二次函数图像与性质1

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1、 二次函数的图二次函数的图象和性质（象和性质（1）(1)观察y=x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：x-3-2-10123y=x29410149(2)在直角坐标系中描点（按x的值从小到大，从左到右描点）(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象（能用直线连接吗？）议一议议一议对于二次函数y=x2的图象，(1)你能描述图象的形状吗?(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?(3)当x0时呢?(4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流可以看出，二次函

2、数可以看出，二次函数y=x2的图像是一条曲的图像是一条曲线，它的形状类似于投篮球或掷铅球时球线，它的形状类似于投篮球或掷铅球时球在空中所经过的在空中所经过的 路线，只是这条曲线开路线，只是这条曲线开口向上。这条曲线叫做抛物线口向上。这条曲线叫做抛物线y=x2。实。实际上，二次函数的图像都是抛物线，它们际上，二次函数的图像都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下。一般的，二次的开口或者向上或者向下。一般的，二次函数函数y=ax2+bx+c的图像叫做抛物线的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c二次函数y=x2的图象是抛物线.（1）抛物线的开口向上；（2）它的图象有最低点，最低点的坐标是（0，0）；（3

3、）它是轴对称图形，对称轴是y轴。在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大。（4）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）；（5）因为图像有最低点，所以函数有最小值，当x=0时，y最小0.在同一直角坐标系中，画出函数y=x2，y=2x2的图象。21x-4-3-2-101234y=x2 210212122292988x-2-1.5-1-0.500.511.52y=2x2 0212122292988-121-6-4-2246x987654321yy=2x2y=x2021-6-4-2246x987654321

4、yy=2x2y=x20当a0，图象开口向上顶点是抛物线的最低点，a越大开口越小反之越大对称轴做一做做一做二次函数的图象y=-x是什么形状?先想一想,然后作出它的图象 它与二次函数y=x的图象有什么关系?与同伴交流。总结：总结：二次函数二次函数y=-x2的图象是抛物线的图象是抛物线.（1）抛物线的开口向下；（2）它的图象有最高点，最高点的坐标是（0，0）；（3）它是轴对称图形，对称轴是y轴。在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少。2（4）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最高点，坐标为（0，0）；（5）因为图像有最高点

5、，所以函数有最大值，当x=0时，y最大0.探究探究 画出函数画出函数y=-x2,y=-x2,y=-2x2的图象，并考虑的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点。这些抛物线有什么共同点和不同点。x-3-2-10123y=-x2 -9-4-10-1-4-9x-4-3-2-101234y=-x2 2102121-2-22929-8-8x-2-1.5-1-0.500.511.52y=-2x2 02121-2-22929-8-8211-1-2-3-4-5-6-7-8-9-8-6-4-22468yx021y=-x2 y=-x2 y=-2x2当当a0时，图时，图象开口向下，象开口向下，顶点是抛物线顶点是

6、抛物线的最高点，的最高点，a越大，抛物线越大，抛物线的开口越大。的开口越大。对称轴（1）说出这两个函数图像的开口方向、对称）说出这两个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标轴和顶点坐标（2）抛物线）抛物线y=x2，当，当x 时时,抛物线上的抛物线上的点都在点都在x轴上方轴上方;当当x0时时;曲线自左向右逐渐曲线自左向右逐渐 它的顶点是图像的最它的顶点是图像的最 点。点。12（3）函数）函数y=-2x2，对于一切，对于一切x的值，总有函数的值，总有函数值值y 0，当，当x 0时，时，y随随x的增大而的增大而 ；当；当x 时，时，y有最有最 值，是值，是108642-2-4-6-8-10-12-10

7、-5510 xy y=x2 y=-x2 y=x2与与y=-x2关于关于x轴对称轴对称观察函数观察函数y=x2、y=-x2、y=x2、y=-2x2的图像，并考虑这些抛物线有什么的图像，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点共同点和不同点12总结：总结：二次函数二次函数y=ax2(a0)的图像是一条抛物线，的图像是一条抛物线，它的对称轴是它的对称轴是y轴，顶点是坐标原点（轴，顶点是坐标原点（0，0）当当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2的开口向上的开口向上,a越大越大，抛物线的开口越小；在对称轴的左边，曲，抛物线的开口越小；在对称轴的左边，曲线自左向右下降，函数线自左向右下降，函数y随随x的增大而减

8、小；的增大而减小；在对称轴的右边，曲线自左向右上升，函数在对称轴的右边，曲线自左向右上升，函数y随随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，此时，函数，此时，函数y取得最小值取得最小值0.当当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2的开口向下，的开口向下，a越大，越大，抛物线的开口越大；在对称轴的左边，曲抛物线的开口越大；在对称轴的左边，曲线自左向右上升，函数线自左向右上升，函数y随随x的增大而增大；的增大而增大；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，函在对称轴的右边，曲线自左向右下降，函数数y随随x的增大而减小。顶点是抛物线上位的增大而减小。顶点是抛物线上位置最高的点，此时，函数置最高的点，此时，函数y取得最大值取得最大值0.