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1、2019-2020学年新教材高中数学第5章三角函数5.4三角函数的图象与性质5.4.3正切函数的性质与图象教学案新人教A版必修第一册5.4.3正切函数的性质与图象(教师独具内容)课程标准：1.掌握正切函数的周期性，并会求正切函数ytan(x)的周期.2.掌握正切函数ytanx的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.了解正切函数图象的画法，掌握正切函数的单调性教学重点：正切函数的性质与图象教学难点：利用正切函数的图象研究正切函数的单调性及值域.【知识导学】知识点一正切函数的图象(1)正切函数的图象(2)正切函数的图象叫做正切曲线(3)正切函数的图象特征正切曲线是由被相互平行的直线xk，kZ所
2、隔开的无穷多支曲线组成的知识点二正切函数的性质(1)正切函数的性质(2)函数ytanx(0)的最小正周期是.【新知拓展】(1)画函数ytanx，x上的简图时，可采用“三点两线”法，即可以先描三点，(0,0)，再画两条平行的虚线x，x，最后连线这两条虚线实质是正切函数图象的两条渐近线(2)虽然正切函数ytanx在(kZ)上单调递增，但不能说正切函数在其定义域上单调递增1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)正切函数的定义域和值域都是R.()(2)正切函数在整个定义域上单调递增()(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值()(4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形()答案(1)(2
3、)(3)(4)2做一做(1)ytanx()A在整个定义域上单调递增B在整个定义域上单调递减C在每一个开区间(kZ)上单调递增D在每一个闭区间(kZ)上单调递增(2)ytan的定义域是()A. B.C. D.(3)函数y2tan的最小正周期是_(4)函数ytan的单调增区间为_答案(1)C(2)D(3)(4)(kZ)题型一 正切函数的基本性质例1求函数ytan的定义域、最小正周期、单调区间和对称中心解由k，kZ，得x3k，kZ.函数的定义域为.T3，函数的最小正周期为3.由kk，kZ，解得3kx3k，kZ.函数的单调递增区间为，kZ，无单调递减区间由，kZ，得x，kZ.函数的对称中心是，kZ.金
4、版点睛求函数周期与单调区间的方法(1)一般地，函数yAtan(x)的最小正周期为T，常常利用此公式来求周期(2)求函数yAtan(x)(A，都是常数)的单调区间的方法若0，由于ytanx在每一个单调区间上递增，故可用“整体代换”的思想，令kxk，kZ，解得x的范围即可若0，可利用诱导公式先把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可(3)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称若不对称，则该函数为非奇非偶函数，若对称，再判断f(x)与f(x)的关系求函数y2tan的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性解3xk，kZ，定义域.函数的值域为R.函数的最小
5、正周期为T.该函数的定义域不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数k3xk，kZ，x，kZ，函数的单调递减区间为，kZ.题型二 正切函数的单调性及应用例2(1)求函数ytan的单调区间；(2)比较tan与tan的大小；(3)已知f(x)tan2x2tanx，求f(x)的值域解(1)由kxk(kZ)得，2kx2k，kZ，所以函数ytan的单调递增区间是(kZ)(2)由于tantantantan，tantantan，又0，而ytanx在上单调递增，所以tantan，tantan，即tantan.(3)令tanxt，由|x|，则t，即有yt22t(t1)21，则y在，1上单调递减，在1，上单调递增y的最
6、大值为32，最小值为1.f(x)的值域为1,32条件探究把本例(1)改为求ytan的单调区间解ytantan，则由kxk(kZ)，得2kx2k(kZ)函数ytan的单调递减区间是(kZ)金版点睛运用正切函数的单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内(2)运用单调性比较大小关系(1)比较tan1，tan2，tan3的大小；(2)求函数y3tan的单调区间解(1)因为tan2tan(2)，tan3tan(3)又因为2，所以20.因为3，所以30.显然231，又ytanx在上单调递增，所以tan(2)tan(3)tan1，即tan2tan3tan1.(2)y3tan
7、3tan，由k2xk(kZ)，得x(kZ)，所以y3tan的单调递减区间为(kZ).题型三 与正切函数有关的定义域问题例3求函数ylg (1tanx)的定义域解函数ylg (1tanx)有意义，等价于解得0tanx1.由正切函数图象可得kxk，kZ.所以原函数的定义域为kxk，kZ.金版点睛解正切不等式的步骤(1)作出正切函数ytanx在上的图象；(2)求出在内使tanxa成立的x的值；(3)利用图象确定不等式在内的解集；(4)结合函数的周期性把(3)中的解集扩展到整个定义域内求下列函数的定义域：(1)y；(2)ylg (tanx)解(1)要使函数y有意义，必须且只需所以函数的定义域为.(2)
8、因为tanx0，所以tanx.又因为当tanx时，xk(kZ)，根据正切函数图象，得kxk(kZ)，所以函数的定义域是.题型四 正切函数图象的应用例4画出函数y|tanx|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性解y|tanx|可作出其图象(如图)，由图象知函数y|tanx|的单调递减区间为(kZ)，单调递增区间为(kZ)该函数是偶函数，周期为.金版点睛作函数y|f(x)|以及周期函数图象的方法(1)作出函数y|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是：保留函数yf(x)图象在x轴上方的部分；将函数yf(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折(2)若函数为周期函数，可先研究其一
9、个周期内的图象，再利用周期性，延展到定义域上即可设函数f(x)tan.(1)求函数f(x)的周期，对称中心；(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图解(1)f(x)tan，周期T2.由(kZ)，得xk(kZ)，故函数的对称中心是，kZ.(2)令0，得x，令，得x.令，得x.函数f(x)tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x，x，从而得函数f(x)tan在一个周期内的简图(如图) 1函数y3tan的一个对称中心是()A. B.C. D(0,0)答案C解析由x(kZ)，得xk(kZ)令k0，得函数y3tan的一个对称中心是.故选C.2下列函数中，同时满
10、足：在上单调递增，为奇函数，以为最小正周期的函数是()Aytanx BycosxCytan Dy|sinx|答案A解析经验证，选项B，D中所给函数都是偶函数，不符合；选项C中所给函数的周期为2.故选A.3与函数ytan的图象不相交的一条直线是()Ax BxCx Dx答案D解析令2xk(kZ)，得x(kZ)，所以与函数图象不相交的一条直线为x.4tan与tan的大小关系是_答案tantan解析tantan，tantantan.因为00，tan0.所以tantan，即tantan.5求函数ytan的定义域、周期及单调区间解由xk，kZ，得x2k，kZ，所以函数ytan的定义域为.T2，所以函数ytan的周期为2.由kxk，kZ，得2kx2k，kZ.所以函数ytan的单调递增区间为(kZ)- 24 -
2021-2021学年新教材高中数学第5章三角函数5.4三角函数的图象与性质5.4.3正切函数的性质与图象教学案新人教A版必修第一册
