北师大版五年级上册随堂奥数讲义

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1、博学教育 优等生同步奥数提高 五年级（上）第一讲 整数问题第1课 数的整除一、 知识要点1. 整除因数、倍数 必要条件：（1）a、b、c三个数是整数（2）b0（3）ab=c 结论：整数a能被整数b整除，或b能整除a，则a叫做b的倍数，b叫做a的因数。记作：ba整数a除以整数b（b0）等于c（c是整数且没有余数），那么说a能被b整除，或b能整除a，a叫做b的倍数，b叫做a的因数。2. 相关基础知识点回顾（1）0是任何整数的倍数。 （2）1是任何整数的因数。3. 数整除的性质性质1：如果a、b都能被m整除，那么它们的和与差也能被m整除。 即：如果ma，mb，那么m（ab）。例如：如果210，26，

2、那么2（106），并且2（106）。性质2：如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除。即：如果ma，na，那么 m，na。例如：如果636，936，那么6，936。性质3：如果m、n都能整除a，且m和n互质，那么m与n的积能整除a。即：如果ma，na，且（m，n）=1，那么（mn）a。例如：如果272，972，且（2，7）=1，那么1872。性质4：如果a能整除b，b能整除m，那么a能整除m。 即：如果ab，bm，那么am。 例：如果714，1428，那么728。4. 数的整除特征 （1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数（即个位数是2、4、6、8、0），

3、那么它必能被2整除。（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除。（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除。（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除。 例：1864能否被4整除？ 解：1864=1800+64，因为464， 4是1864的因数，1864是4的倍数，所以41864。（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除。 例：29375能否被125整

4、除？ 解：29375=29000+375，因为125375，125是375的因数，375是125的倍数，所以12529375。（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。(奇数位指：这个数的个位、百位、万位；偶数位指：这个数的十位、千位、十万位)例：判断13574是否是11的倍数？ 解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（451）-（73）0。因为0是任何整数的倍数，所以110。因此13574是11的倍数。例：判断123456789这九位数能否被11整除？ 解：这个数奇数位上的数字之和是97531=2

5、5，偶数位上的数字之和是864220.因为25205，又因为11 5，所以11 123456789。（7）能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。例：判断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分为1059和282两个数。因为1059-282777，又因为7777，所以71059282。因此1059282是7的倍数。例：判断3546725能否被13整除？解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为8212819，又13819，所

6、以132821，进而133546725。二、 典型例题详解猜猜会是什么数？【例1】：一个856五位数，能被3、4、5整除，这样的五位数中，最小的一个是多少？ 解：先将856，看做856ab。 3856ab，则38+5+6+a+b，319+a+b，a+b=2或a+b=5或a+b=8。 4856ab，则4ab，ab=偶数 5856ab，则b=0或b=5，又ab为偶数，b=0 a+b=2或a+b=5或a+b=8，且b=0，a=2或a=5或a=8 当a=2，b=0时，这个数为85620；当a=5，b=0时，这个数为85650；当a=8，b=0时，这个数为85680。 答：五位数中最小的一个是85620

7、。【例2】：一本老账本上记着：72只桶，共67.9元，其中处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上。 解：先将67.9，看做整数a679b。72=89，且（8，9）=1，8a679b，且9a679b。 若8a679b，则879b，所以b=2。 若9a679b，b=2，则9a6792，9a+6+7+9+2，9a+24，所以a应是3。 所以这个数应是 答：这笔账应是 元。【例3】：173是一个四位数，在其中的方框中先后填入三个数字，所得到的三个四位数，依次可以被9、11、6整除。先后填入的三个数字的和是多少？方法一 试商法 解： 方法二 倍数特征解：三、 课后作业1. 在中填入适当的数字，使所组成的数能

8、够被4整除。784 7653 8633. 一个六位数2356是22的倍数，那么这样的六位数中，最大的一个是多少？2. 71450至少加上多少后就能被4整除？4. 如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？5.一位采购员买了同样的72只热水杯，可是发票不慎弄湿，单价无法辨认，总价数字也不全，只能看出： 173. 元。你能算出热水杯的单价吗？第一讲 整数问题第2课 倍数与因数（一）一、 知识要点1. 质数与合数 质数：一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数。（素数）合数：一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。1不是质数，也不是合数。2.

9、 质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例：30分解质因数。 解：30=235 答：2、3、5是30的质因数。 分解质因数的方法：可以用短除式来求质因数100以内的质数（要会背的）：2、3、5、7、 11、13、 17、19、 23、29、 31、37、 41、43、 47、 53、59、 61、67、 71、73、 79、 83、89、 97.3. 公因数与公倍数公因数：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数。公倍数：几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。一

10、个数的因数的个数是（ ）的，倍数的个数是（ ）的。几个数的公因数的个数是（ ）的，公倍数的个数是（ ）的。4. 最大公因数与最小公倍数最大公因数：在几个自然数的公因数中，最大的一个称为这几个数的最大公因数。 a、b的最大公因数=(a，b)最小公倍数：在几个自然数的公倍数中，除零外最小的一个称为这几个数的最小公倍数。 a、b的最小公倍数=a、b1 83 029335用公有的质因数2除用公有的质因数3除除到两个商是互质数为止15 （18，30）=23=6 18，30=2335=90二、 典型例题详解用短除法计算：【例1】五年级三个班分别有30、24、42人参加课外科技活动，现在要把参加的人分成人数

11、相等的小级，并且各班同学不能打乱，那么每组最多多少人？一共可以分成多少个小组？解： 30=235 24=2322 42=237 （30，24，42）=23=6（人） 306=5（个）246=4（个）426=7（个）547=16（个）答：每组最多可以分6人，一共可以分16个组。【例2】有一种长16厘米，宽12厘米的塑料扣板，如果用这种扣板拼成一个正方形，最少需要多少块？用短除法计算：解：16=2222 12=223 16，12=22223 =48（厘米） 4816=3（块） 4812=4（块） 34=12（块）答：最少需要12块扣板。【例3】甲对乙说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，

12、再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”求出甲、乙现在的年龄。解：甲现在的年龄是乙的7倍，则甲的年龄比乙大6倍； 当甲的年龄是乙的6倍时，则甲的年龄比乙大5倍； 当甲的年龄是乙的5倍时，则甲的年龄比乙大4倍； 当甲的年龄是乙的4倍时，则甲的年龄比乙大3倍； 当甲的年龄是乙的3倍时，则甲的年龄比乙大2倍； 当甲的年龄是乙的2倍时，则甲的年龄比乙大1倍；甲、乙的年龄差是6、5、4、3、2的公倍数。6，5，4，3，2=65432=60（岁）60（7-1）=10（岁）10+60=70（岁）答：甲的年龄是70岁，乙的年龄是10岁。 【例4】写出三个小于20的自然数，它们的最大公因数为1，但两两均

13、不互质，共有几组?解：假设这三个数分别是a、b、c a、b、c两两不互质，且a20，b20，c20，则两两间的质因数互不相同且乘积小于20 （a，b）=2或（a，b）=3 或（a，b）=5； （a，c）=2或（a，c）=3 或（a，c）=5； (b，c）=2或 (b，c）=3 或 (b，c）=5； a，b，c三数有可能是23=6，25=10，35=15，26=12，36=18。 又 （a，b，c）=1； （6，10，15）=1；（10，15，12）=11；（10，15，18）=答：共有三组，分别是（6、10、15），（10、12、15），（10、15、18）。三、 课后习题1. 求56，36，

14、284的最小公倍数。3. 三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别为半分钟、45秒钟、1分15秒。三人同时从起点出发，最少需要多长时间才能再次在起点相会？5. 把一张长120cm，宽80cm的长方形纸裁成同样大小的正方形(纸不能有剩余)，至少能裁成多少张这样的正方形纸，每张裁成的纸是多大？2. 有336个苹果、252个梨子、210个桔子，用这三种水果最多可以分成多少份相同的礼物？每份礼物中，三种水果各占多少？4. 有一个表，每走9分钟亮一次灯，每到整点时响一次铃。中午12点时既亮灯又响铃。下次既亮灯又响铃在几点？6. 用一个数去除31，61，76都余1，这个数最大是多少？第3课 倍数

15、与因数（二）一、 知识要点1. 最小公倍数与最大公因数之间的关系定理一：两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。 即：如果（a，b）=d，那么（ad，bd）=1定理二：两个数的最小公倍数与最大公因数之积等于这两个数的乘积。 即：a，b（a，b）=ab定理三：两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数二、 典型例题详解【例1】甲数是36，甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是288，求乙数。解：设乙数是a 36a=4288 a=428836 a=32 答：乙数是32。【练一练】甲数和乙数的最大公因数是6，最小公倍数是90，且小数不能整除大数，求这两个数。【例2】已知两数的最大公因

16、数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？ 解：设这两个数分别为a、b 12621=6 6=32 或 6=16 a=321=63 a=121=21b=221=42 b=621=126 63+21=84 21+126=147 答：这两个数的和是84或147。【练一练】两个自然数的和是56，它们的最大公因数是7，求这两个数。【例3】两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，求这两个数的差。 解：设这两个自然数分别是5a、5b 5a+5b=50 a+b=10 (a，b)=1且a+b=10 或 当时，5a=5，5b=45 5b-5a=40当时，5a=15，5b=35 5b-5a=20 答：

17、这两个数的差是40或20.【练一练】已知两个自然数的积是5766，它们的最大公因数是31，求这两个数。【例4】两个自然数的和是54，它们的最小公倍数与最大公因数的差是114，求这两个自然数。解：设这两个数是A、B 。且A=am；B=bm A+B=54 ，则am+bm=54 m(a+b)=54 (A、B)=m；a、b为A、B两数的非有公因数，(a、b)=1 A、B=mab A、B(A、B)=114，则mabm=114 m(ab1)=114 m(a+b)=54且m(ab1)=114 则m是54和114的公因数 又（54，114）=6，6=16=23 m=1或m=6或m=2或m=3 如果m=1，则1

18、(a+b)=54，a+b=54； 1(ab1)=114，ab=115 115=1115或115=523 115+154 且5+2354 m1 如果m=6，则6(a+b)=54，a+b=9； 6(ab1)=114，ab=20 (a、b)=1，则20=120或20=45 1+209，4+5=9 则m=6，a=4，b=5；A=46=24，B=56=30 如果m=2，则2(a+b)=54，a+b=27 2(ab1)=114，ab=58(a、b)=1，则58=158或58=2291+5827且2+2927m2（接【例4】）如果m=3，则3(a+b)=54，a+b=18 3(ab1)=114，ab=39(

19、a、b)=1，则是39=139或58=3131+3918且3+1316m3 答：这两个自然数是24和30。【练一练】两个数的差是4，最大公因数与最小公倍数的积是252，求这两个数。三、 课后作业（1）某数与24的最大公因数是4，最小公倍数是168，这个数是多少？（2）已知两个自然数的最大公因数为4，最小公倍数为120，求这两个数。（3）两个数的和是70，它们的最大公因数是7，求这两个数的差是多少？（4）已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60，求这两个数。（5）两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54，求两个数的和。（6）已知两个自然数的差为30，它们的最小公倍数

20、与最大公约数的差为450，求这两个自然数。（7）两个数的最大公因数是12，最小公倍数是72，这两个数的和是多少？（8）两个自然数的差是3，它们的最大公因数与最小公倍数的积是180，求这两个数。复习练习 第2课 （1）有一种地砖，长20厘米，宽15厘米，至少需要多少块这样的地砖才能拼成一个实心的正方形？（2）一箱鸡蛋，四个四个数多3个，五个五个数多4个，七个七个数多6个，这箱鸡蛋至少有多少个？（10）已知a与b、a与c的最大公因数分别是12和15，a、b、c的最小公倍数是120，求a、b、c。（3）有一个班的同学包车旅游，如果增加一辆车，正好每辆车坐10人，如果减少一辆车，正好每辆车坐15人，这

21、个班共有多少人？（4）一条路长96米，从一端起，每隔4米栽一棵树（路两旁都栽）。现要再每隔6米栽一棵，已栽上的地方不用重栽，这条路上共需新栽多少棵树？第二讲 图形的面积第1课 巧求图形面积一、 知识要点1. 基本平面图形特征及面积公式特征面积公式正方形四条边都相等。四个角都是直角。有四条对称轴。S=a2长方形对边相等。四个角都是直角。有二条对称轴。S=ab平行四边形两组对边平行且相等。对角相等，相邻的两个角之和为180平行四边形容易变形。S=ah三角形两边之和大于第三条边。两边之差小于第三条边。三个角的内角和是180。有三条边和三个角，具有稳定性。S=ah2形只有一组对边平行。中位线等于上下底

22、和的一半。S=(a+b)h22. 基本解题方法：由两个或多个简单的基本几何图形组合成的组合图形，要计算这样的组合图形面积，先根据图形的基本关系，再运用分解、组合、平移、割补、添辅助线等几种方法将图形变成基本图形分别计算。二、 典型例题详解【例1】已知平行四边表的面积是28平方厘米，求阴影部分的面积。【练一练】如果用铁丝围成如下图一样的平行四边形，需要用多少厘米铁丝？（单位：厘米）【例2】下图中甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米）【练一练】求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）平行四边形ABCD的边长BC=10厘米，【例3】如图所示，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，求CE

23、的长度。直角三角形BCE的直角边EC长8厘米，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米。求CF的长。【练一练】【例4】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：厘米）B【练一练】下面的梯形ABCD中，下底是上底的2倍，E是AB的中点，求梯形ABCD的面积是三角形EDB面积的多少倍？一个长方形的草坪，中间有两个人行道。高是14求草坪的面积。(单位：厘米)3228【练一练】【练一练】计算下面图形的面积。三、 课后作业下面的梯形中，阴影部分面积是150平方厘米，求梯形的面积。13.求图中阴影部分的面积。单位：厘米正方

24、形ABCD的边长是12厘米，已知DE是EC长度的2倍，求：（1） 三角形DEF的面积。（2） CF的长。2. 正方形ABCD的面积是100平方厘米，AE=8厘米，CF=6厘米，求阴影部分的面积。5. 4.梯形ABCD的面积是45平方厘米，高6厘米。三角形AED的面积是5平方厘米，BC=10厘米，求阴影部分的面积。6.求图形中梯形ABCD的面积。（单位：厘米）第2课 等积变形求面积一、 知识要点等底等高的三角形面积相等平行四边形 如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的2倍，大三角形高是小三角形高的 。 如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的3倍，大三角形高是小三角形高的

25、。 如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的4倍，大三角形高是小三角形高的 。 如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的n倍，大三角形高是小三角形高的 。 如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的2倍，大平行四边形高是小平行四边形高的 。 如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的3倍，大平行四边形高是小平行四边形高的 。 如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的4倍，大平行四边形高是小平行四边形高的 。 如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的n倍，大平行四边形高是小平行

26、四边形高的 。二、 典型例题分析【例1】四边形ABCD中，M为AB的中点，N为CD的中点，如果四边形ABCD的面积是80平方厘米，求阴影部分BNDM的面积是多少？【练一练】如图，六边形ABCDEF的面积是16平方厘米，M、N、P、Q分别是AB、CD、DE、AF的中点。求图中阴影部分的面积。【例2】如图，平行四边形ABCD中，AE=EF=FB，AG=2CG，三角形GEF的面积是6平方厘米，平行四边形的面积是多少平方厘米？【练一练】如图，在一个等边三角形中任意取一点P，连接PA、PB、PC，过P点作三角形的垂线，E、F、G分别为垂足。三角形ABC被分成6个三角形。已知三角形ABC的面积为40平方厘

27、米，求图中阴影部分的面积。【例3】下图中正方形ABCD的边长是4厘米，长方形DEFG的长DG=5厘米，问长方形的宽DE为多少厘米？【练一练】两个相同的直角三角形叠放在一起，求阴影部分的面积。（单位：分米）【例4】两个正方形拼成一个图形，其中小正方形的边长是4厘米，求阴影部分的面积。【练一练】 如图，AE=ED，AF=FC，已知ABC的面积为100平方 厘米，求阴影部分的面积。三、 课后作业1.平行四边形的面积为50平方厘米，P是其中任意一点，求阴影部分的面积。2. 长方形ABCD，三角形ABG的面积为20平方厘米，三角形CDQ的面积为35平方厘米，求阴影部分的面积。3.ABCD是直角梯形，其中

28、AD=12厘米，AB=8厘米，BC=15厘米，且三角形ADE、四边形DEBF及三角形CDF的面积相等，三角形EBF（阴影部分）的面积是多少？4.如图，AD=2AB，CF=3AC，BE=4BC，已知ABC的面积为5平方厘米，求DEF的面积。5.如图，AB=4厘米，BC=6厘米，AC=2CD，BE=BD，求三角形ADE的面积。6.图中BD=2DC，AE=BE，已知三角形ABC的面积是18平方厘米，求四边形AEDC的面积是多少？第三讲 分数的基本性质第1课 分数的认识一、 知识要点1. 分数的意义和性质分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。（分母表示把一个物体平

29、均分成几份,分子是表示这样几份的数。把1平均分成分母份，表示这样的分子份。）分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数，叫做分数单位。分数的性质：分子与分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。2. 分数的分类 真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数。真分数大于1。 假分数：分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1或等于1。 带分数：带分数就是将一个分数写成整数部分+一个真分数。带分数与假分数的互换：带分数 假分数：分母不变,分子为整数部分乘以分母的积再加上原分子的和。 例：=假分数 带分数：分母不变,整数部分为原分子除以分母的商,分子则为原分子除以分母的余数

30、。 例：=带分数 真分数3. 计算方法：分数加减法（1） 同分母分数相加减，分母不变，即分数单位不变，分子相加减，最后要化成最简分数。 例：=（2） 异分母分数相加减，先通分，即运用分数的基本性质将异分母分数转化为同分母分数，改变其分数单位而大小不变，再按同分母分数相加减法去计算，最后要化成最简分数。 例：=分数乘除法（1） 分数乘整数，分母不变，分子乘整数，最后要化成最简分数。 例：=（2） 分数乘分数，用分子乘分子，用分母乘分母，最后要化成最简分数。 例：=（3） 分数除以整数，分母不变，如果分子是整数的倍数，则用分子除以整数，最后要化成最简分数。 例：=（4） 分数除以整数，分母不变，如

31、果分子不是整数的倍数，则用这个分数乘这个整数的倒数，最后要化成最简分数。 例：=（5） 分数除以分数，等于被除数乘除数的倒数，最后不是最简分数要化成最简分数。 例：=二、 典型例题分析【例1】分母是91的真分数有多少个？最简真分数有多少个？【练一练1】分子、分母的乘积是420的最简真分数共有多少个？【例2】把一个最简分数的分子加上1，这个分数就等于1。（1）如果把这个分数的分母加上1，这个分数就等于，原分数是多少？（2）如果把这个分数的分母加上2，这个分数就等于，原分数是多少？【练一练2】一个分数约分成最简分数是，原分子、分母的和是90，原分数是多少？【例3】分数的分子和分母都减去同一个整数，

32、所得的分数约分后是，求那个整数是多少？【练一练3】一个真分数的分子、分母是两个连续的自然数，如果分母加上4，这个分数约分后是，原来这个分数是多少？【例4】分数的分子减去某数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后为，求某数。【练一练4】一个分数，分子加上1可约分为，分子减去1可约分为，求这个分数。【练一练5】分数的分子、分母同时加一个自然数，新分数化简得一个分数；求这个自然数。【练一练6】是最简真分数，可取的整数共有多少个？三、 课后作业【1】分母是51的真分数有多少个？最简真分数有多少个？【2】一个最简分数的分子缩小5倍，分母扩大9倍后是，原分数是多少？【3】的分子、分母同时加上多少后可

33、以约分为？【4】一个分数，如果分子加上16，分母减去166，那么约分后是；如果分子加上124，分母加上340，那么约分后是，求原分数是多少？【5】填空题：（列式、计算、填空）(1)一个最简真分数的分子、分母之积是30，这个最简真分数是 。(2)分母是85的真分数共有 个，分母是85的最简真分数共有 个。(3)一个最简真分数，把它的分母扩大5倍，而分子缩小4倍，化简后是，求这个最简真分数是 。（4）一个最简真分数，分子、分母之和是15，这个最简真分数是 。【6】一个真分数的分子、分母是两个相邻的奇数，如果分母加上3后，这个分数约分为，求原分数是多少？【7】分数的分子、分母同时加同一个自然数，新分

34、数化简后得，求这个自然数。第2课 比较分数大小一、 知识要点1. 分数的基本性质分数的性质：分子与分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。2. 比较分数大小的基本方法 分母相同：分母相同的分数，比较分子，分子大的分数大。 分子相同：分子相同的分数，比较分母，分母小的分数大。 假分数与真分数：假分数大于真分数。3. 分子、分母都不同的两个分数：先通分，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。4. 比较分数大小的巧算： “通分子” 当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。 化为小数。

35、这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。 先约分，后比较。有时已知分数不是最简分数，可以先约分。 倒数比较大小。分数m和n，如果，那么mn。 大分数比较大小若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母与分子相加得到的和较大的分数比较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母与分子相加得到的和较小的分数比较大。 借助第三个数比较大小 对于分数m和n，若m-kn-k，则mn。对于分数m和n，若mk，kn，则mn。对于分数m和n，若k-mk-n，则mn。5. 典型8例题【例1】把下面每组中的分数按从大到小的顺序排列。（1）、 8，12，20，60=120

36、 = = = = （2）、 30，15，20，12=60 = = = = 【练一练1】把下面的分数按从小到大的顺序排列：、分数、中，哪一个最大？【例2】比较和的大小 1= 1= 【例3】已知a=，b=（m，n都是非零自然数，且mn），a，b的大小关系是（ ）A. 可能a=b B. a一定大于b C. 有时ab D. a一定小于b如果a=，b=，ba如果a=，b=，ba【练一练2】比较和的大小【练一练3】下列分数中最大的是（ ） A. B. C. D. 【例4】比大，比小，分子是17的分数共有多少个？ 2，1，17=34 = = 172=34 1192=591 1022=51 答：分母可以是：5

37、1，52，53，54，55，56，57，58，59共8个。【练一练4】在下面的中填入适当的整数，使不等式成立。【练一练5】在、这四个分？、数中，最大的是哪个？最小的是哪个？【练一练6】写出三个大于而小于的最简真分数。【练一练7】分子是3，比小，但与最接近的分数是哪一个？【练一练8】已知，c、g为连续自然数，求c和g。二、课后作业【1】将、从小到大排列，排在第三个位置上的数是多少？【2】把五个分数、按从小到大的顺序排列。【3】设a=，b=，试比较a与b的大小。【4】在下面的 中填入适当的整数，使不等式成立。里应填的整数有哪些？0.250.26【5】比较和的大小。【6】比大，比小，分母是40的最简

38、分数有多少个？【7】比较与的大小。【8】有七个数，是，其中的五个，已知从小到大排的第三个是，求从大到小排的第三个数。第四讲 行程问题第1课 行程中的追及问题一、 知识要点1. 行程中的基本数量关系：路程=速度时间2. 追及问题中的基本数量关系：路程差（追及路程）=速度差追及时间路程差（追及路程）速度差=追及时间路程差（追及路程）追及时间=速度差3. 追及问题中的应注意的规律： 追赶者所用的时间=被追赶都所用的时间=追及时间二、 典型例题追及时间【例1】一辆面包车的速度是每小时60千米，在面包车开出30分钟后，一辆小轿车以每小时84千米的速度从同一地点出发沿着同一路线行驶去追赶面包车，多长时间能

39、追上？先行30分钟小轿车面包车追及时间追 及 路 程 60（3060）=30（千米） 30（84-60）=1.25（小时） 1.25小时=1小时15分钟答：小轿车需要1小时15分钟追上面包车。解题过程中用到的公式路程差（追及路程）速度差=追及时间【练一练1】一个人骑自行车，一个人骑摩托车，两人同时从甲地出发去乙地。自行车每小时行18千米，摩托车每小时行45千米。自行车先出发1.5小时，摩托车沿着同一条路线追赶自行车，追上自行车时，摩托车行了多少千米？【例2】甲、乙两车同时、同地出发去同一目的地，甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米。途中甲车因故障修车用了3小时，结果甲车比乙车迟1小时到达

40、目的地。两地间的路程是多少千米？ 35（3-1）=352=70（千米） 70（40-35）=705=14（小时） 4014=560（千米） 答：两地间的路程是560千米。【练一练2】红星小学组织学生步行去郊游，步行的速度是每分钟60米，队尾的老师以每分钟150米的速度赶到排头，然后立即返回共用的了10分钟，学生的队伍有多长？【例3】兄弟两人同时离家去上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时，发现忘了带课本，立即沿原路回家去取，行到离学校180米处与妹妹相遇，他们家离学校有多远？1802（90-60）=36030=12（分钟） 9012-180=900（米） 答：他们家离学校

41、900米。【练一练3】小红每分钟行80米，小英每分行60米，两人在同一地点同时相背而行，走了3分钟后，小红掉头去追小英。追上小英时，两人各行了多少米？【例4】小华、小丽和小霞三人都要从甲地到乙地，早上6时小华和小丽两人一起从甲地出发，小华每小时走5千米，小丽每小时走4千米。小霞上午8时才从甲地出发。傍晚6时，小华和小霞同时到达乙地。小霞什么时间追上小丽的？18-8=10（小时） 8-6=2（小时） 5（2+10）10=6010=6（千米/小时） 42（6-4）=82=4（小时） 8+4=12答：小霞是12点追上小丽的。【练一练4】小明从家里出发，步行去公园。10分钟后，爸爸骑自行车从家里出发，

42、在离家800米的地方追上小明，发现忘了带照相机，立即回家去拿。拿到后立即追赶小明，在离家1200米的地方又追上小明，求两人的速度各是多少？【练一练5】猎狗追赶前方15米的野兔，猎狗步子大，它跑5步的路程兔子要跑8步，但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间，兔子能跑4步，猎狗至少跑多远才能追上野兔？【练一练6】甲乙两人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑了3秒钟，则甲跑6秒钟就追上乙。问甲、乙两人的速度各是多少？三、 课后作业【1】某小学有一个300米的环形跑道，扬扬和宁宁同时从起跑线起跑，扬扬每秒跑6米，宁宁每秒跑4米。问：扬扬第一次追上宁宁时两人各跑了多少米？【2】姐姐

43、步行的速度是每分75米，妹妹步行的速度为每分65米。在妹妹出发20分钟后，姐姐出发沿同一路线去追赶妹妹，她多长时间能追上?【3】一辆卡车以每小时64千米的速度开出1小时25分钟后，一辆吉普车以每小时82千米的速度追赶卡车。在吉普车赶上卡车2分钟前，两车相距多远？【4】一辆卡车以每小时30千米的速度从A地驶往B地，出发1小时后，一辆轿车以每小时50千米的速度也从A地驶往B地，比卡车早半小时到达B地。A、B两地相距多远？【5】小红每分钟行80米，小英每分钟行60米，两人在同一地点同时相背而行，走了3分钟后，小红掉头去追小英。追上小英时，两人各行了多少米？【6】一到队伍长450米，以每秒1.5米的速

44、度行进。一个战士因事需要从排尾赶到排头，并立即返回排尾。如果他的速度是每秒3米，那么，这位战士往返共需要多少时间？【7】快、中、慢三辆汽车同时从A地出发到B地去，出发后6分钟，快车超过了一名长跑运动员，过两分钟后中车也超过去了。又过了2分钟，慢车也超过去了。已知快车每分钟行驶1000米，中车每分钟行驶800米，慢车的速度是多少？【8】当甲在60米赛跑中冲过终点时，比乙领先10米，比丙领先20米。如果乙和丙按原来的速度继续冲向终点，那乙到终点时将比丙领先多少米？【9】好马每天走240里，劣马每天走150里，劣马先走12天，好马几天可以追上劣马？【10】哥哥放学回家，以每小时6千米的速度步行，18分钟后，弟弟也从同一所学校放学回家。弟弟骑自行车以每小时15千米的速度追哥哥。经过几分钟弟弟可以追上哥哥？