八下压轴题 一次函数与几何 动点问题教师版

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1、八年级下数学期末压轴题精选1.等腰三角形存在性（2017广西柳州）23（10分）如图，在四边形OABC中，OABC，OAB=90，O为原点，点C的坐标为（2，8），点B的坐标为（24，8），点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC向点C运动，点E同时从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿OA向A运动，当点E达到点A时，点D也停止运动，从运动开始，设D（E）点运动的时间为t秒（1）连接AD，记ADE得面积为S，求S与t的函数关系式，写出t的取值范围；（2）当t为何值时，四边形ABDE是矩形；（3）在（2）的条件下，当四边形ABDE是矩形，在x轴上找一点P，使得ADP为等腰三角形，直接写出所

2、有满足要求的P点的坐标【分析】（1）根据三角形面积公式计算即可；（2）当BD=AE时，四边形ABDE是矩形，由此构建方程即可解决问题；（3）分三种情形：当AD=AP时，当DA=DP时，当PD=PA时，分别求解即可；【解答】解：（1）如图1中，S=（243t）8=12t+96（0t8）（2）OABD，当BD=AE时，四边形BDEA是平行四边形，OAB=90，四边形ABDE是矩形，t=243t，t=6s，当t=6s时，四边形ABDE是矩形（3）分三种情形讨论：由（2）可知D（18，8），A（24，0），AD=10，当AD=AP时，可得P1（14，0），P2（34，0），当DA=DP时，可得P3（1

3、2，0），当PD=PA时，设PD=PA=x，在RtDP4E中，x2=82+（x6）2，解得x=，P4（，0），综上所述，满足条件的点P坐标为（14，0）或（34，0）或（12，0）或（，0）；【点评】本题考查四边形的综合题、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题2.直角三角形存在性（2017深圳新华）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，平行四边形的顶点C的坐标为（8，8），顶点A的坐标为（6，0），边AB在x轴上，点E为线段AD的中点，点F在线段DC上，且横坐标为3，直线EF与y轴交于点G

4、，有一动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A沿折线ABCF运动，当点P到达点F时停止运动，设点P运动时间为t秒（1）求直线EF的表达式及点G的坐标；（2）点P在运动的过程中，设EFP的面积为S（P不与F重合），试求S与t的函数关系式；（3）在运动的过程中，是否存在点P，使得PGF为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据点C的坐标可求出点F的纵坐标，结合题意可得出点F的坐标，过点E作EHx轴于点H，利用AHEAOD，可求出点E的坐标，从而利用待定系数法可确定直线EF的解析式，令x=0，可得出点G的坐标（2）延长HE交CD的延长线于点M，讨论

5、点P的位置，当点P在AB上运动时，当点P在BC边上运动时，当点P在CF上运动时，分别利用面积相减法可求出答案（3）很明显在BC上存在两个点使PGF为直角三角形，这两点是通过过点G作GPEF，过点F作FPEF得出来的【解答】解：（1）C（8，8），DCx轴，点F的横坐标为3，OD=CD=8点F的坐标为（3，8），A（6，0），OA=6，AD=10，过点E作EHx轴于点H，则AHEAOD又E为AD的中点，=AH=3，EH=4OH=3点E的坐标为（3，4），设过E、F的直线为y=kx+b，直线EF为y=x+6，令x=0，则y=6，即点G的坐标为（0，6）（2）延长HE交CD的延长线于点M，则EM=E

6、H=4DF=3，SDEF=34=6，且S平行四边形ABCD=CDOD=88=64当点P在AB上运动时，如图3，S=S平行四边形ABCDSDEFSAPES四边形PBCFAP=t，EH=4，SAPE=4t=2t，S四边形PBCF=（5+8t）8=524tS=6462t（524t），即：S=2t+6当点P在BC边上运动时，S=S平行四边形ABCDSDEFSPCFS四边形ABPE过点P作PNCD于点NC=A，sinA=，sinC=PC=18t，PN=PCsinC=（18t）CF=5，SPCF=5（18t）=362t过点B作BKAD于点KAB=CD=8，BK=ABsinA=8=PB=t8，S四边形ABP

7、E=（t8+5）=tS=646（362t）（t），即S=t+（8分）当点P在CF上运动时，PC=t18，PF=5（t18）=23tEM=4，SPEF=4（23t）=462t综上：S=（3）存在P1（，）P2（，）3.一次函数与平行四边形：（2016山西晋中）（1）在直角坐标系中，A（1，2），B（4，0），在图1中，四边形ABCD为平行四边形，请写出图中的顶点C的坐标（5，2）（2）平面内是否存在不同于图1的点C，使得以O、A、B、C为顶点的四边形为平行四边形，请在图2中画出满足情况的平行四边形，并在图中直接标出点C的坐标（3）如图3，在直角坐标系中，A（1，2），P是x轴上一动点，在直线y=

8、x上是否存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据平行四边形的性质对边相等，即可解决问题（2）存在注意有两种情形点C坐标根据平行四边形的性质即可解决（3）存在如图3中所示，平行四边形AQ1P1O，平行四边形AOQ2P2，平行四边形AQ1OP2点Q的坐标根据平行四边形的性质即可解决【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD是平行四边形，OB=AC，OBAC，A（1，2），B（4，0），AC=4，点C坐标（5，2）故点C坐标为（5，2）（2）存在点C坐标如图2中所示，（3）存在如图3中所

9、示，平行四边形AQ1P1O，平行四边形AOQ2P2，平行四边形AQ1OP2点Q1（2，2），点Q2（2，2）【点评】本题考查四边形综合题、点与坐标的关系等知识，解题的关键是学会正确画出图形，学会分类讨论，不能漏解，属于中考常考题型（2017襄阳）25（11分）如图，平面直角坐标系中，直线l：y=x+分别交x轴，y轴于A，B两点，点C在x轴负半轴上，且ACB=30（1）求A，C两点的坐标（2）若点M从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线CB运动，连接AM，设ABM的面积为S，点M的运动时间为t，求出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，

10、使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）由直线方程易得点A的坐标在直角BOC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出BC的长，利用勾股定理求出OC的长，确定出C的坐标即可；（2）先求出ABC=90，分两种情况考虑：当M在线段BC上；当M在线段BC延长线上；表示出BM，利用三角形面积公式分别表示出S与t的函数关系式即可；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，分两种情况，如图所示，利用菱形的性质求出AQ的长，根据AQ与y轴平行得到Q与A横坐标相同，求出满足题意Q得坐标即可【解答】解：（

11、1）当x=0时，y=；当y=0时，x=1点A坐标为（1，0），点B坐标为（0，），在RtBOC中，OCB=30，OB=，BC=2OC=3点C坐标为（3，0） （2）如图1所示：OA=1，OB=，AB=2，ABO=30，同理：BC=2，OCB=30，OBC=60，ABC=90，分两种情况考虑：若M在线段BC上时，BC=2，CM=t，可得BM=BCCM=2t，此时SABM=BMAB=（2t）2=2t（0t2）；若M在BC延长线上时，BC=2，CM=t，可得BM=CMBC=t2，此时SABM=BMAB=（t2）2=t2（t2）；综上所述，S=；（3）P是y轴上的点，在坐标平面内存在点Q，使以 A、B

12、、P、Q为顶点的四边形是菱形，如2图所示，当P在y轴正半轴上，四边形ABPQ为菱形，可得AQ=AB=2，且Q与A的横坐标相同，此时Q坐标为（1，2），AP=AQ=，Q与A的横坐标相同，此时Q坐标为（1，），当P在y轴负半轴上，四边形ABPQ为菱形，可得AQ=AB=2，且Q与A横坐标相同，此时Q坐标为（1，2），BP垂直平分AQ，此时Q坐标为（1，0），综上，满足题意Q坐标为（1，2）、（1，2）、（1，）、（1，0）【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：含30度直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，菱形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是

13、解本题第二问的关键4.一次函数与矩形:（2017重庆江津）26（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n（m0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y=2x的图象交于点C（3，6）（1）求一次函数y=mx+n的解析式；（2）点P在x轴上，当PB+PC最小时，求出点P的坐标；（3）若点E是直线AC上一点，点F是平面内一点，以O、C、E、F四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出点F的坐标【分析】（1）由A、C坐标，可求得答案；（2）由一次函数解析式可求得B点坐标，可求得B点关于x轴的对称点B的坐标，连接BC与x轴的交点即为所求的P点，由B、C坐标可求得直线BC

14、的解析式，则可求得P点坐标；（3）分两种情形分别讨论即可当OC为边时，四边形OCFE是矩形，此时EOOC，当OC为对角线时，四边形OECF是矩形，此时OEAC；【解答】解：（1）一次函数y=mx+n（m0）的图象经过点A（3，0），点C（3，6），解得，一次函数的解析式为y=x+3（2）如图1中，作点P关于x轴的对称点B，连接CB交x轴于P，此时PB+PC的值最小B（0，3），C（3，6）B（3，0），直线CB的解析式为y=3x3，令y=0，得到x=1，P（1，0）（3）如图，当OC为边时，四边形OCFE是矩形，此时EOOC，直线OC的解析式为y=2x，直线OE的解析式为y=x，由，解得，E（

15、2，1），EO=CF，OECF，F（1，7）当OC为对角线时，四边形OECF是矩形，此时OEAC，直线OE的解析式为y=x，由，解得，E（，），OE=CF，OECF，F（，），综上所述，满足条件的点F的坐标为（1.7）或（，）【点评】本题考查一次函数综合题、轴对称最短问题、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题5.一次函数与正方形如图（1），四边形AOBC是正方形，点C的坐标是（，0），（1）求点A的坐标点和正方形AOBC的面积；（2）将正方形绕点O顺时针旋转45，求旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；（3）如图（2），

16、动点P从点O出发，沿折线OACB方向以1个单位/每秒匀速运动；另一动点Q从点C出发，沿折线CBOA方向以2个单位/每秒匀速运动P、Q两点同时出发，当Q运动到点A 时P、Q同时停止运动设运动时间为t秒，是否存在这样的t值，使OPQ成为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）连接AB，根据OCA为等腰三角形可得AD=OD的长，从而得出点A的坐标，则得出正方形AOBC的面积；（2）根据旋转的性质可得OA的长，从而得出AC，AE，再求出面积即可；（3）存在，从Q点在不同的线段上运动情况，可分为三种：当Q点在BC上时，使OQ=QP，则有OP=2BQ，而OP=t，BQ=42t

17、，列式可得出t；当Q点在OB上时，使OQ=OP，而OP=t，OQ=82t，列式可得出t；当Q点在OA上时，使OQ=PQ，列式可得出t【解答】解：（1）如图1，连接AB，与OC交于点D，由OCA为等腰Rt，得AD=OD=OC=2，故点A的坐标为（2，2），故正方形AOBC的面积为：44=16；（2）如图1，旋转后可得OA=OB=4，则AC=44，而可知CAE=90，OCB=45，故AEC是等腰直角三角形，则AE=AC=44，故S四边形OAEB=SOBCSAEC=1616（3）存在，从Q点在不同的线段上运动情况，可分为三种：如图2，当Q点在BC上时，使OQ=QP，QM为OP的垂直平分线，则有OP=

18、2OM=2BQ，而OP=t，BQ=42t，则t=2（42t），解得：t=如图3，当Q点在OB上时，使OQ=OP，而OP=t，OQ=82t，则t=82t，解得：t=当Q点在OA上时，如图4，使OQ=PQ，t224t+96=0，解得：t=12+4（舍去），t=124【点评】此题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定以及旋转的性质，是中考压轴题，综合性较强，难度较大6.四边形综合（1）（2017武汉新洲）如图，正方形ABCD中，P为AB边上任意一点，AEDP于E，点F在DP的延长线上，且EF=DE，连接AF、BF，BAF的平分线交DF于G，连接GC（1）求证：AEG是等腰直角三角形；（2）求证：AG+

19、CG=DG【分析】（1）根据线段垂直平分线的定义得到AF=AD，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；（2）作CHDP，交DP于H点，证明ADEDCH（AAS），得到CH=DE，DH=AE=EG，证明CG=GH，AG=DH，计算即可【解答】（1）证明：DE=EF，AEDP，AF=AD，AFD=ADF，ADF+DAE=PAE+DAE=90，AFD=PAE，AG平分BAF，FAG=GAPAFD+FAE=90，AFD+PAE+FAP=902GAP+2PAE=90，即GAE=45，AGE为等腰直角三角形；（2）证明：作CHDP，交DP于H点，DHC=90AEDP，AED=90，AED=DHCA

20、DE+CDH=90，CDH+DCH=90，ADE=DCH在ADE和DCH中，ADEDCH（AAS），CH=DE，DH=AE=EGEH+EG=EH+HD，即GH=ED，GH=CHCG=GHAG=EG，AG=DH，CG+AG=GH+HD，CG+AG=（GH+HD），即CG+AG=DG（2）（2017天津）24（8分）如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMBE，垂足为M，AM与BD相交于点F（1）求证：OE=OF；（2）如图（2）若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，结论“OE=OF”还成立吗？如果成立

21、，请给出证明；如果不成立，请说明理由【分析】（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB=OA，又因为AMBE，所以MEA+MAE=90=AFO+MAE，从而求证出RtBOERtAOF，得到OE=OF（2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到OB=OA，再根据已知条件求证出RtBOERtAOF，得到OE=OF【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形BOE=AOF=90，OB=OA又AMBE，MEA+MAE=90=AFO+MAE，MEA=AFO在BOE和AOF中，BOEAOFOE=OF（2）OE=OF成立四边形ABCD是正方形，BOE=AOF=90，OB=OA又AMBE，F+MBF=90

22、，E+OBE=90，又MBF=OBE，F=E在BOE和AOF中，BOEAOFOE=OF【点评】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，将待求线段放到两个三角形中，通过证明三角形全等得到对应边相等是解题的关键7.动点问题：（1）（2017黄石大冶）如图1，正方形ABCD的边长为6cm，点F从点B出发，沿射线AB方向以1cm/秒的速度移动，点E从点D出发，向点A以1cm/秒的速度移动（不到点A）设点E，F同时出发移动t秒（1）在点E，F移动过程中，连接CE，CF，EF，则CEF的形状是 ，始终保持不变；（2）如图2，连接EF，设EF交BD于点M，当t=2时，求AM的长；（3）如图3，点G

23、，H分别在边AB，CD上，且GH=3cm，连接EF，当EF与GH的夹角为45，求t的值【解答】解：（1）等腰直角三角形理由如下：如图1，在正方形ABCD中，DC=BC，D=ABC=90依题意得：DE=BF=t在CDE与CBF中，CDECBF（SAS），CF=CE，DCE=BCF，ECF=BCF+BCE=DCE+BCE=BCD=90，CEF是等腰直角三角形故答案是：等腰直角三角形（2）如图2，过点E作ENAB，交BD于点N，则NEM=BFMEND=ABD=EDN=45，EN=ED=BF在EMN与FMB中，EMNFMB（AAS），EM=FMRtAEF中，AE=4，AF=8，=EF=4，AM=EF=

24、2；（3）如图3，连接CE，CF，EF与GH交于P由（1）得CFE=45，又EPQ=45，GHCF，又AFDC，四边形GFCH是平行四边形，CF=GH=3，在RtCBF中，得BF=3，t=3【点评】本题考查了四边形综合题解题过程中，涉及到了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用解答该类题目时，要巧妙的作出辅助线，构建几何模型，利用特殊的四边形的性质（或者全等三角形的性质）得到相关线段间的数量关系，从而解决问题（2）（2017成都金堂）28（12分）如图，边长为a正方形OABC的边OA、OC在坐标轴上在x轴上线段PQ=a（Q在A的右边），P从A出发，以每秒1个单位的速度

25、向O运动，当点P到达点O时停止运动，运动时间为t连接PB，过P作PB的垂线，过Q作x轴的垂线，两垂线相交于点D连接BD交y轴于点E，连接PD交y轴于点F，连接PE（1）求PBD的度数（2）设POE的周长为l，探索l与t的函数关系式，并写出t的取值范围（3）令a=4，当PBE为等腰三角形时，求EFD的面积【分析】（1）先判断出PBA=DPQ，进而判断出BAPPQD即可得出结论；（2）先判断出BAMBCE，进而判断出BPMBPE，即可得出EP=MP=CE+AP，即可；（3）分三种情况讨论计算即可【解答】解：（1）APB+PBA=APB+DPQ=90PBA=DPQ又BAP=PQD=90，BA=PQ=

26、aBAPPQDBP=PD又BPPDPBD=45（2）如图1，延长PA至M，使得AM=CE在BAM与BCE中BAMBCEMBA=EBCEBC+ABP=45MBP=MBA+ABP=45=EBP在BPM与BPE中，BPMBPEEP=MP=MA+AP=CE+AP又l=EP+PO+EO=（CE+EO）+（AP+PO）=2AOl=2a是定值，（0ta）（3）当EP=EB时，如图2，PBD=45EPEB，E为BD中点，即E与C重合，P与O重合此时，SEFD=8当PB=PE时，PBD=45EPPB （不存在）当BP=BE时，BA=BCBAPBCE，CE=AP=t，PE=2t又OE=OP=4t，PE=（4t），（4t）=2t 解得：t=44BAPPQD，AP=QD，D（44，44），P（48，0），直线PD的解析式为y=（1）x+1216，F（1216，0）EF=2416此时，SEFD=16（57）综上所述：SEFD=8或SEFD=16（7）【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，三角形的面积的计算方法，解（1）的关键是判断出BAPPQD，解（2）的关键是判断出BAMBCE，解（3）的关键是分类讨论的思想的应用，是一道中等难度的中考常考题