概率统计试题及答案(本科完整版)

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1、填空题（每题2分，共20分）A1、记三事件为A，B，C. 则用A，B，C及其运算关系可将事件，“A，B，C中只有一个发生”表示为 .A3、已知P(A)=0.3，P（B）0.5，当A，B相互独立时，。A4、一袋中有9个红球1个白球，现有10名同学依次从袋中摸出一球（不放回），则第6位同学摸出白球的概率为 1/10 。A5、若随机变量在区间 上服从均匀分布，则对以及任意的正数，必有概率 A6、设服从正态分布，则 N ( 3-2 , 42 ) .A7、设A8、袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以表示取出3只球中的最大号码。则的数学期望 4.5 。A9、设随机变量的分布律为

2、XY12310.120.100.2820.1800.12300.150.05则条件概率 2/5 .A10、设来自正态总体, ,当常数= 1/4 时，服从分布。A二、计算题（每小题10分，共70分）A1、三台机器因故障要人看管的概率分别为0.1，0.2，0.15，求：（1）没有一台机器要看管的概率（2）至少有一台机器不要看管的概率（3）至多一台机器要看管的概率解：以Aj表示“第j台机器需要人看管”，j=1，2，3，则:P( A1 ) = 0.1 , P( A2 ) = 0.2 , P( A3 ) = 0.15 ,由各台机器间的相互独立性可得A2、甲袋中有n只白球、m只红球；乙袋中有N只白球、M只

3、红球。今从甲袋任取一球放入乙袋后，再从乙袋任取一球。问此球为白球的概率是多少？解：以W甲表示“第一次从甲袋取出的为白球”，R甲表示“第一次从甲袋取出的为红球”， W乙表示“第二次从乙袋取出的为白球”，则所求概率为 A3、设随机变量X的概率密度为, 试求（1）常数A;(2) 分布函数; (3) 概率。解：（1） 由归一性可得：，从而 A4、（1）已知X的分布律为-1 0 1 2 3 计算。（5分）解：（2）、设，求的概率密度.（5分） 解：Y的密度函数为：A5、设的概率密度为. (1) 试求分布函数； (2) 求概率其中区域由轴, 轴以及直线所围成.解: A6、设二维随机变量的概率密度为,求常数

4、及边缘概率密度.并讨论随机变量的相互独立性。解：由归一性知：显然 ，故X与Y不相互独立。A7、设总体的概率密度为, 其中为未知参数. 若是来自母体的简单子样，试求的矩估计与极大似然估计.解：（1） 令 解得的矩估计为 （2）似然函数 对数似然函数 令 解得的极大似然估计为 A三、证明题（每题5分，共10分） A 1、为来自总体X的样本，证明当时，为总体均值的无偏估计。证明：设总体均值= ，由于为来自总体X的样本，因此 而 为总体均值的无偏估计，故应该有 从而 A 2、设是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为的泊松分布，证明服从参数为的泊松分布。证明：由题知 ，即 令，且由的相互独立性可得：

5、即 服从参数为的泊松分布B一、填空（每小题2分，共10分）B1. 若随机变量 的概率分布为 ，则_。B2. 设随机变量 ，且 ，则_。B3. 设随机变量 ,则 _。B4. 设随机变量 ，则 _。B5. 若随机变量的概率分布为则 _。B二、单项选择(每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分)B1. 设 与 分别是两个随机变量的分布函数，为使 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）。(A) (B) (C) (D) B2. 设随机变量的概率密度为，则（ ）。(A) (B) (C) (D) B3.下列函数为随机变量分布密度的是( )。(

6、A) (B) (C) (D) B4.下列函数为随机变量分布密度的是( )。(A) (B) (C) (D) B5. 设随机变量的概率密度为，则的概率密度为（ ）。(A) (B) (C) (D) B6. 设服从二项分布，则（ ）。(A) (B) (C) (D) B7. 设，则（ ）。(A) (B) (C) (D) B8设随机变量的分布密度为 , 则（ ）。(A) 2(B) 1(C) 1/2(D) 4B9对随机变量来说，如果，则可断定不服从（ ）。(A) 二项分布(B) 指数分布(C) 正态分布(D) 泊松分布B10设为服从正态分布的随机变量，则 ( )。(A) 9 (B) 6 (C) 4 (D)

7、-3 B三、计算与应用题（每小题8分，共64分）B1. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，直到取到新球为止。求抽取次数的概率分布。B2. 车间中有6名工人在各自独立的工作，已知每个人在1小时内有12分钟需用小吊车。求（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？（2）若车间中仅有2台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？B3. 某种电子元件的寿命是随机变量，其概率密度为求（1）常数；（2）若将3个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率。B4. 某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量，且。求（1）这样的电池

8、寿命在250小时以上的概率；（2），使电池寿命在内的概率不小于0.9。B5. 设随机变量。求 概率密度。B6. 若随机变量服从泊松分布，即，且知。求 。B7. 设随机变量的概率密度为。求 和。B8. 一汽车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。求（1）的概率分布；（2）。B四、证明题（共6分）设随机变量服从参数为2的指数分布。证明：在区间上，服从均匀分布。试卷二参考答案一、填空1. 6由概率分布的性质有 即 ，得 。2. ，则3. 0.54. 5. 0.25由

9、题设，可设即010.50.5则 二、单项选择1. ()由分布函数的性质，知 则 ，经验证只有满足，选2. ()由概率密度的性质，有 3. ()由概率密度的性质，有4. ()由密度函数的性质，有 5. ()是单减函数，其反函数为 ，求导数得 由公式，的密度为 6. ()由已知服从二项分布，则又由方差的性质知,7. ()于是 8. (A) 由正态分布密度的定义,有 9. (D) 如果时,只能选择泊松分布.10. (D) X为服从正态分布N (-1, 2), EX = -1 E(2X - 1) = -3三、计算与应用题1. 解：设为抽取的次数 只有个旧球,所以的可能取值为：由古典概型，有则12342

10、. 解：设 表示同一时刻需用小吊车的人数，则是一随机变量，由题意有，于是（1）的最可能值为 ，即概率达到最大的（2）3. 解：（1）由 可得 （2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互独立的，因此，若用表示“线路正常工作”，则而 故 4. 解： （1）（查正态分布表）（2）由题意 即 查表得 。5. 解:对应的函数单调增加，其反函数为，求导数得，又由题设知 故由公式知： 6. 解:，则而由题设知 即 可得 故 查泊松分布表得，7. 解:由数学期望的定义知,而 故 8. 解:（1）的可能取值为且由题意,可得即0123（2）由离散型随机变量函数的数学期望，有

11、四、证明题证明：由已知 则又由 得 连续，单调，存在反函数 且 当时， 则 故 即 试卷三C一、填空（请将正确答案直接填在横线上。每小题 2分，共10分）C1. 设二维随机变量的联合分布律为，则 _，_.C2. 设随机变量和相互独立，其概率分布分别为，则 _.C3. 若随机变量与相互独立，且，则 服从_分布.C4. 已知与相互独立同分布，且则 _.C5. 设随机变量的数学期望为、方差，则由切比雪夫不等式有_.C二、单项选择(在每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分)C1. 若二维随机变量的联合概率密度为 ，则系数（ ）.(A) (B) (C) (

12、D) C2. 设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和，则下列结论正确的是（ ）.(A) (B) (C) (D) C3. 设随机向量(X , Y)的联合分布密度为, 则（ ）. (A) (X , Y) 服从指数分布 (B) X与Y不独立 (C) X与Y相互独立(D) cov(X , Y) 0C4. 设随机变量相互独立且都服从区间0,1上的均匀分布，则下列随机变量中服从均匀分布的有（ ）.(A) (B) (C) (D) C5. 设随机变量与随机变量相互独立且同分布, 且, 则下列各式中成立的是（ ）. (A) (B) (C) (D) C6设随机变量的期望与方差都存在, 则下列各式中成立的是（

13、 ）.(A) (B) (C) (D) C7. 若随机变量是的线性函数，且随机变量存在数学期望与方差，则与的相关系数（ ）.(A) (B) (C) (D) C8. 设是二维随机变量，则随机变量与不相关的充要条件是（ ）.(A) (B) (C) (D) C9. 设是个相互独立同分布的随机变量，则对于，有（ ）.(A) (B) (C) (D) C10. 设,为独立同分布随机变量序列，且Xi ( i = 1,2,)服从参数为的指数分布，正态分布N ( 0, 1 ) 的密度函数为, 则（ ）. C三、计算与应用题（每小题8分，共64分）C1. 将2个球随机地放入3个盒子，设表示第一个盒子内放入的球数，表

14、示有球的盒子个数.求二维随机变量的联合概率分布.C2. 设二维随机变量的联合概率密度为（1）确定的值；（2）求 .C3. 设的联合密度为（1）求边缘密度和；（2）判断与是否相互独立.C4. 设的联合密度为求的概率密度.C5. 设，且与相互独立.求（1）的联合概率密度；（2）；（3）.C6. 设的联合概率密度为求及.C7. 对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是1.5.求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率.C8. 抽样检查产品质量时，如果发现次品数多于10个，则认为这批产品不能接受.问应检查多少个产品才能使次品率为10%的这批产品不被接受的概率

15、达0.9.C四、证明题（共6分）C设随机变量的数学期望存在，证明随机变量与任一常数的协方差是零.试卷三参考解答一、填空1. 由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得 2. 3. 相互独立的正态变量之和仍服从正态分布且，4. 5. 二、单项选择1. (B)由 即 选择(B).2. (B)由题设可知，故将标准化得 选择(B).3. (C)选择(C).4. (C)随机变量相互独立且都服从区间0,1上的均匀分布, 则选择(C).5. (A)选择(A).6. (A) 由期望的性质知选择(A).7. (D)选择(D).8. (B)与不相关的充要条件是即 则 选择(B).9. (C) 选择(C).10

16、. (A)Xi ( i = 1,2,)服从参数为的指数分布，则故 选择(A).三、计算与应用题1. 解显然的可能取值为；的可能取值为注意到将个球随机的放入个盒子共有种放法,则有即 的联合分布律为2. 解（1）由概率密度的性质有可得 （2）设，则3. 解（1） 即 即 ，（2）当时故随机变量与不相互独立.4. 解先求的分布函数显然，随机变量的取值不会为负，因此当 时，当 时，故 的概率密度为5. 解（1） 与相互独立 的联合密度为（2）（3）6. 解于是 由对称性 故 .7. 解设 表示第次炮击命中目标的炮弹数，由题设，有 ，则次炮击命中目标的炮弹数 ，因 相互独立，同分布，则由中心极限定理知近似服从正态分布于是