求解。2.7利用等价无穷小量代换求极限例 7 求极限解 由于，而，故有2.8利用函数的连续性求极限例8 求解 此题是利用函数的连续性求其极限，因为函数在处连续，所以可把直接代入求极限若以后遇到此类函数可用此方法求其极限2.9 利用洛比达法则求极限洛比达法则一般被用来求型不定式极限及型不定式极限用此种方法求极限

11、要求在点的空心领域内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零 例 9 求极限 解 由于，且有，由洛比达法则可得 例 10 求极限 解 由于，并有，由洛比达法则可得，由于函数，均满足路比达法则的条件，所以再次利用洛比达法则注 1 如果仍是型不定式极限或型不定式极限，只要有可能，我们可再次用洛比达法则，即考察极限是否存在，这时和在的某领域内必须满足洛比达法则的条件注 2 若不存在，并不能说明不存在注 3 不能对任何比式极限都按洛比达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛比达法则的其他条件下面这个简单的极限虽然是型，但若不顾条件随便使用洛比达法则，就会因右式的极限不存在而推出原极限不

12、存在的错误结论2.10 利用泰勒公式求极限在此种求极限的方法中，用得较多的是泰勒公式在时的特殊形式，即麦克劳林公式也可称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式例 11 求极限解 由于极限式的分母为，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取：，因而求得利用此种方法求极限时，必须先求函数的麦克劳林公式，选取恰当的。2.11用导数的定义求极限例 12 求极限 解 令，则2.12 利用定积分求极限 有定积分的定义知，若在上可积，则可对用某种特定的方法并取特殊的点，所得积分和的极限就是在上的定积分因此，遇到求一些和式的极限时，若能将其化为某个可积函数的积分和，就可用定积分求此极限这是求和式极限的一种方法 例 13

13、求极限解 对所求极限作如下变形：不难看出，其中的和式是函数在区间上的一个积分和，所以有3二元函数的极限以及判定3.1利用二重极限的定义例14 设，求解故所以3.2 运用连续函数的性质例15 计算由于在点连续，所以3.3利用变量替换例16 求解 令，则当例17计算设，有3.4若所求极限具有的形式，并且在的过程中呈现出某种不定型（如），可利用先求对数后求极限的方法例18 求设，则因为，不妨设所以，而所以所以=13.5利用分子或分母有理化例19 求解 原式=3.6判断在点处极限不存在的方法（1）利用累次极限若当时的二重极限存在且为,并且它的累次极限存在且为,那么。因此，如果两个累次极限均存在，但不相等，则二重极限不可能存在。例20，证明不存在。证 由于， 所以不存在。（2）令，这里是的定义域上的任意连续曲线，并。那么若,则。如出现矛盾，则极限不存在。例21 试证不存在 证当沿直线趋于时，=0 当沿直线趋于时，= 所以极限不存在（3）利用数列定义 定理设为动点，为定点，使成立的充分必要条件是：对于一切收敛于的点列，由对应的函数值所组成的数列恒收敛于。例22 证明不存在 证 若取，则 若取，则所以原极限不存在。