八下 等腰三角形提高题 2

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1、八下数学培优讲义第讲等腰三角形一、选择题1、如图，点P、Q是边长为4cm的等边ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，下列结论错误的是（A）A.BP=CMB.ABQCAPC.CMQ的度数不变，始终等于60D.当第秒或第秒时，PBQ为直角三角形分析：A、在等边ABC中，AB=BC点P、Q的速度都为1cm/s，AP=PQ，BP=CQ只有当CM=CQ时，BP=CM故本选项错误B、ABC是等边三角形ABQ=CAP，AB=CA，又点P、Q运动速度相同，AP=BQ，在ABQ与CAP中，ABQCAP（SAS）

2、故本选项正确；C、点P、Q在运动的过程中，QMC不变理由：ABQCAP，BAQ=ACP，QMC=ACP+MAC，CMQ=BAQ+MAC=BAC=60故本选项正确；D、设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当PQB=90时，B=60，PB=2BQ，即4-t=2t，t=，当BPQ=90时，B=60，BQ=2BP，得t=2（4-t），t=，1八下数学培优讲义当第秒或第秒时，PBQ为直角三角形故本选项正确故选A2、如图，在平面直角坐标系中，OAB的顶点A在x轴的正半轴上顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（）ABCD作A关

3、于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DNOA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DNOA于N，则此时PA+PC的值最小，DP=PA，PA+PC=PD+PC=CD，B（3，AB=），OA=3，B=60，由勾股定理得：OB=2，由三角形面积公式得：OAAB=OBAM，AM=，AD=2=3，AMB=90，B=60，BAM=30，BAO=90，OAM=60，DNOA，NDA=30，2八下数学培优讲义AN=C（AD=，由勾股定理得：DN=，0），CN=3=1

4、，在DNC中，由勾股定理得：DC=，即PA+PC的最小值是，故选B如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90，直角EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于G给出四个结论：AE=CF；EF=AP；EPF是等腰直角三角形；AEP=AGF其中正确的结论有（）A、1个B、2个C、3个D、4个分析：根据等腰直角三角形的性质得：APBC，AP=BC，AP平分BAC所以可证C=EAP；FPC=EPA；AP=PC即证得APE与CPF全等根据全等三角形性质判断结论是否正确解答：解：AB=AC，BAC=90，直角EPF的顶点P是BC的中点，APBC，AP=BC=PC，

5、BAP=CAP=45=CAPF+FPC=90，APF+APE=90，FPC=EPAAPECPF（ASA）AE=CF；EP=PF，即EPF是等腰直角三角形；ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，AP=BC，EF不是ABC的中位线，EFAP，故错误；AGF=EGP=180-APE-PEF=180-APE-45，AEP=180-APE-EAP=180-APE-45，AEP=AGF3八下数学培优讲义故正确的有、，共三个因此选C二、填空题三、解答题1、如图，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连接AE、BE，BEAE，延长AE交BC的延长线于点F求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD

6、证明：（1）ADBC（已知），ADC=ECF（两直线平行，内错角相等），E是CD的中点（已知），DE=EC（中点的定义）在ADE与FCE中，ADC=ECFDE=ECAED=CEFADEFCE（ASA），FC=AD（全等三角形的性质）（）ADEFCE，AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），BE是线段AF的垂直平分线，4八下数学培优讲义AB=BF=BC+CF，AD=CF（已证），AB=BC+AD（等量代换）2、如图，D是边长为4cm的等边ABC的边AB上的一点，作DQAB交边BC于点Q，RQBC交边AC于点R，RPAC交边AB于点E，交QD的延长线于点P（1）请说明PQR是等边三角形的

7、理由；（2）若BD=1.3cm，则AE=2.4cm（填空）（3）如图，当点E恰好与点D重合时，求出BD的长度解：（1）根据题意，ABC为等边三角形，B=60又DQAB，B+BQD=BQD+PQR=90，PQR=60同理，得PRQ=60PQR是等边三角形；（2）DQB=30，BD=1.3cm，BQ=2.6cm，CQ=4-2.6=1.4CM，QRC=30，CR=2.8cm，5八下数学培优讲义AR=4-2.8=1.2cm，AER=30，AE=2AR=2.4cm；（3）易证BDQRQCADR，DB=AR，RQBC，A=60，2AR=AD，3DB=AB，DB=4=（cm）3、（本题满分10分）（1）如图

8、1，ABC中，ACB=90，点D、E在边AB上，且AD=AC，BE=BC，求DCE的度数；E，（2）如图，在ABC中，ACB=40，点D、在直线AB上，且AD=ACBE=BC，则DCE=；（）在ABC中，ACB=n，点D、E在直线AB上，且AD=AC，BE=BC，求DCE的度数（直接写出答案，用含的式子表示）6八下数学培优讲义3、（）在ABC中，ACB=90，点D、E都在AB上，且AD=AC，BC=BE，求DCE的度数答案AD=AC，BC=BE，ACD=ADC，BCE=BEC，ACD=（180-A）2，BCE=（180-B）2，A+B=90，+-DCE得，ACD+BCE-DCE=180-（A+

9、B）2-DCE=180-45-DCE=135-DCE=90，DCE=454、已知：如图，在ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，过点D作DPBC，分别交BA，CA或它们的延长线于点P，Q求证：DP+DQ是定值7八下数学培优讲义证明：过点A作AMBC于点M，作ANDQ于点N，（2分）四边形AMDN为矩形AM=DNDPBC，B+P=90C+DQC=90又C=B，DQC=PQAAQN=PAQP为等腰三角形PN=QN（4分）DP+DQ=DN+NP+DQ=DN+NQ+DQ=2AM（5分）即DP+DQ是定值如图，在ABC中，ACB=90，点D、E在AB上，AD=AC，BE=BC，试判断DCE的大小是否

10、与B的度数有关如果有关，请求出它们之间的关系式；如果无关，请确定其度数，并说明理由DCE和B的度数无关，解：DCE和B的度数无关，8八下数学培优讲义理由是：ACB=90，B+A=90，ADAC，BE=BC，ADC=ACD（180-A），BEC=BCE=（180-B），DCE=180-ADC-BEC）=180-（180-A）-（180-B）=A+B=90=45，即DCE永远等于45分析：求出B+A=90，根据等腰三角形性质得出ADC=ACD，BEC=BCE，代入DCE=180-ADC-BEC）求出即可点评：本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的计算和推理能力3、如图，

11、已知在RtABC中，AB=BC，ABC=90，BOAC，于点O，点PD分别在AO和BC上，PB=PD，DEAC于点，求证：BPOPDE（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程（2）特殊位置，证明结论：若PB平分ABO，其余条件不变求证：AP=CD（3）知识迁移，探索新知9八下数学培优讲义若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D，请直接写出CD与AP的数量关系（不必写解答过程）分析（1）求出3=4，BOP=PED=90，根据AAS证BPOPDE即可；（）求出ABP=4，求出ABPCP

12、D，即可得出答案；（3）设OP=CP=x，求出AP=3x，CD=x，即可得出答案（1）证明：PB=PD，2=PBD，AB=BC，ABC=90，C=45，BOAC，1=45，1=C=45，3=PBO1，4=2C，3=4，BOAC，DEAC，BOP=PED=90，在BPO和PDE中BPOPDE（AAS）；（2）证明：由（1）可得：3=4，BP平分ABO，ABP=3，ABP=4，在ABP和CPD中ABPCPD（AAS），AP=CD10八下数学培优讲义（3）解：CD与AP的数量关系是CD=理由是：设OP=PC=x，则AO=OC=2x=BO，则AP=2x+x=3x，由（2）知BO=PE，PE=2x，CE

13、=2xx=x，E=90，ECD=ACB=45，APDE=x，由勾股定理得：CD=x，即AP=3x，CD=x，CD与AP的数量关系是CD=APDE4、如图，点B，在射线AM上，点C，在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知EDM=84，求A的度数.分析：本题考查了等腰三角形、三角形外角的性质.利用等腰三角形的两底角相等和三角形外角的性质设未知数列方程求解.解：而设则可得84,则21,即21.5、在ABC中，AB=AC，AD和CE是高，它们所在的直线相交于H（1）若BAC=45（如图），求证：AH=2BD；11八下数学培优讲义（2）若BAC=135（如图），（1）中的结论是否依然成立？请在图中

14、画出图形并证明你的结论证明：（1）AB=AC，ADBC，BC=2BDCEAB，BAC=45，ECA=45AE=CE又ADBC，CEAB，可得EAH=ECB，在AEH和CEB中，EAH=ECBAE=CEAEH=BECAEHCEB（ASA）AH=BCAH=2BD（2）答：（1）中结论依然成立所画图形如图所示延长BA交HC于EBAC=135，CAE=45AEHC，12八下数学培优讲义ACE=CAE=45AE=CEHDBC，BEHC，可得B=H在BEC和HEA中，B=HEC=HEACE=AERtBECHEA（AAS）AH=BC又BC=2BD，AH=2BD4、在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在C

15、B的延长线上，且ED=EC试探索以下问题：（1）当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE=DB（填“”“”或“=”）（2）当点E为AB上任意一点时，如图2，AE与DB的大小关系会改变吗？请说明理由分析（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出D=ECB=30，求出DEB=30，求出BD=BE即可；（2）过E作EFBC交AC于F，求出等边三角形AEF，证DEB和ECF全等，求出BD=EF即可；解：（1）如图1，ABC是等边三角形，点E是AB的中点，CE平分ACB，CEAB，ACB=60，BEC=90，AE=BE，又ED=EC，D=ECB=30，DEC

16、=120，DEB=120-90=30，D=DEB=30，BD=BE=AE，即AE=DB故答案为：=（2）当点E为AB上任意一点时，如图2，AE与DB的大小关系不会改变理由如下：13八下数学培优讲义如图2，过E作EFBC交AC于F，ABC是等边三角形，ABC=ACB=A=60，AB=AC=BC，AEF=ABC=60，AFE=ACB=60，即AEF=AFE=A=60，AEF是等边三角形，AE=EF=AF，ABC=ACB=AFE=60，DBE=EFC=120，D+BED=FCE+ECD=60，DE=EC，D=ECD，BED=ECF，在DEB和ECF中，DEB=ECFDBE=EFCDE=CE，DEBE

17、CF（AAS），BD=EF=AE，即AE=BD，已知：如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD（1）求证：AD=BE；（2）求：BFD的度数分析：（1）根据等边三角形各边长相等的性质可得AB=AC，易证ABECAD可得AD=BE；（2）根据全等三角形对应角相等可得ABE=CAD，进而根据BFD=BAD+ABE即可求BFD的度数（）证明：ABC是等边三角形，BAC=C=60，AB=CA，在ABE和CAD中AB=CA(已证)BAC=C(已证)AE=CD(已知)，ABECAD（SAS），AD=BE（全等三角形对应边相等）；（）解：ABECAD（已证），ABE=CAD（全等

18、三角形对应角相等），又BFD=BAD+ABE，BFD=BAD+CAD=BAC，又BAC=60，BFD=60点评：本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应边、对应角相等的性质，等边三角形各内角为的性质，本题中求证ABECAD是解题的关键如图，在等腰直角ABC中，ABC=90，AB=BC，ADBC，E是AB的中点，BE=AD（1）试说明：CEBD；14八下数学培优讲义（2）线段AC与ED之间存在什么关系？为什么？（）判断BDC的形状，并说明理由分析：（1）利用全等的性质ABD=BCE，然后利用等价变换的知识可得出BFC=90，从而即可得出答案（2）根据AC垂直平分DE，E是AB中点及ADBC可得

19、出AC与ED之间存在的关系（3）根据等腰三角形及中垂线的性质即可作出判断解：（）等腰直角ABC，ABC=90AB=BC，ACB=CAB=45ADBCDAB+ABC=180DAB=90DAB=ABC=90在ABD和BCE中，AD=BEDAB=EBCAB=BCABDBCE（SAS）ABD=BCE，ABC=90ABD+CBD=90BCE+CBD=90BCF中，BFC+FBC+BCF=180BFC=90，CEBD（2）AC垂直平分DE，E是AB中点，AE=BE，BE=AD，AD=AE，ADBC，DAC=ACB=45，DAC=CAE=45，AD=AE，DAC=CAE，AC垂直平分DE（）BDC是等腰三角

20、形，15八下数学培优讲义AC垂直平分DE，CD=CE，ABDBCE，BD=CE，BD=CD，BCD是等腰三角形如图，在等边ABC中，线段AM为BC边上的中线动点D在直线AM上时，以CD为一边且在CD的下方作等边CDE，连接BE（1）填空：当点D运动到点M时，ACE=度；（2）当点D在线段AM上（点D不运动到点）时，求证：ADCBEC；（3）若AB=8，以点C为圆心，以5为半径作C与直线BE相交于点P、Q两点，在点D运动的过程中（点D与点A重合除外），试求PQ的长分析：（1）三角形内角和是180，等边三角形的内角都相等，所以，其中一个内角的度数是1803，结合图形可求得ACB=DCE=60，从而

21、可得ACE的度数；（2）根据等边三角形的性质，利用SAS求证ADCBEC；（3）当点D在线段AM上（不与点A重合）时，作CBH，在直角三角形中，利用勾股定理求得；当点D在线段AM的延长线上时，求证ACDBCE，然后求值；当点D在线段MA的延长线上时，求证ACDBCE后求值解答：（1）解：120；（）证明：ABC与DEC都是等边三角形AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60ACD+DCB=DCB+BCEACD=BCEACDBCE（SAS）（3）解：当点D在线段AM上（不与点A重合）时（图1），由（）可知ACDBCE，则CBE=CAD=30，作CHBE于点H，16八下数学培优讲义则PQ=2HQ

22、，连接CQ，则CQ=5在CBH中，CBH=30，BC=AB=8，则CH=12BC=4在CHQ中，由勾股定理得：HQ=CQ2-CH2=52-42=3，则PQ=2HQ=6当点D在线段AM的延长线上时（图2），ABC与DEC都是等边三角形AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60ACB+DCB=DCB+DCEACD=BCEACDBCE（SAS）CEB=CDA=30同理可得：PQ=6当点D在线段MA的延长线上时（图3），ABC与DEC都是等边三角形AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60ACD+ACE=BCE+ACE=60ACD=BCEACDBCE（SAS）CBE=CADCAM=30CBE=CAD=150CBQ=30同理可得：PQ=6综上所述，PQ的长是6点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA无法证明三角形全等17