高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用学案新人教B版选修1-1

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1、高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用学案新人教B版选修1-13.3.3导数的实际应用1会利用导数解决实际问题中的最优化问题2体会导数在解决实际问题中的作用1最优化问题在经济生活中，人们经常遇到最优化问题例如，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的_或_，这些都是最优化问题导数是解决这类问题的方法之一【做一做1】下列问题不是最优化问题的是()A利润最大 B用料最省C求导数 D用力最省2求实际问题的最大(小)值的步骤(1)建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)，注明定义域(2)求函数的导数f(

2、x)，解方程_，确定极值点(3)比较函数在_和_处的函数值的大小，最大(小)者为实际问题的最大(小)值实际问题中的变量是有范围的，即应考虑实际问题的意义，注明定义域【做一做2】求实际问题的最值与求函数在闭区间上的最值的主要区别是_利用导数解决实际问题时应注意什么？剖析：(1)写出变量之间的函数关系yf(x)后一定要写出定义域(2)求实际问题的最值，一定要从问题的实际意义去分析，不符合实际意义的极值点应舍去(3)在实际问题中，一般地，f(x)0在x的取值范围内仅有一个解，即函数yf(x)只有一个极值点，则该点处的值就是问题中所指的最值题型 实际问题中最值的求法【例1】某商场从生产厂家以每件20元

3、的进价购进一批商品，若该商品的售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8 300170pp2.问该商品零售价定为多少时利润最大，最大利润是多少？分析：建立销售利润关于零售价的函数，应用导数研究最值反思：根据课程标准的规定，有关函数最值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在一个区间内只有一个点使f(x)0，且该函数在这点取得极大(小)值，那么不与区间端点的函数值比较，就可以知道这就是实际问题的最大(小)值【例2】将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问怎样截能使正方形与圆的面积之和最小？分析：设其中一段长为

4、x cm，则另一段长为(100x) cm，然后用x表示出正方形与圆的面积之和S，求出方程S0的根，该根即为所求反思：在求最值时，往往需要建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的1要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高应为()Acm B100 cmC20 cm Dcm2某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)则总利润最大时，每年生产的产品数量是()A100单位 B150单位C200单位 D300单位3把长40 cm的铁丝围成矩

5、形，当长为_ cm，宽为_ cm时，矩形面积最大4将长为52 cm的铁丝剪成2段，各围成一个长与宽之比为21及32的矩形，那么面积之和的最小值为_5某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品则损失100元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p(xN*)(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数_；(2)为获得最大盈利，该厂的日产量应定为_答案：基础知识梳理1最佳方案最佳策略【做一做1】C2(2)f(x)0(3)区间端点极值点【做一做2】求实际问题的最值需先建立数学模型，写出变量之间的函数关系yf(x)，并写出定义域典型例

6、题领悟【例1】解：设利润为L(p)，由题意可得L(p)(p20)Q(p20)(8 300170pp2)p3150p211 700p166 000(p0)，L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，得p30或p130(舍去)则L(30)23 000.0p30时，L(p)0；p30时，L(p)0，p30时，L(p)取得极大值根据实际问题的意义知，L(30)就是最大值，即零售价定为每件30元时，利润最大，最大利润为23 000元【例2】解：设弯成圆的一段铁丝长为x cm，则另一段长为(100x) cm，记正方形与圆的面积之和为S cm2，则正方形的边长a，圆的半径r.S22x625(0x10

7、0)又S.令S0，则x.当0x时，S0；当x100时，S0.所以当x时，S取得极小值，也为最小值故当弯成圆的铁丝长度为 cm时，正方形和圆的面积之和最小随堂练习巩固1A设圆锥的高为h cm，则V(h)(400h2)h，h(0,20)令V(h)(4003h2)0，得h.2D当x400时，利润f(x)80 00020 000100x，当x400时，f(x)20 000.当0x400时，f(x)R(x)20 000100xx2300x20 000(x300)225 000.当x300单位时，利润为最大31010478 cm2设剪成的2段中其中一段为x cm，则另一段为(52x) cm，围成两个矩形的面积和为S cm2.依题意知，Sx2(52x)2，Sx(52x)，令S0，解得x27.则另一段为522725(cm)此时Smin78 cm2.5(1)T(2)16件(1)由题意知，每日生产的次品数为px件，正品数为(1p)x件，T200(1p)x100px200x300px200x.(2)T.令T0，得x16或x32(舍去)当0x16时，T0；当x16时，T0.当x16时，T取得最大值，即当日产量定为16件时，获得最大盈利10