卡尔曼滤波在雷达数据领域的仿真讲解

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1、卡尔曼滤波在雷达数据处理领域的仿真研究电信科学技术研究院PT1200057贾建超摘要卡尔曼滤波器是直接针对时序或者连续状态而进行的状态空间转移滤波器，本文对卡尔 曼滤波在雷达数据处理中的应用进行仿真研究。本文基于 CV 模型，假设雷达每隔时间 T 获得目标位置的数据，卡尔曼滤波器对观测到的数据进行处理，估计目标物体当前的状态及 其参数，并对目标未来的状态及其参数进行预测。另外，通过进一步的MATLAB仿真实验， 可知初值选取和系统参数对滤波器收敛速度和稳态精度的影响，以及系统模型和系统参数对 机动目标跟踪性能的影响。关键词:卡尔曼滤波 CV 模型 雷达 精度 跟踪性能AbstractKalma

2、n filter is designed for continuous time sequences analysis or state analysis. The papers purpose is to accomplish the simulation research for the application of Kalman filter in the field of radar data processing. Assuming that the radar receive the position data of target every T seconds, using CV

3、 model, the filter will deal with the observation data, estimate the current state parameters of target and predict the future state. In addition, plenty of Matlab experiments are conducted. The results show the influence of initial data and system parameters to the filters convergence velocity and

4、precision of the steady state and they also present the influence of system model and system parameters to the performance of tracking of maneuvering targets obtained.Keywords: Kalman filter, CV model, radar, precision, tracking performance.第 0 章 前言信号的检测、估计和预测在信息与通信领域占有十分重要的地位，尤其在雷达系统中更 是如此。若忽略电磁波的速

5、度和脉冲周期的影响，理论上雷达可以测量到目标物的精确位置。 但实际中，由于目标物的移动规律不稳定、电磁干扰、信号衰落等因素，测量过程中存在着 不可忽略的噪声，这就需要我们利用检测、估计和预测理论进行比较准确的估计和滤波。在 估计与预测方法中，线性无偏最小均方误差估计由于其良好的性能特点得到了更为大范围的 应用。对于线性无偏最小均方误差的估计问题有两种滤波思路：维纳滤波和卡尔曼滤波。维纳滤波的思想是根据最小均方准则导出线性滤波器的维纳霍夫方程，通过解维纳霍夫 方程即得到最优线性滤波器的冲激响应，滤波器的输出即为消息的最优线性估计。维纳滤波 继承了维纳在随机过程理论的贯有风格与模式，它充分考虑了随

6、机信号的相关特性。但维纳 滤波的限制也因此变得不容忽视，最主要的一点是维纳滤波只适合用于平稳随机过程，过程 不平稳将导致维纳滤波必须不断地针对信号“修改参数”，而做到这一点的开销是十分巨大 的。因此，维纳滤波非常不适合在实时性要求高的环境中应用。R.E.Kalman等人于60年代初提出卡尔曼滤波方法，它直接从时域和状态入手，打破了 平稳这一限制，计算机的计算得以更加方便。它的估计性能是线性最优的，而递推形式又能 适应实时处理的需要，因此得到了广泛的应用。卡尔曼滤波器与维纳滤波器的不同点在于： 1、不由协方差函数描述系统，而由白噪声策动的产生该过程的线性模型来表示；2、不去寻 找最佳滤波器的冲激

7、响应，而是去寻找一套算法直接得到消息的估计即使不能解析地求 解微分方程，也总能容易的用计算机求解；3、不用时变的冲激响应描述产生消息的线性系 统，而是用微分方程来描述，方程的解即为消息。第1章 卡尔曼滤波的基本原理本文主要研究离散形式的卡尔曼滤波器1.1 卡尔曼滤波原理为了描述系统状态，首先要建立消息模型：x二x +Guk +1k k k k其中n维矢量x为消息，u为r维策动噪声矢量。 为n x n维转移矩阵或系统矩阵，Gkkkk为 n x r 维矩阵。接着对系统状态进行估计时需要建立测量模型：z二H -x + w 线性观测 kk kk其中zk为m维观测矢量，wk为m维观测噪声。在开始进行卡尔

8、曼滤波前需要已知的先验信息：Eu = u ， Cov u ,uQ -5白噪声kkk jk kjEw = w ， Covw ,u = R -5白噪声kkk jk kjCovu , w = 0kk初值 E & = x， Var & = P0 0 0 00,uk= 0,Covx , w = 00k预测方程 预测方差 滤波方差 滤波增益 滤波方程限定滤波器为线性的：、x = F - Z +d根据最优准则一最小均方误差准则，即求使k k k kJ = Elx -x 1 lx -x 1在k时刻最小的系统状态（消息）xk的线性无偏、最小均方差 kk k k kk递推滤波估计算法。多次利用矩阵求逆引理，可推导

9、出卡尔曼滤波的递推形式：x = x + G uk ik -ik-i k k -i k -iP =O - P t + G - Q - Gtk|k-i k -i k-i k -ik -i k-i k -iP = (P-i + HT -R-i -H )-ikk|k -i k k kK = P -HT(H -P -HT +R )-i kk|k -ikkk|k -ikkx = x + K - lz 一 (H x + w Jkk|k-ikkkk|k-ik1.2 CV 模型CV模型即匀速模型，假设目标是匀速运动，坐标x对时间t的二阶导数为0把目标的加速度作为策动噪声处理。则消息的状态空间模型（X二x + G

10、 u ）和测量模型 k k k kk+1（zk二H x + w ）中的各个矩阵取值:T 22T0T 22T0T 22TX=kxkXk yk y k zkzkz100000_Z=x zH=001000kykzz000010其中w（k ）,u （k）分别为策动噪声和观测噪声,均值都为 0，且互不相关，此时消息状态模型和测量模型系数都不随时间变化。对于策动噪声协方差矩阵，考虑：Qi = G Q G，=T 4TT 32T 4TT 32b 2uT 4TT 32在实际的雷达数据处理过程中，观测数据是在方向余弦坐标系下得到的，而目标的状态 方程是直角坐标系描述，因此观测噪声方差矩阵需要进行坐标系的转换：xx

11、yxzR = Q Q 2 QxyyyzQ Q Q 2xzyzzQ 2 =a 2 Q 2 + P 2 Q 2xRaq =a P q2xyRq =a y q2 一R2 a q2 /yxzRaq2 = p 2 q 2 + R2 Q2 yRPq = P y q2 一R2 p q2 /yyzRPQ2 = y 2 q2 + R2 a2 q 2 /y 2 + R2 p 2 q 2 /y 2 zRapy = fl一a2 一 p 2第 2章 仿真实验2.1 建立仿真环境本文进行的是 Matlab 仿真，仿真流程为：产生目标轨迹T加入噪声T列出观测方程T进行卡尔曼滤波T作图与分析1 )产生目标轨迹匀速直线飞行目标

12、匀加速直线飞行目标匀速圆周运动2)观测噪声观测分别为 R,a,p ， 其观测噪声分别为互相独立的零均值高斯白 噪声 w (k), w (k) w (k)，观测噪声方差为：R a pR(3)观测值=100m, Q= = 0.1ap极坐标系下的目标轨迹Rap=) (k (k (伙Y) /XT VZ2T+T T T雷达观测值R0a0p0(k (k (TTRa=Raa a a(k (k (k Rap vvv其中v ,v ,v分别为互相独立的零均值，标准差为1的高斯白噪声。R a p2.2 实验结果及分析实验观测噪声距离噪声方差为了观察需要会进行改变，但在同一个仿真实验中不会变 俯仰角和方位角噪声方差均

13、为 0.1 度。目标轨迹 1：匀速直线运动目标轨迹 2：匀速直线运动 +匀速圆周运动 +匀速直线运动目标轨迹 3：匀加速直线运动目标轨迹如下：匀加速直线运动二 0.1g300250滤波误差 预测误差 观测误差0100200300400500600708090100滤波i吴差 预测误差 观测误差-T1 1图 0-1 匀速直线运动 图 0-2 匀速 + 圆周+ 匀速图 0-32.2.1 初值选取对收敛速度的影响目标轨迹1,采样点数N=600,采样间隔T=O.ls，策动噪声方差bu初值X（0）p（0）按无偏估计取值，图1-1,图1-2,图1-3；初值X（0）= 0,p（0）= I,图 1-4，图 1

14、-5，图 1-6。距离均值误差曲线距离均值误差曲线100 H!-0 010 010 0151-1 无偏初值距离误差方位角均值误差曲线滤波误差 预测误差观测误差图 1-2 无偏初值方位角误差0.005图 1-4 初值为0距离误差图1-5初值为0方位角误差-60100200300400500養 10曇图 1-3 无偏初值俯仰角误差图 1-6 初值为 0 俯仰角误差如果是无偏估计，滤波方程的起始条件应选为：Etx（0）L Etx（0） p（0）= p（0）。x 由仿真结果得知，根据目标的初始状态建立起的滤波器的起始估计收敛速度较快。但在实际中，我们是无法得到目标的初始状态的，此时可以利用前两个观测值

15、建立起始估计。如果初始值取值任意，不考虑它的无偏性，则滤波器的收敛速度就会较慢。2.2.2 系统参数 T 对收敛速度和稳态精度的影响目标轨迹3,初值按无偏估计取值，策动噪声方差b二0.1gu采样点数N=100，采样间隔T=0.1s，图2-1;采样点数N=100，采样间隔T=1s，图2-2；采样点数N=100，采样间隔T=5s，图2-3；采样点数N=100，采样间隔T=10s，图2-4。经实验证实，方位角和俯仰角的误差与距离误差规律一致，为减少不必要的篇幅，以下仅列出距离噪声仿真图。滤波误差-预测误差 观测误差;策动噪声方差0.1 g.样间隔TN.1S102030405060708090100k

16、20图2-2 T=1s的距离误差仿真图2-1 T=0.1s的距离误差仿真图 2-3 T=5s 的距离误差仿真图 2-4 T=10s 的距离误差仿真由仿真结果得知，在一定范围内，采样间隔 T 不会影响到收敛速度，但会影响到稳态精度，采样间隔越小，稳态精度越大。在采样间隔大到一定程度，则可能造成结果的不准确和不确定性。2.2.3系统参数b对收敛速度和稳态精度的影响u目标轨迹1,初值按无偏估计取值，采样间隔T=0.1s采样点数N=100,策动噪声方差b二O.Olg，图3-1；u采样点数N=100，策动噪声方差b二1g，图3-2；u采样点数N=100，策动噪声方差b二5g，图3-3；u采样点数N=10

17、0，策动噪声方差b二10g，图3-4。u同样，经实验证实，方位角和俯仰角的误差与距离误差规律一致，为减少不必要的篇幅 以下仅列出距离噪声仿真图。滤波误差-预测误差观测误差采样间隔T=0.1s,动噪声方差00 g10010304080图3-1策动噪声方差0.01g的距离误差图3-2策动噪声方差1g的距离误差图 3-3 策动噪声方差 5g 的距离误差图 3-4 策动噪声方差 10g 的距离误差由策动噪声协方差矩阵可知Q正比于系统参数T,b ,又根据卡尔曼滤波增益方程，滤 u波增益K正比于Q - R-1，因而滤波增益K正比于系统参数。“观察卡尔曼滤波方程X二X + K -(z - H - X)可知，

18、滤波增益K越大，最kk / k -1k kk k / k -1新观测z在滤波值中的作用就越大，当K -H = I时，滤波值X将完全依赖于最新的观测 kk值，则滤波失效。反之，K的值越小，观测z在滤波值中的作用就越小，当K=0时，则新 的观测已经不起作用，这时滤波值只是根据以前的观测数据按照动态模型递推得到，不再用 新的观测值来修正滤波值，同样会造成滤波器的发散。可见，增益K的值不能太大也不能 太小，否则都会引起滤波器发散，通过推导可知K的取值范围在0和1之间。”(参考文献2) 当选取适当的系统参数使增益 K 在滤波器正常工作的范围之内时，若系统参数取值越 小，说明系统的策动噪声越小，等效于测量

19、噪声加大，这时滤波增益K就要减小，使观测z 在滤波值中的作用降低，即滤波值更多的依赖于预测值，则滤波和预测误差瞬态过程收敛速 度越慢，但稳态精度越高。反之，系统参数取值越大，说明系统的策动噪声越大，等效于测 量噪声减小，滤波增益增大，以加大观测z对滤波值的修正作用，即滤波值更多的依赖于观 测值，使得滤波和预测误差瞬态过程收敛速度变快，但稳态精度降低。当系统参数取得足够 大，使得增益K趋于1时，则滤波失效且滤波精度主要由测量误差方差所决定。2.2.4 系统参数 T 对机动目标跟踪性能的影响目标轨迹2,初值按无偏估计取值，采样点数N=600,策动噪声方差b二O.lgu采样间隔T=0.1s，图4-1

20、，图4-2，图4-3；采样间隔T=1s，图4-4，图4-5，图4-6。300250200o o5 o-2距离均值误差曲线滤波误差预测误差观测误差o o o5 0 5o o-5oJ100200300400500k距离均值误差曲线n打一耘误云：预测误差3:：|观测误差102030405060图4-1距离误差（T=O.ls）图4-4距离误差（T=1s）方位角均值误差曲线1 i也浪误羣:预测误差:： 观测误差01O1 2o O0 000图4-2方位角误差（T=01s）图4-5方位角误差（T=1s）-0 005-0.01俯仰角均值误差曲线:打也波误羣WHS-预测误差:I观测误差102030405060k

21、图4-3俯仰角误差（T=0.1s）图4-6俯仰角误差（T=1s）由仿真结果可知，运动状态的改变，会引起系统的暂时不稳定。策动噪声方差一定的情况下，一定范围内，采样间隔越小机动目标跟踪性能越好。2.2.5系统参数b对机动目标跟踪性能的影响u目标轨迹2,初值按无偏估计取值，采样点数N=600,采样间隔T=0.1s策动噪声方差b二0.1g，图5-1，图5-2，图5-3；u策动噪声方差b二1g，图5-4,图5-5u图 5-6。距离均值误差曲线300250200滤波误差 预测误差 观测误差01002003004005002010-1O-2O距离均值误差曲线二:-滤波误差预测误差观测误差:i1002003

22、00400500600k图 4-4 距离误差（策动方差 1g）0100200300400500-0.02 7I方位角均值误差曲线图 4-1 距离误差（策动方差 0.1g）滤波误差 预测i吴巻观测误差方位角均值误差曲线图 4-2 方位角误差（策动方差 0.1g）-0.005-0.01O-图 4-3 俯仰角误差（策动方差 0.1g）0.0350.03图 4-5 方位角误差（策动方差 1g）俯仰角均值误差曲线滤波误差 预测误差 观测误差0100200300400500图 4-6 俯仰角误差（策动方差 1g）由于事先是不可能了解目标的真实轨迹的，其运动轨迹可能会非常复杂，因此在设定的 数学模型下进行滤

23、波时，就会带来不精确性，从而引起滤波器发散。这里仅做简单的分析。可见，在前 150 点目标做匀速直线运动，与 CV 模型匹配，则滤波器收敛得较好；从 150 点到 200 点目标做圆周运动，使得模型不准，则滤波失效，滤波器发散；最后目标又做 匀速直线运动，滤波器重新又收敛，得到目标点迹的最佳估计。由仿真结果可知，策动噪声 方差b越大，目标机动部分的滤波误差越小，即跟踪性能越好。u结束语本文的主要内容是卡尔曼滤波器在雷达数据处理应用的理论分析和 MATLAB 仿真研 究，通过分析与仿真可知初值的选取、系统参数的选取等都对滤波和预测的收敛速度和稳态 精度产生影响。从而可以得知，在实际的雷达数据应用领域或其它卡尔曼滤波所涉及的应用 领域里，策动噪声方差、采样间隔等系统参数要根据实际情况折中选取，并非越大越好或者 越小越好。卡尔曼滤波技术的一个技术瓶颈在于模型的不确定性，实际情况中，飞行器的运 行轨迹或者状态的变化都是不是我们事先确定的，在处理过程中亦会发生发散等不可预知的 问题。所以，在利用卡尔曼滤波器的过程中，要充分认识到它的优势和局限性。参考文献1 西蒙赫金，自适应滤波器原理，电子工业出版社，20032 沈福民，自适应信号处理，西安电子科技大学出版社， 20013 秦勤，雷达目标跟踪的卡尔曼滤波方法的研究，大连海事学院硕士毕业论文， 2006