非线性信息处理

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1、第2章：课外练习作业1。考察本章所列出的几种典型(一维Logistic Map、二维Henon Map、Lorenz系统、Rossler 系统)非线性动力学系统通向混沌途经.要求：(1) .进行数值求解，考察求解变量非线性时间序列曲线，并绘制出2D及3D解集，总结 吸引子特征；(2) .考察初值敏感性，即改变初值后的解轨线敏感变化情况；(3) 。考察2D往返图，考察混沌系统吸引子形态.解：1、一维 Logistic MapLogistic的方程表达式为：x = rx (1-x )(1) x的变化范围为0，1,参量r通常在0到4取值。取x的初值为0.5,分别取a=2.8,3。14,3.45，3.

2、8绘制时间序列图。10.8 f一 *a=3.8fl I, T0.9.9 08-7006 5 4 . . o o O0.60.40.2204060图1 a取值为2。8，3.14,3。45,3。8时的时间序列从图1中可以看出随着参数a的变化，x值的吸引子由一个变为两个，两个变为四个。不断的变化。图2是利用matlab绘制的Logistic map图。10.90.80.70.6x 0.5 入0.40.30.20.1000.511.522.533.54a图2 logistic混沌模型倍周期分叉图横坐标是参变量a，纵坐标是对应的吸引子.从图2可以看出系统是周期分叉进入混沌系统。当a值大于3。5左右后系统

3、进入混沌状态。在混沌区并非“漆黑一片”，将某些周期窗口局部放大，可见相似的倍周期分岔结构（如图3所示），如此继续，可得无穷嵌套的自相似结构，章法 井然，显然是无序中的有序。10.90.80.70.6x 0.50.40.30.20.103.63.653.73.753.83.853.93.954a图3局部放大的logistic混沌模型倍周期分叉图405060x(0)=0.1 x(0)=0.2 x(0)=0 3a=2.80.80.60.40.2102030 n0 0102030405060n0.80.60.40.2a=3.4510.80.60.40.20x(0)=0.2 x(0)=0 2000110

4、.80.60.40.2a=3.80102030n04050600102030405060n图4 a取值不同时对初值的敏感性如图4所示，a=2.8，3。14时，系统没有进入混沌状态，改变初值，x值收敛到定值，初 值的变化对系统最终的状态没有影响。a=3.8时系统进入混沌状态，初值的微小变化都会引起最 终结果的巨大变化。a的取值是系统混沌时，整个系统对初值的变化很敏感。(3)(2) 分别取a=2。8,3。14,3。45,3。8讨论初值敏感性.0.70.651+n0.60.55 0.50.550.60.650.70.90.80.70.6x(n)0.50.50.60.70.80.9x(n). *a-3

5、.45,0.50.90.80.71 + n 0.60.40.40.50.60.70.80.90.60.40.210.8000.20.40.60.81图 5 logisticmap 2D往返图由图5易知，混沌系统不是完全随机的，它是一种确定性的随机信号，具有某些特有的性质，其往返图具有特定的形状。2、二维 Henon Mapx = y - ax2 +1 y = bxn+1n（1）取b=0。3，分别取a=1，a=1。32，初始值为x=0.1，y=0.2，时间序列曲线如下na=1.32,b=0.3210-1-2050100nn0.40.20-0.2-0.4050100图6 henon map时间序列

6、图a=1时，系统处于周期状态；a=1.32时，系统进入混沌状态。x(n)x(n)图 7 henon map 2D 解集0.4(2)0-0.4-1.5七 x=0.1,y=0.2x=0.1001,y=0.20.30.20.1-0.1-0.2-0.3-1-0.500.51x(n)1.5图8 henon map初值敏感性取 a=1.32, b=0。3时，系统处于混沌状态，对于很接近的两点来说，系统轨迹也会快速分离.（3）图9 henon map往返图Henon map往返图同样具有确定性.dx dt = 6 (y - x)3、lorenz model dydt =rx 一 y 一 xzdz dt =

7、-bz + xy（1）取参数6 =10,b=8/3，初值点取为（10 1010）.当r=28时，系统处于混沌状态，解集如图6所示。60x-y-z50z-40-2002040yy-z40z2000-2020 -40 -2? 040图6不同角度lorenz系统20100-20-15-1005101520-10-20（2）图7 lorenz model x初始值不同时的变化图7表明，分别取x0=1和1。00001，可以看出系统处于混沌状态时，初始值微小的变化对 系统的演化产生巨大的影响。(3) Lorenz系统2D往返图同样具有规律性，但是不同系统的混沌状态不相同，其往返图形状不同。童往返图卫分量往

8、返图图8 lorenz系统2D往返图4、 rossler model方程:x = -(y + z)y = x + ay z = b + xz 一 cz（1）a=0.1，b=0。1时，c取不同值时，系统的时间序列图，2D解集和3D解集如图5x -54455c=2.5c=3.51 -1 14455n c=4.5-1 14455n15x -5-14455n图 9 rossler 系统x时间序列图xxrossler系统xy的2D解集图10zc=4.520-r -10-10y -10 -10 x图11rossler系统x-y的3D解集（2）a=0.1,b=0o 1，c=18时，x取不同初始值时，系统处于

9、混沌状态，对初值很敏感，12所示，一个变量初始值得微小变化都可以带来系统状态的很大变化。图12 rossler系统初值敏感性（3）其2D往返图如图13所示的）图13 rossler系统x分量的2D往返图Rossler系统2D往返图同样具有规律性，但是不同系统的混沌状态不相同，其往返图形状不同，y、2分量的2D往返图类似.(完整版)非线性信息处理8、13、18,要求：2。对 Rossler 系统，取 a=0.1, b=0o 1 及 c=4、6、8.5、8。7、9、12。(1)。观察解轨线从周期变化到混沌、混沌变化到周期过程；(2) 。观察变量x与c的分岔变化规律。解：(1)nn5、200：10y

10、 -10 -20 xnc=9x150200250300n2010-200：20-20 -20 xnnny -50 -50 x图14 rossler系统状态变化（2）分岔图如图15所示图15 rossler系统分岔图3。Duffing方程无+ 0.3比-x + x 3 = F cos1.2t，计算给出F取不同值（依次为0。20、0.27、0。28、0。2867、0.32、0。365、0。40、0。645、0.85）时的 x t 曲线及（x,X ）相平面上轨线。解：F值不同时，系统时间序列曲线以及像平面轨线如图16所示，可以看出，系统经历了由周 期到混沌，混沌到周期的过程.f=0.21.510.5

11、0406080100f=0.271.510.50320340360380400tf=0.28txf=0.28671.510.50 320340360380400tdf=0.32210-1-2300350400tdf=0.365210-1-2t320340360380400f=0.4t210-1-2f=0.645300350400xf=0.85210-1-2320340360380400td图16系统F值不同时，时间序列及相平面曲线第3章：课外练习作业1。 已知分形函数如下：w（t）!上竺（竺I b（2 - D） nn =-s 式中，。为分形维数，b 为常数.取 b=2 及 D=1.1,1。2，

12、1。3，1.4，1.5，1。6，1.7，1。8 和 1。9,分别产生不同维数时的分形时间序列。要求：（1）。根据如上产生的分形时间序列，由R/S分析法计算不同维数时的Hurst标度估计值，并与所设定的分形维数进行相关比较，评价日/，分析法提取标度的效果；（2）.在如上式分形时间序列基础上叠加噪声，即产生如下所示的含有噪声的分形时间序列：L = x （t） +门咬，式中a为原始时间序列标准差，为高斯随机变量（满足均值为0及方差为 i iii1的独立分布），门为噪声强度，可分别取门=1, 3, 5,7。在上述条件下，重新考察日/，分析法计算 的不同维数的Hurst标度估计值，并讨论之。解：（1）D

13、分别取1.1，1.2，1.3，1.4,1.5，1。6，1.7，1。8和1。9时，分形时间序列如图17所示，由R/S算法计算的Hurst标度估计值和真值情况如表1所示D=1.15t10w000.51t D=1.6tw50D=1.800.51t1510w50t D=1.900.51图17分形时间序列表1 R/S算法估计Hurst标度值D图18无噪声时，分形维数和Hurst标度估计值间关系D1。11。21。31.41。51.61。71.81.9H真0.90.80。70。60.50。40。30。20.1H估计0 。82250.76530 。69560.61940 。54250.46800.39430.

14、32420 。2598R/S算法可以较好的得到Hurst标度的估计值，误差较小。(2)噪声强度为1时，不同分形维数下时间序列如图19所示4000200005000100010005000500100050001000100005000图19噪声强度为1时，不同分形维数下时间序列图表2噪声强度为1时，R/S算法估计hurst值D1.11.21。31。41.51。61。71。81。9H真0.90。80.70。60。50。40。30.20.1H估计0.83760 。83090.82730.82690.81070 。81750 。80890.79370.7713表3噪声强度为3时，R/S算法估计hur

15、st值D1。11.21.31.41。51。61.71。81.9H真0。90.80。70.60.50。40.30。20。1H估计0.69560 。68570 。73210 。72810.69130.71530.69520 。71220 。6602表4噪声强度为5时，R/S算法估计hurst值D1。11。21。31。41.51.61.71。81.9H真0。90.80。70.60.50。40.30.20.10.90.85H估计0 。61770.64320 。64080.69320.67180.64970.68440.60280.6119表5噪声强度为7时,R/S算法估计hurst值D1.11.21。

16、31.41。51。61.71。81.9H真0.90.80。70。60.50。40.30.20。1H估计0 。59600.65170.58520 。63470.62500.60740 。60420 。62340 。5834噪声强度为1, 3, 5, 7时,R/S算法估计不同分形维数下的Hurst值如表25所示，图20为在 不同噪声强度时,R/S算法标度与维数对应关系噪声强度为1 噪声强度为3 一噪声强度为7 4一噪声强度为50.80.750.7，一0.651.11.21.31.41.51.61.71.81.9图20不同噪声下，分形维数和Hurst标度估计值间关系有噪声时，用R/S算法计算的分形维

17、数与实际维数相差较大；信号被噪声淹没，所得的维数 已严重失真.实际上，R/S算法对周期和高斯噪声仅有有限的抗噪能力，对随机和脉冲噪声不具有抗噪性。第4章：课外练习作业1.考察如下时间序列的递归图结构：x - ax (1-x ) + 0.01n77+1nn(1) a = 4, n = 200, x = 0.8087om = l,T = l,a =0.2x -y -ax2 +177+1 n ny =bxZn 77+1 n9 q = 1.4,g0.3x =0, y =Q,n = 250V 00x = A sin(2兀 ft x = Asawtooth(2n ft)(3) 人=1, f =5, f =

18、 0,0.8(正弦)，t = 0,l(三角波)m = 4, t = 3, oc = 0.25, n = 800点v os = logistic series ( = 4, x =0.808,乃二100点)ios = sin(37it) (n = 200点)(4) ) 2 s = s +s12m = 4,t = 3,a = 0.25解：(1)时间序列图如图21,递归图如图2232.521.510.50020406080100120140160180200n图21时间序列图200180160140120100806040200204060801001201401601802000050100 15

19、0 200 2500.40.20-0.2-0.4050100 150 200 250图21递归图(2)时间序列图如图22, x递归图如图23, y递归图如图241.510.50-0.5-1-1.5图22时间序列图505050O O502O 2502O 2025250150 J.150001(3)正弦的时间序列如图25所示，,t:，.xd002图24 y递归图 递归图如图26所示10.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-10100200300400500600700800图25时间序列图800700600500400300200100001002003004005006007

20、00800图26正弦递归图三角波的时间序列如图27所示，递归图如图28所示n图27三角波时间序列图800700600500j 40030020010000100200300400500600700800i图28三角波递归图(4)2515 0 5- - o O-1201O20图29 s的时间序列图图30 s的递归图2.Lorenz混沌方程如下:dx了 = a (y - x)dt当=x (b - z) - y dtdz=xy 一 cz dt式中各参数值分别为：a = 16, b = 45.92, c = 4 ,计算时间步长At =0 o 01(s),初值为(x , y , z ) = (10,1,

21、0).在以上的参数和初始值条件下，采用标准四阶龙格-库塔方法对x生成了长 000度分别为:1000、2000、5000、6000、9000、10000的非线性时间序列。延迟时间表示为T =kAt, 其中k为延迟参数，以延迟参数k代表对延迟时间的考察。要求：(1).根据本章讲授的延迟时间算法(线性相关法、互信息法、C-C算法)，试考察各 种算法计算的函数值随延迟参数k变化曲线，并讨论延迟时间算法性能.(2)o为了考察各种延迟时间算法抗噪能力，在原始Lorenz时间序列中加入高斯噪声，即： L = x +门吹(14)式中L为叠加噪声后的时间序列，x为无噪声时由Lorenz方程产生的x变量时间序列，

22、q是序 列标准偏差，e是高斯随机变量(满足均值为0,方差为1的独立平均分布)，门表示为噪声强度。 在各种噪声强度下，试考察各种算法计算的函数值随延迟参数k变化曲线，并讨论延迟时间算法 抗噪性能。解：(1)图31所示为不同长度下的lorenz系统时间序列长度为1000的序列403020100-10-20-30 012345678910t长度为2000的序列长度为5000的序列403020100-10-20-30 0长度为6000的序列1020405030t60403020100-10-20-30 02468101214161820t403020100-10-20-30 0510152025303

23、5404550t0102030405060708090t产生长度为9000的序列403020100-10-20-30403020100-10产生长度为10000的序列线性相关法，如图32序列长度为1000时k-20-3001020304050607080t90100图31不同长度时间序列序列长度为2000时当序列长度为6000时k10.950.90.850.80.750.70.650.60.550.5时当序列长度为9000051015k6040200-20-40-60图32不同长度序列的线性相关法(2)加入噪声后，不同噪声强度下时间序列如图33所示产生长度为1000的序列，噪声强度为1 |I

24、c r I r012345678910t806040200-20-40-60序列长度为1000,噪声强度为2时-80 012345678910序列长度为1000,噪声强度为5时250200150100500-50-100-150-200 012345678910t序列长度为5000,噪声强度为1时6040200-20-40-60 05101520253035404550t150100500-50-100 05101520253035404550序列长度为5000,噪声强度为2时序列长度为5000,噪声强度为5时t25020015010050X 0-50-100-150-200-25005101520253035404550t图33不同噪声强度不同长度的时间序列线性相关法，如图34所示0.50.40.30.20.10-0.105101520kk序列长度为1000.噪声强度为5时kk图34加入噪声后，线性相关法