积分公式表常用积分公式表正式版

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1、积分公式表，常用积分公式表正式版积分公式表1、基本积分公式:|仙._!严七 u /& = 卅4匚( 0, a 1)(5)(6)p&O2汕$密4匚(8)J 匚 os xdx sin 疋十 c(8)f ,必 必-aicsm 疋 +?(10)-arccos x + c(ii)J17P2、积分定理:(1)(2)xf t dt f xab xf t dt f b x b xa xfax(3)若F (x)是彳(x)的一个原函数，则a xbf(x)dxaF(x)b F(b)F(a)3、积分方法1 f x - ax b ；设： ax b tf xx2 a2 ;设：x asectf xa2 x2 ；设：x at

2、a nt分部积分法：udv uv vdu附：理解与记忆对这些公式应正确熟记可根据它们的特点分类来记 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.公式（2）、（ 3）为幕函数一的积分，应分为空円-一与-.积分后的函数仍是幕函数，而且幕次升高一次特别当时，有+公式（4）、（ 5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为3）TS，故-:）式右边的是在分母，不在分子，应记清当；八时，有是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变应注意区分幕函数与指数函数的形式，幕函数是底为变量，幕为常数;指数函数是底为常数，幕为变量要加以区别，不要混淆它们的不定积分所采用 的公式不同公式（6）、（ 7）、（ 8）、（ 9

3、）为关于三角函数的积分，通过后面的 学习还会增加其他三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分=arcsui A 十匚=-arccos 十匚公式（11）是一个关于有理函数的积分F面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分例1求不定积分F .分析：该不定积分应利用幕函数的积分公式解:（为任意常数例2求不定积分分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分 公式求积分的形式.=x _ 1 十解：由于：0,al)JIn a(8)(9)(10)J冷 dx = arc an x +e-arccos耳亠匚(11)血1TP对这些公式应正确熟记可根据它

4、们的特点分类来记公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.公式（2）、（ 3）为幕函数一 的积分，应分为r亠_ 与积分后的函数仍是幕函数，而且幕次升高一次 特别当时，有f J; 当二-时, 公式（4）、（ 5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故:-（，：I，-）式右边的是在分母，不在分子，应记清当时，有宀尸=曰 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变应注意区分幕函数与指数函数的形式，幕函数是底为变量，幕为常数； 指数函数是底为常数，幕为变量要加以区别，不要混淆它们的不定积分所采用 的公式不同公式（6）、（ 7）、（ 8）、（ 9）为关于三角函数的积分，通过后面的 学习还会增加其他

5、三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分= arcsin x +/? = -arccog 7+ c公式（11）是一个关于有理函数的积分dx .13T 7 ax = arcigx + c = -arccLgx 十 c1十兀 J1十工_下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积 分公式求不定积分.例i求不定积分r上分析：该不定积分应利用幕函数的积分公式解:(2 -五)站=|(2丄左仕1 +12（为任意常数）例2求不定积分分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分 公式求积分的形式.广八t打解：由于-11，所以片11乔尹叮X T十口妙=卩也-仲叮耐必

6、（为任意常例3求不定积分f(aJ-xdx空2分析：将按三次方公式展开，再利用幕函数求积公式224 22 4解.-存尸必=- %4亍十3a宁/伽=a1 dx - 3us十 卩幺-（为任意常数）例4求不定积分分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次解:1 + cos 兀2dx11 .三一工十一 WlilH十f（为任意常22例5求不定积分.分析：基本积分公式表中只有F宀但我们知道有三角恒等式：n解:sec3 x - l)rfx（为任意常数）同理我们有:池除血寸必=（为任意常数）（为任意常数）卷终公式表注解四基本不定积分表序言：微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争

7、论，但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上， 莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。 如今随微积分之发展， 公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种不定积 分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中 引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。本表收录公式16组，151式。公式一 基本初等函数的不定积分 18式：幕函数(1

8、).xdx11X 1 C， 1；In |x| C, 1.指数函数X1x(2) . a dx a CIn a(3) . exdx ex C对数函数三角函数(4) . Ioga xdx xloga x xloga e C(5) . In xdx xlnx x C(6). sin xdx cosx C(7). cosxdx sinx C(8) . tanxdx In |cosx|(9) . cotxdx ln |sinx|(10) . secxdx In | secx(11) . cscxdx In | cscx11 si nxtanx | ClnC21 si nxxcotx | C ln |tan

9、| C2反三角函数(12) . arcsin xdx xarcsinx . 1 x2 C(13) . arccosdx xarccosx 1 x2 C1(14). arctanxdx xarctanx -ln(11 (15). arccot xdxxarccot x -ln(1x2)x2)(16). arcsecxdx xarcsecx ln(x x 1) C(17). arccscxdx xarccscx ln(x Jx21) C常数函数(18). Rdx Rx C上述公式均为基本初等函数之不定积分，其中部分公式均可以由分部积分公式给出， 特别的，对于正切函数，余切函数，正割函数与余割函数的

10、不定积分，使用了诸多三角变换完成。公式二 含ax b的积分(要指出非零)10式：a 2(19) . (ax b)dx - x bx C21 1(20) . (ax b) dx(ax b) C, 1a( 1)1 1(21) . dx In | ax b| Cax b a对于其中的第二式，是利用换元积分完成的。1 (ax ba1 13 (axa3 2x(22) . dxax b2x(23) . dxax b对于第者,显的： dxax bbln | ax b|) C2 2b) 2b(ax b) b In | ax b | C可以利用凑的方式，我们考虑分式xax b，则得其积分是ax b11 bxd

11、(ax)a a ax b的方式，可借由带余多项式除法算得:a2xax bbIn | ax b | aaC12 (ax b) 2ab a而第二式依然采取类似b2 ，然后利用ax b ax b第一个积分式即可得到结论。1(24) . dxx(ax b)1(25) .2dxx2(ax b)ax b1 In axbC1：lnbx b2ax b对于分母是二次多项式或者更高者，常常分成多个低次多项式之和，这两个积分便是1 1x x b/a沿用了此结论所得到的。我们注意第一式中有积分即得。对于第二式依然可用分离拆项的方式:1x( ax b)1 (ax1 1b/ a)1bx2a x(x b) axb x2(a

12、x b)，然后积b x( ax b)分即可，而一般对于拆项，常用待定系数的方法完成。x2 dx (ax b)2xdx(ax b)212dxx(ax b)1-2 ln | ax a1 -3 ax ab(ax b)2bln|ax b|ax b c ax b公式三含.ab的积分9式3(29) .、ax bdx 一 (ax b) C: 2 :(30) . x ax bdx 2 (3ax 2b) (ax b)3 C(31) . x2Jax bdx (15a2x 12abx 8b2)J(ax b)3 C105a第一式的证明用凑微分的方式即可完成。而有了第一式的结论，第二式可用分部积分 完成计算。我们有：x

13、 ax bdxx ax bdxJax x dx 2 J(axbp J(ax dx 3a习3a *其中，对上式右侧的23aax b)3dx再次使用凑微分的方法，即可得解:2 (ax b)3dx3a具(ax b)3d(ax b) 笃(ax 3a15ar 422 (ax b)2(ax b) 3a15a同理利用分部积分可以将第三式拆开，并以第二式证明之。5b)222 3ax 2b (ax b)3 C 15ax(32). dx2x(33). dx 寸ax b22 (ax 2b) ax b C3a22(3a2x2 4abx 8b2)b C15adx.ax b 组公式可以考虑用此公式，并使用分部积分即可证明

14、一式： dx 2x .ax b -aa利用凑微分的方式，我们显然有不定积分d(ax b)2、戸 C，本.ax baax b2x43a2(ax b) 、ax bj2 x、ax bdx, ax ba2iC 2 (ax 2b) .fax b C 3a3：2、(axC二式同理使用分部积分，并利用一式的结论即可证明。(34).dx1牯IT；C,b 02丄 ax b一 arctan ：. C,b 0该公式是重要的不定积分之一，它可以解决一类带有.ax b的不定积分等式。但是该积分是不好计算的，首先分部积分就不容易得出结果，而另一方面我们也无法进行一个显然的凑微分，因此对于这一类带有根号式的积分，往往是先强

15、行换掉根号，再作观察。因此令2-ax b t x - b, dx dt，于是 巴2:dt 2 -y1 dt，显然看aaWax b (t b)t a t b到的是这个不定积分的结果需要讨论的正负来决定之后使用的不定积分公式：如果是负的，那么显然会使用反三角，如果是正的，则可能使用三角换元：1b 0: -5dtt b1丄 1 d (sin arcsin(t /Tb).b sinarcsin(t/ . b)11.b cosarcsin(t / . b)secxdx In|secx tanx| C-d(arcsin(t/ .b)1 sin arcs in (t M/b)C 1 InJ1 (t/耐C1

16、Int TbJ sin2 arcs in (t/血)1 (t/舟)2北t %/bIn secarcs in (t/b) tanarcsin (t/向 CCax b 、bt带入上式得原积分A1然后将 ax1(ax b Vb .b ax b , bC,b 0。另外对于负的，有:111113式a2的积分公式四含有x2(38).(39).(40).dx 2 x adxn(x a )dx2x a1xarcta n C |a|a|x222、n 12(n 1)a (x a )1 一ln 2a2n 3dx222、n 12(n 1)a (x a )一式用凑微分的方式以及微分公式d(arctan x)乙容易得出。

17、第二式是利用分部积1 x然后带通常是将之拆分为两个容易计算的分式，则分公式给出的递推式的形式：通过这个递推关系逐步下降分母的幕直到一式的情形，入一式即可得解。三式是有理分式的不定积分，不难得出结果：dx 1111In | x a | ln | x a | C 2a公式五 含有ax2 b(a 0)的积分7式3除开显然的(ax2 b)dx 竺 bx C不列为公式表所用之公式外,3关，不过在下面公式的推理中，我们可以肯定的是推理可能是不唯一的，其余均与ax2 b有因此某些推理也是(41).12dxax2 b0C,b可能涉及了该公式的。是一个需要分类讨论的积分。显然的可以发现这个被积函数的形式与反正切

18、是有关的，不过反正切的分母是加法运算，因此如果这里是负的，那么就不能适用反正切，这导致了积分需要分类讨论之。arcta narcsin . *x.；bA12dxax b1dx ax bx C,b 0d sin arcs insin arcsi n =1sin arcsinJ11 sin xVC, secxdx -In1 si n arcsi nJ-bX21 sin xC0(axJ ab/axC,b 012cosarcs in该公式的证明中再一次的遇到了形式的不定积分，虽然这里我采用的是换元为三角dxx2 a2函数的方法，而并非使用公式四中利用有理函数积分的性质来推理， 但是三角换元计算不定 积

19、分是值得深入探讨和学习的计算方法， 也许在这个公式中体现不出来， 但是在某些场合下, 三角换元无疑是强大的。(42).(43).(44).x .2dxax2 b2x2dxax bdxx(ax2 b)21aln|ax2 b|ba1 In 2bdx2ax b2x2 axCo(45).C(46).C0(47).的。一式是显然的。在这组公式中，除了一式之外，后者在各种场合的运用还是相对频繁二式、三式都是典型的有理函数的不定积分问题，可以采取分离常数的方法来求解，其推理及其陈述如下:2x2 dx ax2 bdxx(ax2 b)1a1bax2 b b2 dx ax2 bb2 dx x( ax b)dx1

20、. ln x ln( b2b2b2 axb2 axb) C ln2bx2xax2 b2 axaxbdxIn x1 2LT C类似的对于之后的不定积分，依然可以拆项:122x (ax b)dxx (ax b)ar b(ax2b)1 xdxx x3(ax2b)2 .ax b2xdx1bx2 2x (ax b)1xax bx bbdxdxax bdx a 1bx3 b x(ax2b)dx1 a -2 2 ln 2bx 2b但是对于最后一式， 拆项显然是不理想的， 分子也不具备变量以进行凑微分,虑：因此从分母考1d ax bdx2 2(ax b)1 122 ax ax b2 (ax 丄d 2ax2 a

21、x2b)12ax b1 122 ax axb亠丄ax b 2 ax12a 接着带入公式(45)即得所证。dx2 2x (ax b)公式六含有ax bx c(a0)的积分2式先给出最基本的积分:dx(48). ax2 bx carcta n4ac b21、.b2 4ac2 ax bC,b .4ac b2 ax b Vb24ac22ax b b2 4ac4ac2C ,b 4ac该积分的证明需要分情形处理。一般来说，如果分母的二次式对应的二次方程是有根 的，那么其不定积分可以考虑因式分解的方式拆分成两个分式之和，而对于无实数解的情形，可以考虑配方的方式，并利用反三角函数的微分公式得到该不定积分的证明

22、，不过在此我将使用另一种方式证明上述公式，我将在此引入虚数单位，并规定1x Sdxax2 bc cdxa(x R)(x S) a R S x Rdx2i12这里的R, S为axbx c 0的两根，则:如果b2 4ac0，那么R Sbb2 4ac2abb2 4ac2ab2 4ac，则积分式即为1 lb2 4ac 02ax bb2 4ac2 ax b . b2 4acC b4ac , RS,C b4acC1Con sta nt否则为R S3.4acb i，则积分变为:aa12ax b ii2 axb iLn厂2axCon sta nt i2ax b.ib . iLn(2 axb)22(2ax b)

23、.iCon sta nt(2axb)2Lln (2ax b)222(2ax b?Liarg 2ax b_iConstant厂(2 ax b)(2ax b)厂 2ax b 厂i i(2ax_b)4L2(2ax_b)21 2ax b ,_i-ln ,2 2argConstant厂 V (2 ax b)2Y厂 2ax b 厂丄arg 2ax b_Constant厂2ax b厂i齐这个区间并考虑反这里值得注意的是辐角arg 2ax b i的取值问题，我们选择2 ax b 厂i正切表示，则这时候辐角中所给之复数必须保证实部恒正或恒负，但由判别式 然无法断言2ax b之正负，这对反正切的表示是不利的， 个

24、方便的方法是对分式上下乘以b2 4ac 0 依因此考虑对辐角进一步转化，一arg 2ax匚2 ax b1个虚数单位，则：(2ax b)iarg -(2ax b)i .(2ax b)i .2arg讥2 ax b)22arg( 1) 2arg(2ax b)i 2.(2 ax b)22ax b2arctanv将该式与Constant C 2 带入不定积分式，得:4ac b2dxax2 bc c24ac b21，-arg22 ax b iCon sta nt2 ax b i丄 2ax b2arcta n= C -=4ac b2. 4ac b2. 4ac b22.2ax barctan C4ac b24

25、ac b2虽然此方法比较复杂，但是可以说明的是，以复数进行实数的不定积分是可能的。八小、x,12, bdx(49). 2dx ln |ax bx c | 2ax bx c 2a2a ax bx c以拆项的方式来拆分为两个不定积分，这是及其显然的：x1 2 ax b b 12 ax b 1 b2 2 2 2ax bx c 2a ax bx c 2a ax bx c 2a ax bx c2 21 tan x sec x，特别是出现在公式七 含有 x2 a2(a 0)的积分14式含x2 a2 (a 0)的不定积分，通常会考虑的变换是分母中的根式，这样做的好处不但可以抵消根式， 同时可以处理并约分掉分

26、母中的积分变量,正切与正割之间的关系式运算在某些时候没有双曲函数简便。 元得到的：F面几个公式都是可以通过换dx(50).2 2 .x a，八dxars inh aG In(x 、x a ) C2(51).t(x2axdx-2 2 “ x ax,(x2 a22)3xdxt 22、x a2x(52).(53).dx(54).(55).2dx2 3a )/ 22.xa1x,xa2ln(x - x2 a2) C第一式是典型的反双曲三角函数的微分，我们设dxy arsinhx dx coshydy dy以及反双曲三角函数的定义式所得，事实上,l dxfx ，因此对于第一个不定coshy 1 sinh2

27、 y . 1 x2积分式，采用凑的方式即刻得之。二式也是典型的双曲换元得到的等式：丄2adx(x223a )x asinh y 、 acoshydy(荷 cosh y)3dy?cosh y丄(1 tanh2y)dy 4 tanhy C aa其中，将Atanhy a1 sinhy y ars叫 a . 1 sinh2 y1aJ1 2x 回带，即得之所证。2 2 2a a x三、四均是由微分公式d X1直接可推论的结果。然而如果对于三式没有直接2、x观察到亦不妨以双曲换元的得出:x-2 2 x a于是四式也可如法炮制：x asinh ydx 二sinhycoshy , dx acoshy-cosh

28、y C . a2 x2axx asinhy/22、3/2 dx(x a )asin hy coshy223/2 dy(a cosh y)sinhya2cosh2ydy12a1d(coshy) cosh y1a2coshy五式、六式可以凑得之:2x . dx a?xd2x dx.(x2 a2)3xd d 1r2 2x a，再以分部积分得:2xdx2 2x axdx2 a2dx2aIn (xx2 a2)x2 a2dx=sinh y 、2acosh2 ydy a2sin h2y4dx(x2 a2)3xdx. x2 a2dx/ 2 2.x a这样就完成了五式和六式。2.22厂X *22 ar 22X

29、y 22 aX(56) . Jxa dx y/xaln(x Vx a ) G 寸x a arsinh C22222a(57) . vx x(2x2 5a2)TxV ?a4ln(xC* 8 8(58) . x dx 扌a2)3 C(59) . x2 x x(2x2 a2)a2 1a4ln(x Jx2 ) C8 8一式三角换元是显然的。但值得注意的是双曲正弦与对数之间的关系是：2arsinh仝 In - Jx2 1In(x 賦 ) Ina ln(x 尿 ) Constanta a Va二式以双曲换元得到积分44a coshxdx ,以降幕进行变形，所得积分的计算是容易的:2cosh 2x 2cos

30、h 2x 1 dx(60).dxx Jx2 a2(61).dx2 : 2 x vx2 a(62)./ 2 2Vxadxx(63)./ 22vx adx2 x1ln a|x|2x a2a xa ln:2 2x a a _ C |x|ln( x x2a2)Ccosh4xdx4在得出结果之后，再以（二）倍角公式将和还原为即得二式右侧。 三式凑的方式即得其之所证。四式以分部积分，并二式，即得之所证。先以换元的方式将一式转化为三角积分或者双曲积分。转化三角积分时，以正切与正 割的恒等式可得ydy 1 cscydy，转化双曲积时，以双曲正弦或双曲余弦的恒等a2ta ny secy a-cschydy，最后

31、以余割或双曲余割的积分得到结果。a式可得 2a cosh ydya2 sinh y cosh y二式典型的转化为三角积分余割函数的导数公式（cscx）2asec ydya tan ysecy11 secydy a tan2 ycscycot ydy，这是典型的 asin xta nx注意到 yx2 a2 dx xJx2 a2xxcscxcotx 02 2j %x a xd -x.厂22xx axa亍r，带入一式。又注意到dx.xVdxdx ，带入（50）式。x2 a2公式八含. ax2 bx c(a0）的积分6式dx（64）.祈dxax2bxdx1b24acb2 寸 aa x 2a4ad x

32、A2a2 b2a.4ac b22a1am2axb2a2bx a4ac b2aIn 2aa-4a2(2ax b) 4ac b2aIn2aa=_In |2ax b 2品$ ax2bx | Cbx c . a利用最值公式对分母配方，得:In 2aC In 2aaC aax2b 2bx cdx L a x V 2a4ac b2-dx . a 4a2a.4ac b22ab_2ab2a22a.4ac b22a.4ac b22aIn2(4ac b )ln2adx2ax4a2a2a2aba. ax2 bx c4acCx2 In22axb 2、a . ax2bx c8a22a丄 I n| 2 ax b4 a2

33、x24abx|a12=In |2ax b 2 a ax bx c | C a2(65). Q dx 2ax bJa bx c 4ac=bIn|2ax b 2 avax| C4a娟首配方，再凑微分，并公式（56）,得:2(4ac b )ln 2a8 a32axb ax 4abxb224ac bIn 2a4acIn | 2ax8 a312(4ac b )In 2a2.a ax2 bx c|2ax b2一 ,.ax bx c 4a8 a3洽52 a ax2 bx c | Cx1 2(66). dx _ ax bx cJax2bxc abln |2ax b 2需bx | Cx.ax2 bx c剩下的计

34、算是容易的。1 2ax b b2a ax2 bx c21 d(ax bx c) 2a . ax2 bx cbdx2a . ax2 bx c(67).dxax2 bx carcsin2ax bb 4ac依然是配方，与（64）不同的是，根号下的加号变成了减号，从而适用反三角的表示。2!2 2ax b x2 2 adxx22 2 x ax22adx(80).(81).(82).dxarccos a |x|.2 2 -x aarccos22x a 2 dx xa|x|C在（60） （63）四式中，引入虚数单位，并替换即可证明上面四式的正确性。其中对于较为特殊的（80）和（83）中，我们注意以虚数单位替

35、换之后，原本的对数表达式变为了附带 虚数单位的表达式：Ln|x|x|x|In2|x|x|i argxa|x|ai反I0 i arcs iniarcsin 卫|x|ai arccos2|x|T曰 于是:dx1i arccosaC1a arccos|xC| 2ax . x2a2 ai|x|2a2 2-xa厂 22dx / x a2 aiaarccos -C.-2 2a.x a a arccosx|x|2|x|(84).dx公式十 含.a2 x2（a 0）的不定积分14式x arcsin Ca(85).dxxxCCx arcsin Ca2 arcs inC2 a（84）（ 86）（ 87）均以凑的方

36、式即可证明，其中（84）禾U用了反正弦函数的微分公式, （86） （ 87）实际上就是幕函数的复合所得，因此可以考虑凑出根式内的微分，然后以幕函数的积分公式计算最终结果。（85）以三角换元完成计算:dxx asiny、 acos ydy、.(a2 x2)3、：(a2 a2 si n2y)3dy2 2a cos y2ta n y a1 xaa_x2对（88） （89）各自使用分部积分即可完成演算:2 xa2 xdx2 acos tdtx a222 ax1 cos2t2dta2ta2 si n 2t2a2(x/ a)1 x/a 2J22a. xa xarcs in2a24x ;2xd( .a2 x

37、2) x a2 x2a2 x2dxC将其中一个乘进根式里，再与第一项合并即可。（89）将上式所得最后的第三项分式进行处理,定积分式处理:x2dxxdxdx22F 22.a xJ ax(90).dxa%a2 x|x|(91).dxC显然使用三角换元是容易的:dxx a si ny1xa xcscydy1ln|cscy coty | a1 X1sin2 y1 ln 2 2aa xsi nyaxC1 In a2 2dx2 ：_22x a xsiny 、dy.2 sin y1 cosy a siny12a x.a2x2 dx(a2x2)3dxx . a2x dx2 2 x ax2dxx8(5ax a7

38、2(92) .(93) .(94) .(95) .2a . xarcs in 2a2x2)a2x2C2x2arcsinx 26(2x4axarcsi n _ C8a（92）式的证明与（56）式的推理类似，虽然我在前面指出（ 换元是显然的，但是真正处理起是来略微不便的：56）式的思路使用三角X asin yx dxa cosydya2 sin2a arcs in2aa2 sin2y 。4-22x a x2因此如果我们在已经建立了积分公式.x2 a2dxIa22-arsinh C的情形下，承2a认并使用这个积分公式来推导（92 ）式会比单独在证明92)容易得多：在上述实数积分中引入虚数单位 并承认

39、i21，则令自变量以替换之,则可立刻得:.a2 x2dx - . (ix)2a2d(ix)i&2 arsi nh22a . x arcsin C2这样就完全可将（92）式与（ 中均引入虚数单位，则（93）56）式统一为同一公式。而同理的，可以在 （94）（ 95）的证明可以大幅度化简：57)(58)( 59)a2 x2)3dx -a2i(ix)23d(ix)1 也(2x2 5a2). x2i 84 arsi nh3 4. xa arcs in8ax. ax2dx(ix) . (ix)2 d(ix)x2 a x dx(ix)2 (ix) a d(ix)c評2a2) _x2a24ax.i arsi

40、 nh i8aa . x arcsn C8 a. 222x a x22 a a x _(96) . dx - x a a InCx|x|2 2 2 2a x x a x. x(97) .2 dxarcsin Cxxa在关于.君审的积分中指出C，即公式（62）x a dxx2a2dxx ax2 2aln x a|x|和公式（63）,同上之所证，利用虚数及公式（62） （ 63）可证明（96） （97）:2 2a x .dxxxi一2| . x2 a2a 厂a alnC|x|.22.a a x alnC|x|11C由分部积分公式得:arcsin Carsinh - i-22a x-22x a孑22

41、 dxd(xi)x a(x K2x a 灯x (x(x K)d。K歆dx2. Xbdxw (x b) x a(xb世其中:证。dx(x a)(x b)1,|x a|,|x a| |x b| |x a|d |x a| d |x b| 2.,|x a| |x b|带回上式得(x b).|X b| (x-,|x a| .|x b|dxa)(x b)d |x a|1dx|x b|d |x a|2 dx|x a|、|x b| 戸 口in |x a| |x b| x b 2d |x b|dx dx|x a| |x b|x b| 2ln |x a| |x b| CL2c即为(98)式之所2(98)式的给出，

42、亦可使用还原的方式证明，考虑到不定积分本身具有根号，其干扰运算性太强，考虑强行抹消根号，于是令x a t x a b dx (a b) 2tdt x b1 t2(1 t2)2H严心“尹密fUy町产E h-、t(I + / /J (I + r胃抑占詰乎M=lb - r7)| 1 一 2b-r k 2J si/tk 21 - sin k :朋sift k1 fW k矗丄韵vz_ k 2 J sbik J sink,I 1 c&sk-订2 urr k接着是计算式中的诸三角函数，可利用三角恒等式，如果限定了为锐角，亦可借助直角三角形，我在此选择后者：在 疏冲* ZB = X1 t BC| = ) IJ AC = / /, csek-一- = * 十 ,tv/jf- = “ 1, eassrfik Jr - J-1J -tfr 二(用 一 0) 狗8- I十 2(i7、tl