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1、数学归纳法、极限要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.（2）了解数列极限和函数极限的概念.（3）掌握极限的四则运算法则，会求某些数列与函数的极限.（4）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.极限的概念和方法是近代数学的核心内容，微积分学的基本概念、基本方法在现代实践中越来越多的被应用，并在现代数学及相关学科的研究中不断得到进一步的发展.本章的主要内容由两部分组成:一是数学归纳法，二是极限.学习极限时要注意数列极限和函数极限的联系和区别、函数的极限与函数连续性的渐进性.1.数学归纳法的定义：由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面
2、的证明方法：（1）先证明当n=n0（n0是使命题成立的最小自然数）时命题成立；（2）假设当n=k（kN N*，kn0）时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法.2.数学归纳法的应用：证恒等式；证恒等式；整除性的整除性的证明；证明；探求平面几何中的问题；探求平面几何中的问题；探求数列的探求数列的通项；通项；不等式的证明不等式的证明.特别提示特别提示:证题时要注意两凑：证题时要注意两凑：一凑一凑归纳假设；归纳假设；二凑二凑目标目标.1.凸n边形有f（n）条对角线，则凸n+1边形有对角线条数f（n+1）为 A.f（n）+n+1 B.f（n）+n C
3、.f（n）+n1 D.f（n）+n2 2 2.用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+n）=2n13（2n1）”，从“k到k+1”左端需增乘的代数式为A.2k+1 B.2（2k+1)C.D.3 3.（2004年春季上海，8）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有 个点.112kk132kk【例1】（2003年全国）设a0为常数，且an=3n12an1（nN*）.证明：n1时，an=3n+（1）n12n+（1）n2na0.剖析：给出了递推公式，证通项公式，可用数给出了递推公式，证通项公式，可用数学归纳法证学归纳法证 评述：由由n n=k k正确正确n n=k k+1+
4、1时也正确是证明的关键时也正确是证明的关键 注：本题也可用构造数列的方法求an 怎么解？关键是转化成 an+1=c an+d 型【例2】（2004年重庆，22）设数列an满足a1=2，an+1=an+（n=1，2，）.（1）证明an n 对一切正整数n都成立；（2）令bn n=（n=1，2，），判定bn n与bn n+1+1的大小，并说明理由.na112 nnan1.数学归纳法中的归纳思想是比较常见的数学思想，因此要重视；用数学归纳法证明问题应注意：（1）第一步验证n=n0时，n0并不一定是1（2）第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清由k到k+1时命题的变化（3）由假设n=k时命题成立
5、，证n=k+1时命题也成立，要充分利用归纳假设，要恰当地“凑”出目标.2.归纳、猜想、论证是培养学生观察能力、归纳能力以及推理论证能力的方式之一.数学归纳法在考试中时隐时现，且较隐蔽，因此在复习中应引起重视.只要与自然数有关，都可考虑数学归纳法，当然主要是恒等式、等式、不等式、整除问题、几何问题、三角问题、数列问题等联系得更多一些.如果命题P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，现已知P（n）对n=4不成立，则下列结论正确的是 A.P（n）对nN N*成立 B.P（n）对n4且nN N*成立 C.P（n）对n4且nN N*成立 D.P（n）对n4且nN N*不成立.已知y=f（x）满足f（n1）=f（n）lgan1（n2，nN N）且f（1）=lga，是否存在实数、使f（n）=（n2+n1）lga对任何nN N*都成立，证明你的结论.=，=2121.是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.如下图，设P1，P2，P3，Pn，是曲线y=上的点列，Q1，Q2，Q3，Qn，是x轴正半轴上的点列，且OQ1P1，Q1Q2P2，Qn1QnPn，都是正三角形，设它们的边长为a1，a2，an，求证：a1+a2+an=n（n+1）.xyOP1Q1P2Q2P3Q3
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