两类曲线积分与格林公式习题课2ppt课件

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1、两类曲线积分习题课两类曲线积分习题课曲线积分曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分格林公式格林公式曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关1.1.定义：第一类曲线积分又称对弧长的曲线积分）定义：第一类曲线积分又称对弧长的曲线积分）iiniiLsfdsyxf ),(lim),(10 2.存在条件：存在条件：.),(,),(存在存在对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当 LdsyxfLyxf3.推广推广曲线积分为曲线积分为上对弧长的上对弧长的在空间曲线弧在空间曲线弧函数函数),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfds

2、zyxf 一、基本内容一、基本内容第一类曲线积分的计算第一类曲线积分的计算)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL则则上具有一阶连续导数上具有一阶连续导数在在其中其中的参数方程为的参数方程为上有定义且连续上有定义且连续在曲线弧在曲线弧设设;.1 一一定定要要小小于于上上限限定定积积分分的的下下限限.,),(.2而是相互有关的而是相互有关的不彼此独立不彼此独立中中yxyxf推广推广)().(),(),(:ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf.)(:)2(dycyx

3、L .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc 特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba 几何与物理意义几何与物理意义,),()1(的的线线密密度度时时表表示示当当Lyx;),(LdsyxM;,1),()2(LdsLyxf弧弧长长时时当当,),(),()3(处处的的高高时时柱柱面面在在点点上上的的表表示示立立于于当当yxLyxf.),(LdsyxfS柱柱面面面面积积sL),(yxfz ,)4(轴轴的的转转动动惯惯量量轴轴及及曲曲线线弧弧对对yx.,22 LyLxdsxIdsyI 曲线弧的重心坐标曲线弧的重心坐标)

4、5(.,LLLLdsdsyydsdsxx 存在条件：存在条件：.,),(),(第第二二类类曲曲线线积积分分存存在在上上连连续续时时在在光光滑滑曲曲线线弧弧当当LyxQyxP LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其其中中.LdsF第二类曲线积分又称对坐标的曲线积分）第二类曲线积分又称对坐标的曲线积分）推广推广 空间有向曲线弧空间有向曲线弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP .RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 性质性质.,)

5、1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则则和和分成分成如果把如果把则则有向曲线弧有向曲线弧方向相反的方向相反的是与是与是有向曲线弧是有向曲线弧设设,)2(LLL LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(对坐标的曲线积分与对坐标的曲线积分与曲线的方向有关曲线的方向有关.第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算,),(),(,0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在则曲线积分则曲线积分且且续导数续导数一阶连一阶连为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以运动到终点运动到终点沿沿的起点的起点从从点点时时到到变

6、变单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为的参数方程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设设 LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终点为，终点为起点为起点为.)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终终点点为为起起点点为为.),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),(且且.,)()()(:)3(终终点点起起点点推推广广ttztytx dttt

7、ttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),(格林公式格林公式2.2.它是它是Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式在二重积分情形下的推广公式在二重积分情形下的推广.1.Green公式的实质：沟通了沿闭曲线的第二类曲线公式的实质：沟通了沿闭曲线的第二类曲线积分与该闭曲线所围的闭区域上的二重积分的之间积分与该闭曲线所围的闭区域上的二重积分的之间的联系。的联系。定理定理 设设D D 是单连通域是单连通域 ,),(),(yxQyxP在在D D 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,(1)(1)沿沿D D 中任意光滑闭

8、曲线中任意光滑闭曲线L,L,有有.0dd LyQxP(2)(2)对对D D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L,L,曲线积分曲线积分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d (4)在在D 内每一点都有内每一点都有.xQyP LyQxPdd与路径无关与路径无关,只与起止点有关只与起止点有关.函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价:在在 D D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 ,d22 Lyxse计计算算,:222ayxL 由由圆圆周周轴轴及及直直线线xxy 在第一象限中所围图形的边界在第一象限中所围图形的边界.AB Lyxsed22 BOABOA提示

9、提示解解:OA,0 y OAyxsed22xsd01d2 :AB,sin,cos ayax 40 seAByxd22 d40aea xeaxd01 aeaae4,0ax xyO例例二、例题二、例题AB:BO,xy seBOyxd22xsd11d2 xeaxd222021 ae Lyxsed22故故aaaee4)1(2 .220ax xyO例例 Lsyx.d)(3其中其中L是圆周是圆周.222Ryx 解解 LLsysxdd3 Lsyxd)(3,d Lsx对对因积分曲线因积分曲线L关于关于被积函数被积函数x是是L上上0d Lsx Lsy,d3对对被积函数被积函数0d3 Lsy因积分曲线因积分曲线L

10、关于关于3y222Ryx 对称性对称性,计算计算得得0 是是L上上y轴对称轴对称,关于关于x的奇函数的奇函数x轴对称轴对称,关于关于y的奇函数的奇函数xyO dds 例例 计算计算,)(222dszyxI 其中其中为球面为球面解解,1141)21(21:22 zxyx:20 2)sin2(2)cos2(2)sin2(18d229 20 I d2 cos221 z.1的交线的交线与平面与平面 zx29222 zyx化为参数方程化为参数方程 21cos2 x sin2 y例例 计算计算 其中其中L为为 ,)()(22 LyxdyyxdxyxI解解圆周圆周:，方向沿逆时针，方向沿逆时针.222ayx

11、 LadyyxdxyxI2)()(),20:(sincos:ttaytaxLdttt)cos(sin2202 dt 20 2 dtatatatatatata 202)cos)(sincos()sin)(sincos(方方向向。为为半半径径的的圆圆周周，逆逆时时针针）为为圆圆心心，：以以（，：计计算算例例)1(01422 RRLyxydxxdyL解解xQyxxyyPyx 22222)4(4)0,0(),(时时，当当04,1)1(22 yxydxxdyR时时当当取逆时针方向。取逆时针方向。内，内，在在且足够小，使得且足够小，使得其中其中：作曲线作曲线时时当当CLCrryrxCR,0,sin2cos

12、,1)2(CCLyxydxxdyyxydxxdy2222原原式式 drrrrr 2024)sin(sin2cos2cos0 2021d 例例问问 是否为全微分式是否为全微分式?yyxexxeyyd)2(d)(求其一个原函数求其一个原函数.如是如是,解解在全平面成立在全平面成立.xQeyPy 所以上式是全微分式所以上式是全微分式.222yxexy 因而一个原函数是：因而一个原函数是：全平面为单连通域，全平面为单连通域，yyxexxeyxuyyxyd)2(d)(),(),()0,0(yyxeyyd)2(0 xxexd)(00 xyO法一法一)0,(x(x,y)这个原函数也可用下法这个原函数也可用下

13、法“分组凑出分组凑出:222dyxxey222),(yxexyxuy yyxexxeyyd)2(d)()dd(yxexeyy )(dyxe)d2d(yyxx 222dyx),(yxu法二法二因为函数因为函数u满足满足Pxexuy 故故yy2)(从而从而所以所以,Cyxxeyxuy 222),(问问 是否为全微分式是否为全微分式?yyxexxeyyd)2(d)(求其一个原函数求其一个原函数.如是如是,xxeuyd)(22xxey)(y 由此得由此得yxey2 y的待定函数的待定函数法三法三()ye xy uy 2()2 dyy yyC 。试求试求恒有恒有任意任意与积分路径无关，且对与积分路径无关

14、，且对且曲线积分且曲线积分导数，导数，平面上有连续的一阶偏平面上有连续的一阶偏在在例设函数例设函数),(),(2),(2,),(2),(),1()0,0()1,()0,0(yxQdyyxQxydxdyyxQxydxtdyyxQxydxxOyyxQttL xyPxQxyyxP22),(件件得得，由由积积分分与与路路径径无无关关条条解解法法一一：设设)(),(2yCxyxQ )1,()0,0(),(2tdyyxQxydx 102102)()(dyyCtdyyCt ),1()0,0(),(2tdyyxQxydx ttdyyCtdyyC002)()(1 tdyyCtdyyCt0102)()(由题设得：

15、由题设得：)(12tCtt 求导得：求导得：两边对两边对.12),(12)(2 yxyxQttC),(,2),(),(2yxQyuxyyxPxuyxu 使使存在函数存在函数由积分与路径无关，由积分与路径无关，解法解法)(2),(2yfyxxydxyxu )(),(2yfxyxQ 由已知积分等式得：由已知积分等式得：)()1(),1()1,(2tftfttutu 12)()(12 ttftftt求导得：求导得：两边对两边对.12),(2 yxyxQ。功最大？并求此最大功功最大？并求此最大功所做的所做的一点时，使一点时，使的第一卦限部分上的哪的第一卦限部分上的哪沿直线移动到曲面沿直线移动到曲面原点

16、原点，问将质点从，问将质点从已知力场已知力场例例FczbyaxOkxyjzxiyzF1.222222 ),(wvuA一点为一点为设曲面上设曲面上 OAxydzzxdyyzdxW)(000000:twzvyuxOA 解：解：OAxydzzxdyyzdxW)(000000:twzvyuxOA 10:,:twtzvtyutxOA 10)()()()()()(wtdvtutvtdutwtutdwtvt 1023dttuvwuvw)1(222222 cwbvauuvwF),3,3,3(cba.33abcW )1(222222 cwbvauuvwF 1020202222222222cwbvaucwuvFb

17、vuwFauvwFwvu 222222cwbvau 31 选择题：选择题：).(),()()()(),()()()(:.1 LdxyxfABBAttytxL则则，终点为，终点为中始点为中始点为的有向光滑曲线段，其的有向光滑曲线段，其是一连接两点是一连接两点已知已知 dttttfDtdtttfCdtttfBdtttfA)()(),(.)()(),(.)(),(.)(),(.D.),(),(.3）径无关的充要条件是（径无关的充要条件是（域内与路域内与路在在分分连续偏导数，则曲线积连续偏导数，则曲线积上具有一阶上具有一阶在单连通区域在单连通区域设函数设函数DQdyPdxDyxQyxPL yPxQDx

18、PyQCxPyQByPxQA .D).(,).222的的圆圆周周，则则积积分分是是半半径径为为是是圆圆心心在在原原点点、其其中中（曲曲线线积积分分aCdsyxC 33324.2.2.aDaCaBaA C).(),1,0(,)0,1(:1)cossin()sincos2(.5222 IBAyxBAdyxyxdxxyyxIBA则则弧弧为为位位于于第第一一象象限限中中的的圆圆其其中中弧弧，曲曲线线积积分分2.2.1.0.DCBA C).(2,1,),(,),(.4212222，则，则，的同向光滑闭曲线，记的同向光滑闭曲线，记是两条包围原点是两条包围原点 iQdyPdxICCyxyxyxQyxyxyxPiCi.,.0.0.2121212121而而定定的的大大小小关关系系视视与与CCIIDIICIIBIIA B