高中数学第三章推理与证明3.3综合法与分析法“直接证明与间接证明”知能阐释素材北师大版选修1-2
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1、高中数学第三章推理与证明3.3综合法与分析法“直接证明与间接证明”知能阐释素材北师大版选修1-2“直接证明与间接证明”知能阐释一、要点透析1综合法一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。用表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:应用综合法时,应从命题的前提出发,在选定了真实性是无可争辩的出发点以后(它基于题设或已知的真命题),再依次由它得出一系列的命题(或判断),其中每一个都是真实的(但它们并不一定都是所需求的)且最后一个必须包含我们要证明的命题的结论时,命题得证。
2、并非一上来就能找到通达命题结论的思路,只是在证明的过程中对每步结论进行分析、推敲、比较、选择后才能得到。当然,在较多地积累一些经验,掌握一些证法之后,可较为顺利地得到证明的思路。 2分析法一般地,从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法。 用表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为:得到一个明显成立的条件应用分析法时,并非一开始就确信由结论出发所产生的那些判断(或命题)都正确,各个推理步骤及依次考虑的概念、定理、法则等都合适。这种推理方法仅仅是建立与需要证明的命题的等效关系,
3、因而需要从这些关系中逐个考查,逐个思索,逐个分析,逐个判断,在得到了所需的确定结论时(它们是已证的命题或已知的条件),才知道前面各步推理的适当与否,从而找出证明的路子。当证题不知从何入手时,有时可运用分析法而获得解决,特别是对于条件简单而结论复杂的题目,往往更是行之有效。3综合法和分析法的区别与联系分析法的特点是:从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”。其逐步推理,实际上是要寻找它的充分条件;综合法的特点是从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是要寻找它的必要条件。分析法与综合法各有其特点,有些具体的特征命题,用分析法和综合法都可以证明出来,人们往往选择比较简单的一种。4反
4、证法一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。反证法的证明过程可以概括为“否定推理否定”,即从否定结论开始,经过正确的推理,导致逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程。用反证法证明命题“若则”的过程,可用下图所示的框图表示。肯定条件否定结论导致逻辑矛盾“既又”为假“若则”为真应用反证法证明数学命题,一般有下面几个步骤:第一步:分清命题“”的条件和结论;第二步:作出与命题结论相矛盾的假定;第三步:由和出发,应用正确的推理方法,推出矛盾结果;第四步:判断产生矛盾结果的原因在于开始所作的假定不真,于是原结论成立
5、,从而间接地证明了命题为真。第三步所说的矛盾结果,通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾,与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况。二、范例点悟例1 已知、,求证:。分析:不等式中的、为对称的,所以从基本的不等式定理入手,先考虑两个正数的平均数定理,再据不等式性质推导出证明的结论。证明:,、,。同理:,将三式相加得。评注:在运用综合法证明不等式时,常利用不等式的基本性质,如同向不等式相加,同向不等式相乘等,但在运用这些性质时,一定要注意这些性质成立的前提条件。例2 当一个圆与一个正方形的周长相等时,这个圆的面积比正方形的面积大。分析:应用分析法证题时,语气总是假定的,通常用
6、“欲证只需证”的语句,在证明过程中一个终结代替另一个终结时,必须注意它们间的等价性。证明:设圆和正方形的周长为,依题意,圆的面积为,正方形的面积为,因此本题只需证明。为了证明成立,只需证明,两边同乘以正数得,因此,只需证明。因为上式是成立的,所以。这就证明了,如果一个圆和一个正方形的周长相等,那么这个圆的面积比这个正方形的面积大。评注:在分析法证明中,从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件,最后一步归结到已被证明了的事实。因此,从最后一步可以倒推回去,直到结论,但这个倒推过程可以省略。例3 已知三个关于的方程,中,至少有一个方程有实根,求实数的取值范围。分析:含有至多、至少字样的问题,往往用反证法去解决。解析:三个方程都没有实根的充要条件是 即解得。使三个方程至少有一个方程有实根的实数的取值范围为。评注:反证法的逻辑根据为:要证明命题“若则为真”,该证“若则为假”,因此,反证法的核心是从出发导出矛盾。8
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