高中数学第三章函数的应用第2节函数模型及其应用（3）教案新人教A版必修1

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1、高中数学第三章函数的应用第2节函数模型及其应用（3）教案新人教A版必修1第二节函数模型及其应用第三课时教学目标知识与技能：(1)通过实例“汽车的行驶规律”，理解一次函数、分段函数的应用，提高学生的读图能力(2)通过“马尔萨斯的人口增长模型”，使学生学会指数型函数的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用过程与方法：在实际问题的解决中，发展学生科学地提出问题、分析问题的能力，体会数学与物理、人类社会的关系情感、态度与价值观：通过学习，体会数学在社会生活中的应用价值，培养学生的兴趣和探究素养重点、难点教学重点：分段函数和指数型函数的应用教学难点：函数模型的体验与建立导入新课思路1.(情境导入)在课

2、本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们几乎占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛、羊是澳大利亚的主要牲口这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气与之相应，图中话道出了其中的意蕴：对于一个种群的数量，如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)

3、下，那么它将呈指数增长；但在有限制的环境中，种群数量一般符合对数增长模型上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们将进一步讨论不同函数模型的应用思路2.(直接导入)上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们将进一步讨论不同函数模型的应用推进新课我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(1

4、5x40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15x40)，试求f(x)和g(x)A、B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处的D地建一核电站，给A、B两城供电，为保证城市安全核电站距城市的距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域分析以上实例属于那种函数模型讨论结果：f(x)5x(15x40)；g(x)y5x2(100x)2(10x90)分别属于一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型例1一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如

5、图所示(1)求图1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象图1活动：学生先思考讨论，再回答教师可根据实际情况，提示引导图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不同，汽车里程表读数s(km)与时间t(h)的函数为分段函数解：(1)阴影部分的面积为501801901751651360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.(2)根据图1，有s这个函数的图象如图2所示图2变式训练 电信局为了满足客户

6、不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如图3所示(其中MNCD)(1)分别求出方案A、B应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)； (2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A、B两种优惠方案的？并说明理由图3解：(1)两种优惠方案所对应的函数解析式：f(x)g(x)(2)当f(x)g(x)时，x1050，x200.当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可；当客户通话时间为0x200分钟，g(x)f(x)，故选择方案A；当客户通话时间为x200分钟时，g(x)f(x)，故选方案B.点评：在解决实际问题过程中，函

7、数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力另外，本题用到了分段函数，分段函数是刻画实际问题的重要模型.2人口问题是当今世界各国普遍关注的问题认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus，17661834)就提出了自然状态下的人口增长模型：yy0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t0时的人口数，r表示人口的年平均增长率下表是19501959年我国的人口数据资料：年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人55 19656 30057 48258 79660

8、26661 45662 82864 56365 99467 207(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；(2)如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？解：(1)设19511959年的人口增长率分别为r1，r2，r3，r9.由55 196(1r1)56 300，可得1951年的人口增长率为r10.020 0.同理可得，r20.021 0，r30.022 9，r40.025 0，r50.019 7，r60.022 3，r70.027 6，

9、r80.022 2，r90.018 4.于是，19511959年期间，我国人口的年平均增长率为r(r1r2r9)90.022 1.令y055 196，则我国在19501959年期间的人口增长模型为y55 196e0.022 1t，tN.根据表中的数据作出散点图，并作出函数y55 196e0.022 1t(tN)的图象(图4)图4由图可以看出，所得模型与19501959年的实际人口数据基本吻合(2)将y130 000代入y55 196e0.022 1t，由计算器可得t38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿由此可以看到，如果不

10、实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.变式训练一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减(1)求t年后，这种放射性元素质量的表达式； (2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期)(精确到0.1.已知lg20.301 0，lg30.477 1)解：(1)最初的质量为500 g.经过1年后，500(110%)5000.91；经过2年后，5000.9(110%)5000.92；由此推知，t年后，5000.9t.(2)解方程5000.9t250，则0.9t0.5，所以t6.6(年)，即这种放射性元素的半衰期约为

11、6.6年.某电器公司生产A型电脑.1993年这种电脑平均每台的生产成本为5 000元，并以纯利润20%确定出厂价从1994年开始，公司通过更新设备和加强管理，使生产成本逐年降低到1997年，尽管A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%，但却实现了50%纯利润的高效益(1)求1997年每台A型电脑的生产成本；(2)以1993年的生产成本为基数，求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数(精确到0.01，以下数据可供参考：2.236，2.449)活动：学生先思考讨论，再回答教师根据实际情况，提示引导出厂价单位商品的成本单位商品的利润解：(1)设1997年每台电脑的生产成本为x元，依题意

12、，得x(150%)5 000(120%)80%，解得x3 200(元)(2)设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y，则依题意，得5 000(1y)43 200，解得y11，y21(舍去)所以y10.1111%，即1997年每台电脑的生产成本为3 200元，1993年至1997年生产成本平均每年降低约为11%.点评：函数与方程的应用是本章的重点，请同学们体会它们的关联性某家电企业根据市场调查分析，决定调整产品的生产方案：准备每周(按120个工时计算)生产空调、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称空调彩电冰箱每台所

13、需工时每台产值(千元)432问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台，才能使周产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)解：设每周生产空调、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，每周产值为f千元，则f4x3y2z，其中由可得y3603x，z2x，代入得则有30x120.故f4x3(3603x)22x1 080x，当x30时，fmax1 080301 050.此时y3603x270，z2x60.答：每周应生产空调30台，彩电270台，冰箱60台，才能使每周产值最高，最高产值为1 050千元点评：函数、方程、不等式有着密切的关系，它们相互转化组成一个有机的整体请同学们借助上面的实例细心体会本节重点学习了函数模型的实例应用，包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等；另外还应关注函数、方程、不等式之间的相互关系活动：学生先思考讨论，再回答教师提示、点拨，及时评价引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结课本习题3.2A组5、6.本节设计从有趣的故事开始，让学生从故事中体会函数模型的选择，然后通过几个实例介绍常用函数模型接着通过最新题型，训练学生由图表转化为函数解析式的能力，从而解决实际问题本节的每个例题的素材贴近现代生活，都是学生非常感兴趣的问题，很容易引起学生的共鸣13