有理数知识总结及经典例题

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1、有理数一、学习目标：l 理解正负数的意义，掌握有理数的概念和分类；l 理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算；l 通过熟练运用法则进行计算的同时，能根据各种运算定律进行简便运算；l 通过本章的学习，还要学会借助数轴来理解绝对值，有理数比较大小等相关知识。二、重点难点：l 有理数的相关概念，如：绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等,有理数的运算；l 有理数运算法则尤其是加法法则的理解；有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便运算。三、学习策略：l 先通过知识要点的小结与典型例题练习，然后进行检测，找出漏洞，再进行针对性练习，从而达到内容系统化和应用的灵活性。四、

2、知识框架：五、 知识梳理1、知识点一：有理数的概念（一）有理数：（1）整数与分数统称_按定义分类： 按符号分类： 注：正数和零统称为_；负数和零统称为_正整数和零统称为_；负整数和零统称为_.（2） 认识正数与负数：正数：像1，1.1，2008等大于_的数，叫做_.负数：像-1，-1.1，-，-2008等在正数前面加上“”（读作负）号的数，叫_注意：_都大于零，_都小于零.“0”即不是_，也不是_.（3）用正数、负数表示相反意义的量：如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其_意义的量，如果负数表示某种意义的量，则正数表示其_意义的量.如：若-5米表示向东走5米，则+3米表示向_走3米； 若+

3、6米表示上升6米，则-2米表示_；+表示零上，-则表示_ .（4）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数、是整数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数（二）数轴（1）概念：规定了_ 、_和_的直线注：_、_、_称为数轴的三要素，三者缺一不可. 单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的 ，后者指所取度量单位的 ，即 是一条人为规定的代表“1的线段，这条线段 ，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.（2）数轴的画法及常见错误分析画一条水平的_；在这条直线上适当位置取一

4、实心点作为_：确定向右的方向为_，用_表示；选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的 要一致.数轴画法的常见错误举例：错例原因 不统一没有 （3）有理数与数轴的关系一切有理数都可以用数轴上的 表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数 ，正数都大于 ，负数都小于 ，正数大于一切负数.注意：数轴上的点不都是有理数，如.（三）相反数（1）相反数：只有 的两个数互称为相反数特别地，0的相反数是；若，则，反之亦然 .（2）相反数的性质：代数意义：只有 的两个数叫做互为相反数，特别地，O的相反数是0相反数必须 出现，不能单独存在例如+5和 互为相反数

5、，或者说+5是 的相反数，5是 的相反数，而单独的一个数不能说是 另外，定义中的“只有”指除 以外，两个数 ，注意应与“只要符号不同”区分开例如+3与3互为相反数，而+3与2虽然 不同，但它们不是相反数几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于 两侧，并且到原点的_相等这两点是关于_ 对称的求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“ ”号即可一般地，数a的相反数是 ；这里以a表示任意一个数，可以为 、 、负数，也可以是任意一个代数式注意a不一定是 注意：当a0时，a 0(正数的相反数是 数)；当a=0时，a O(0的相反数是 )；当a0时，a O (负数的相反数是 )互为相反数的两个数的和为

6、，即若a与b互为 ，则a+b=0，反之，若a+b=O，则a与b互为 多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部 ；一个正数前面有 个“”号，也可以把“”号全部去掉；一个正数前面有 个“”号，则化简后只保留一个“”号，即“ 负 正”（其中“奇偶”是指正数前面的“ ”号的个数的 ，“负正”是指化简的最后结果的 .（四）绝对值（1）绝对值的代数意义及几何意义 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是 ；一个负数的绝对值是它的 ；0的绝对值是 . 绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的 与_的距离.数a的绝对值记作 .注意：取绝对值也是一种 ，这个 符号是“ ”，求一个数的

7、绝对值，就是根据性质 绝对值符号. 绝对值具有 性，取绝对值的结果总是 .任何一个有理数都是由 部分组成： 和它的 ，如：5，符号是 ，绝对值是 .（2）字母a的绝对值的分类或或（3）利用绝对值比较两个负有理数的大小规则：两个负数，绝对值大的反而 .步骤：计算两个负数的 .比较这两个 的大小.写出正确的判断结果.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为 .例如：若2、知识点二：有理数运算（一）有理数比较大小（1）数轴上的数，右边的数总 左边的数（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；（3）两个负数，绝对值大的反而 ；（4）两数比较大小，可按符号情况分类： （二）有理数的加减法（1

8、）有理数加法法则同号两数相加，取相同的 ，并把绝对值 . 绝对值不相等的异号两数相加，取 的加数的符号，并用较大的 减去较小的 .一个数同0相加，仍得 .（2）有理数加法的运算步骤法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：确定和的 ；求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的 .（3）有理数加法的运算律两个加数相加，交换加数的位置， 不变.即a+b=b+a(加法 律) 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加， 不变.即 (a+b)+c=a+(b+c)（加法 律）（4）有理数加法的运算技巧 分数与小数均有时，应先化为 形式. 带分数可分为 与 两部分参与运算.

9、多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合 得 若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合 . 若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起. 相同的数可以先结合在一起.（5）有理数减法法则减去一个数，等于 ，即a-b=a+( )（6）有理数减法的运算步骤把减号变为加号（改变运算符号）把减数变为它的相反数（改变性质符号）把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.（7）有理数加减混合运算的步骤把算式中的减法转化为加法；省略加号与括号；利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上 ，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有 的运算，即变为求几个正数

10、，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式，例如：（+3）+（-0.15）+(-9)+(+5)+(-11)=3-0.15-9+5-11，它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和。（三）有理数的乘除法（1）有理数乘法法则两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把 相乘.任何数同 相乘，都得0.（2）有理数乘法的运算律两个数相乘，交换因数的位置，积相等.即ab= （乘法结合律）三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.即 abc= （乘法结合律）一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 即

11、 a(b+c)= （乘法分配律）（3）有理数乘法法则的推广几个不等于0的数相乘，积的符号由 的个数决定，当 的个数是偶数时，积为 ； 的个数是奇数时，积为 .几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为 .在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为 ，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为 ，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.（4）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 。即ab=a (b0)两数相除，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ， 除以任何一个不等于0的数，都得0.（5）倒数及有理数除法乘积为 的两个数互为倒数。倒数是 出现的，单独一个数不能称为倒数；互为倒数的两

12、个数的乘积一定 ； 没有倒数；求一个非零有理数的倒数，只要把它的分子和分母 即可（正整数可以看作分母为1的分数）。注意： 互为倒数，则；互为负倒数，则。反之亦然.有理数除法的运算步骤：首先确定商的 ，然后再求出商的绝对值.（四）有理数的乘方 （1）概念：求个相同因数的积的运算，叫做 ， 的结果叫做 ，在中，叫做 ，叫做 .（2）含义： 中，为底数，为指数，即表示的个数，表示有 相乘.例如：表示33333，(-3)表示（-3）（-3）（-3）（-3）（-3），特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号. 如(-2)表示 相乘，而-2则表示7个2相乘的积的 。当n为奇数时，(-a)= ；而当n为偶

13、数时，(-a)= .注意： 负数的奇次幂是 ，负数的 幂是正数。正数的任何次幂都是 ，0的任何次幂都是 ，任何不为0的数的0次幂都是 .（3）“奇负偶正”口诀的应用口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：多重负号的化简，这里奇偶指的是“”号的个数，例如：（3）= ，+（3）= .有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（3）（2）（6）= ，而（3）（2）6= .有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为 ；指数为偶数，则幂为 ，例如：（3）= ，（3）= .（4）有理数混合运算的运算顺序：先乘方

14、，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算.同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，应先算 级运算，然后 级，最后 级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，应先算_括号里的，再算 括号里的，最后算 括号里的. 以上运算顺序可以简记为：“从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）”.（五）近似数、有效数字和科学记数法（1）科学记数法：把一个大于10的数表示成 的形式（其中，是整数），此种记数法叫做科学记数法.例如：200000=就是科学记数法表

15、示数的形式. 又如：10200000= 也是.（2）有效数字：从一个数的左边第一个 数字起，到 止，所有数字都是这个数的 。如：0.00027有 个有效数字：_;1.2027有 个有效数字： .注意：万= ，亿= 六、 经典例题1、类型一：正数与负数的意义例1一个物体沿着东西两个相反方向运动，如果把向东的方向规定为正，那么走6km，走-4.5km，走0km的意义各是什么？思路点拨： 正数与负数可表示具有相反意义的量，正数表示向东运动，则负数表示 运动 .0表示原地不动，0表示正数与 的分界，在实际问题中也有确定的意义. 解析： 总结升华： 举一反三：【变式1】博然的父母6月份共收入4800元，

16、可以将这笔收入记作+4800元；由于天气炎热，博然家用其中的1600元钱买了一台空调，又该怎样记录这笔支出呢?解析：【变式2】某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：10、5、0、8、3，又知记为0的实际成绩表示90分，正数表示超过90分，则这五位同学的平均成绩为多少分？ 解析：2、类型二：有理数的分类例2把下列各数填入相应的括号内：+6，0.35，-1，-7.82，0，97，.整数集合： ；非负集合： ；分数集合： ；负数集合： .思路点拨：根据有理数的分类标准，将所给数进行分类填整数集合时，不能漏掉“ ”；填集合时，最后要加“”，“非负数”不要仅理解为正数， 既不是正数，也不是负数，属于“非

17、负”范围内的数；负数包括 和 .解析：总结升华： 举一反三：【变式】（1）最小的正整数是 ：最大的负整数是 ；最小的整数是 ；最小的正数是 ；最大的负数是 ；最小的有理数 ；绝对值最小的有理数是 。（2）一个数的相反数等于它本身，这个数是 ；一个数的绝对值等于它本身，这个数是 ；一个数的绝对值等于它的相反数，这个数是 ；一个数的倒数等于它本身，这个数是 ；一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方等于它的绝对值，这个数是 ；一个数的平方等于它的相反数，这个数是 ；一个数的立方等于它本身，这个数是 。解析：3、类型三：多重符号的化简例3、化简下列各数：思路点拨：多重符号的化简是由“ ”的个

18、数来定，若“-”个数是 个时，化简结果为正；若 “-”个数是奇数个时，化简结果为 。解析：总结升华： 举一反三：【变式1】【变式2】说出下列各式的意义，然后化简：(1)-(-3) (2)+-(+5)；(3)-(-6)（共n个负号）4、类型四：有理数的大小比较例4在数轴上画出表示下列各数的点，并用“ ”连接起来； 思路点拨：首先画出数轴，三要素要齐全；再把各数在数轴上的对应点找出来；然后根据这些数在数轴上的位置顺序比较大小，再用“ ”连接起来. 解析：总结升华： 举一反三：【变式】利用绝对值比较下列有理数的大小 . （1）-0.6，-60 （2） 思路点拨：比较负数的大小，先求出各数的 ，关键是

19、比较绝对值的大小，绝对值大的反而 ，比较分数大小，一般要化成同 的分数来比较.解析5、类型五：绝对值的概念例5若+|2b+5|=0,计算2a-b的值. 思路点拨：从表面看条件比较复杂，但根据绝对值的非负性，可求出a,b值。解析：总结升华： 举一反三：【变式1】若，化简：解析：【变式2】代数式的最小值为 。解析： 【变式3】a，b在数轴上的位置如图（1）化简： 。（2）比较大小：；。解析：5、类型六：相反数，倒数的概念例6已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，且，那么的值为 。思路点拨：根据相反数与倒数的意义可得：互为相反数的两数的和为 ，互为倒数的两数之积为 . 解析：总结升华： 举一反三：【

20、变式】已知三个互不相等的有理数，即可以表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，b的形式，且x的绝对值为2，求的值解析：7、类型七：有理数的混合运算例7、计算思路点拨：本题有五种运算， 因为有括号，应先算括号里面的，括号里面显然又要先算_，接着算_法，再算_法注意除法运算，要把除法转化为_解：总结升华： 举一反三：【变式】计算下列各式的值：（1）；（2）；（3）； （4）；（5）解析： 8、类型八：科学计数法，有效数字与近似数例8某市2008年的国民生产总值约为333.9亿元，预计2009年比上一年增长10%，则2009年这个市的国民生产总值应是（结果保留3个有效数字） 元。解析：总结升华：

21、举一反三：【变式1】国家AAAA级旅游区东江湖的蓄水量为81.2亿立方米，81.2亿这个数用科学记数法表示为 立方米。答案： 【变式2】精确到万位为： ,有效数字为： .答案：9、类型九：规律探索例9观察下列式子： 请你将猜想到的规律用自然数n表示出来 思路点拨：发现已给出的几个式子的规律：等号左边是 ，右边是 . 本题考查的知识点是有理数的乘方运算能力及归纳的思想方法。解：总结升华： 举一反三：【变式1】观察下列等式：9-1=8 16-4=12 25-9=16 36-16=20 这些等式反映自然数间的某种规律，设表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为 解析：【变式2】（1）在一列数：2，中，第n个数（n为正整数）是 。（2）观察一列有规律的数2，4，8，16，32，它的第2009个数是（ ）A B C D解析：【变式3】观察下列各式：猜想： 。答案：【变式4】小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入12345输出那么，当输入数据是8时，输出的数据是 ；当输入数据是n（n是正整数）时，输出的数据是 。解析：【变式5】观察：，将以上三个等式两边分别相加得：。猜想并写出： 。直接写出下列各式的计算结果： 。 。探究计算：。答案：