专题一 第2讲 不等式与线性规划

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1、专题一 集合与常用逻辑用语、不等式第 2讲 不等式与线性规划主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题等式及线性规划问题.基本不等式主要考查求最基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空

2、题的形式呈现，属中档题空题的形式呈现，属中档题.考情解读主干知识梳理1.四类不等式的解法四类不等式的解法(1)一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法先化为一般形式先化为一般形式ax2bxc0(a0)，再求相应一，再求相应一元二次方程元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相的根，最后根据相应二次函数图象与应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集不等式的解集.(2)简单分式不等式的解法简单分式不等式的解法变形变形 0(0(1时，时，af(x)ag(x)f(x)g(x)；当当0aag(x)f(x)1时，时，logaf(x)logag(x)f(x)g

3、(x)且且f(x)0，g(x)0；当当0alogag(x)f(x)0，g(x)0.2.五个重要不等式五个重要不等式(1)|a|0，a20(aR).(2)a2b22ab(a、bR).3.二元一次不等式二元一次不等式(组组)和简单的线性规划和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等性目标函数、可行域、最优解等.(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：画出可行域；画出可行域；根据线性目标函数的几何意义确根据线性目标函数的几何意义确定最优解；定最优解；求出目标函数的最大

4、值或者最小值求出目标函数的最大值或者最小值.4.两个常用结论两个常用结论(1)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是恒成立的条件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是恒成立的条件是 热点一 一元二次不等式的解法 热点二 基本不等式的应用 热点三 简单的线性规划问题热点分类突破热点一 一元二次不等式的解法例1(1)(2013安徽安徽)已知一元二次不等式已知一元二次不等式f(x)0的解集为的解集为()A.x|xlg 2B.x|1xlg 2D.x|x0.D(2)已知函数已知函数f(x)(x2)(axb)为偶函数，且在为偶函数，且在(0，)单调递增，则单调递增，则f(2x)0的解集为的解集为()A

5、.x|x2或或x2B.x|2x2C.x|x4D.x|0 x0.解析由题意可知由题意可知f(x)f(x).即即(x2)(axb)(x2)(axb)，(2ab)x0恒恒成立，成立，故故2ab0，即，即b2a，则，则f(x)a(x2)(x2).又函数在又函数在(0，)单调递增，所以单调递增，所以a0.f(2x)0即即ax(x4)0，解得，解得x4.故选故选C.答案C二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点，也是高考的热点，“三个二次三个二次”的相互转化体现的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法了转化与化归的数学思想方法.思维升华解析原不等式

6、等价于原不等式等价于(x1)(2x1)0或或x10，即即 x0.若若pq为真命题为真命题，则实数则实数m的取值范围是的取值范围是()A.(，2)B.2,0)C.(2,0)D.0,2解析pq为真命题，等价于为真命题，等价于p，q均为真命题均为真命题.命题命题p为真时，为真时，m0；命题命题q为真时，为真时，m240，解得，解得2m2.故故pq为真时，为真时，2m0.C热点二 基本不等式的应用例2(1)(2014湖北湖北)某项研究表明：在考虑行车安某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆点的车辆数，单位：

7、辆/时时)与车流速度与车流速度v(假设车辆假设车辆以相同速度以相同速度v行驶，单位：米行驶，单位：米/秒秒)、平均车长、平均车长l(单位：单位：米米)的值有关，其公式为的值有关，其公式为F如果不限定车型，如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为，则最大车流量为_辆辆/时；时；如果限定车型，如果限定车型，l5，则最大车流量比，则最大车流量比中的最中的最大车流量增加大车流量增加_辆辆/时时.思维启迪 把所给把所给l值代入，分子分母同除以值代入，分子分母同除以v，构造基本不等式的，构造基本不等式的形式求最值；形式求最值；当且仅当当且仅当v11 米米/秒时等号成立，此时车流量最秒时等号成立，此时车流

8、量最大为大为1 900辆辆/时时.当且仅当当且仅当v10 米米/秒时等号成立，此时车流量最大秒时等号成立，此时车流量最大为为2 000 辆辆/时时.比比中的最大车流量增加中的最大车流量增加100 辆辆/时时.答案1 900100思维启迪 关键是寻找关键是寻找 取得最取得最大值时的条件大值时的条件.解析由已知得由已知得zx23xy4y2，(*)当且仅当当且仅当x2y时取等号，把时取等号，把x2y代入代入(*)式，得式，得z2y2，答案B在利用基本不等式求最值时在利用基本不等式求最值时,要特别注意要特别注意“拆、拆、拼、凑拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中等技巧，使其满足基本不等式中“正正”(即

9、条件要求中字母为正数即条件要求中字母为正数)、“定定”(不不等式的另一边必须为定值等式的另一边必须为定值)、“等等”(等号取得的等号取得的条件条件)的条件才能应用，否则会出现错误的条件才能应用，否则会出现错误.思维升华变式训练2(1)若点若点A(m，n)在第一象限，且在直线在第一象限，且在直线 1上，上，则则mn的最大值为的最大值为_.解析因为点因为点A(m，n)在第一象限，且在直线在第一象限，且在直线1上，上，所以所以mn的最大值为的最大值为3.答案3答案B热点三 简单的线性规划问题例3(2013湖北湖北)某旅行社租用某旅行社租用A、B两种型号的客车安两种型号的客车安排排900名客人旅行，名

10、客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为两种车辆的载客量分别为36人人和和60人，租金分别为人，租金分别为1 600元元/辆和辆和2 400元元/辆，旅行辆，旅行社要求租车总数不超过社要求租车总数不超过21辆，且辆，且B型车不多于型车不多于A型车型车7辆辆.则租金最少为则租金最少为()A.31 200元元 B.36 000元元C.36 800元元 D.38 400元元思维启迪 通过设变量将实际问通过设变量将实际问题转化为线性规划问题题转化为线性规划问题.解析设租设租A型车型车x辆，辆，B型车型车y辆时租金为辆时租金为z元，元，画出可行域如图画出可行域如图所以所以zmin51 6002 40012

11、36 800，故租金最少为故租金最少为36 800元元.答案C(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围取值范围.(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解函数的最优解.(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数和目标函数.思维升华变式训练 3 解析

12、画出可行域，如图所示画出可行域，如图所示.w 表示可行域内的点表示可行域内的点(x，y)与定点与定点P(0，1)连线的斜率，连线的斜率，观察图形可知观察图形可知PA的斜率最小为的斜率最小为 1，故选故选D.答案D解析当当m0时，若平面区域存在，时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点在点P(x0，y0)满足满足x02y02，因此，因此m0.如图所示的阴影部分为不等式组表示如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域的平面区域.答案C1.几类不等式的解法几类不等式的解法一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程一元二次不

13、等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与的根，也是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐轴交点的横坐标，即二次函数的零点；分式不等式可转化为整式标，即二次函数的零点；分式不等式可转化为整式不等式不等式(组组)来解；以函数为背景的不等式可利用函来解；以函数为背景的不等式可利用函数的单调性进行转化数的单调性进行转化.本讲规律总结2.基本不等式的作用基本不等式的作用二元基本不等式具有将二元基本不等式具有将“积式积式”转化为转化为“和式和式”或将或将“和式和式”转化为转化为“积式积式”的放缩功能，常常用于比较数的放缩功能，常常用于比较数(式式)的大小或证的大小或证明不等式或求函数的

14、最值或解决不等式恒成立问题明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题.解决问题的解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创造基本不等式的应用背景，择好利用基本不等式的切入点，并创造基本不等式的应用背景，如通过如通过“代换代换”、“拆项拆项”、“凑项凑项”等技巧，改变原式的结等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件构使其具备基本不等式的应用条件.利用基本不等式求最值时要利用基本不等式求最值时要注意注意“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可的条件，三个条

15、件缺一不可.3.线性规划问题的基本步骤线性规划问题的基本步骤(1)定域定域画出不等式画出不等式(组组)所表示的平面区域，注意平面所表示的平面区域，注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应；区域的边界与不等式中的不等号的对应；(2)平移平移画出目标函数等于画出目标函数等于0时所表示的直线时所表示的直线l，平行移，平行移动直线，让其与平面区域有公共点，根据目标函数的几何动直线，让其与平面区域有公共点，根据目标函数的几何意义确定最优解，注意要熟练把握最常见的几类目标函数意义确定最优解，注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义；的几何意义；(3)求值求值利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标，利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最值代入目标函数，求出最值.真题感悟 押题精练真题与押题12真题感悟12真题感悟解析因为因为0a1，axy.采用赋值法判断，采用赋值法判断，A中，当中，当x1，y0时，时，1，A不成立不成立.B中，当中，当x0，y1时，时，ln 10，真题感悟21押题精练12押题精练12押题精练12所以促销费用投入所以促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，万元时，厂家的利润最大，故选故选A.答案A押题精练12押题精练12如图画出不等式组所表示的可行域，如图画出不等式组所表示的可行域，押题精练12答案6