材料力学-压杆稳定问题.ppt

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1、1,材 料 力 学,2020年9月13日,第九章 压 杆 稳 定,2,第九章 压杆稳定,本章内容: 1 压杆稳定的概念 2 两端铰支细长压杆的临界压力 3 其他支座条件下细长压杆的临界压力 4 欧拉公式的适用范围 经验公式 5压杆的稳定校核 6提高压杆稳定性的措施 7纵横弯曲的概念,3,9. 1 压杆稳定的概念,前面各章节讨论了构件的强度和刚度问题。 本章讨论受压杆件的稳定性问题。,稳定性问题的例子,平衡形式突然改变,丧失稳定性,失稳,4,平衡形式突然改变,丧失稳定性,失稳,构件的失稳通常突然发生，,所以，其危害很大。,1907年加拿大劳伦斯河上，跨度为548米的魁北 克大桥，因压杆失稳，导致

2、整座大桥倒塌。,脚手架倒塌,平衡的稳 定性,5,平衡的稳定性,稳定平衡,不稳定平衡,随遇平衡,压杆的平衡 稳定性,当 P Pcr,当 P Pcr,6,压杆的平衡 稳定性,临界压力 Pcr,当 P Pcr时，,压杆的直线平衡状态是稳定的。,当 P Pcr时，,直线平衡状态转变为不稳定的，,受干扰后成为微弯平衡状态。,使直线平衡状态是稳定平衡状态的最大压力， 也是在微弯平衡状态下的最小压力。,当 P Pcr,当 P Pcr,7,9. 2 两端铰支细长压杆的临界压力,两端铰支杆受压 力P作用,考察微弯平衡状态,x处截面的弯矩,挠曲线近似微分,I 为截面最小的惯性矩,方程,8,引入记号,通解为,其中，

3、A、B为积分常数，由边界条件确定。,边界条件为:,时，,时，,将,代入通解,将,代入通解,9,边界条件为:,时，,时，,将,代入通解,将,代入通解,因,所以应有,代入,因为临界压力是微弯平衡状态下的最,小压力，,所以，应取 n = 1 。,10,代入,因为临界压力是微弯平衡状态下的最,小压力，,所以，应取 n = 1 。,这就是两端铰支细长压杆的临界压力公式。, 欧拉公式,当取 n = 1 时，由,则，挠曲线方程为,11,当取 n = 1 时，由,则，挠曲线方程为,其中，A为杆中点的挠度。 A的数值不确定。,欧拉公式与精确解曲线,精确解曲线,理想受压直杆 非理想受压直杆,时，,12,9. 3

4、其他支座条件下细长压杆的临界压力,1 一端固支一端自由的压杆,2 一端固支一端滑动固支 （简称为两端固支）,由两端铰支压杆的临界 压力公式,13,2 一端固支一端滑动固支 （简称为两端固支）,拐点处弯矩为零。,3 一端固支一端铰支,由两端铰支压杆的临界 压力公式,14,3 一端固支一端铰支,4 欧拉公式的普遍形式, l 相当长度； 长度系数。,由两端铰支压杆的临界 压力公式,15,表14.1 压杆的长度系数 ,4 欧拉公式的普遍形式, l 相当长度； 长度系数。,16,例 1(书例 14.2 ),已知: 两端固支压杆，E, I，l。,求：临界压力。,解：,考察微弯平衡状态,x 处截面的弯矩,挠

5、曲线近似微分方程,两端的水平约束力为零,17,挠曲线近似微分方程,引入记号,通解为,其中，A、B为积分常数，由边界条件确定。,18,通解为,其中，A、B为积分常数，由边界条 件确定。,边界条件为:,时，,时，,将边界条件代入通解,又,代入,19,通解为,边界条件为:,时，,时，,将边界条件代入通解,又,代入,代入,代入通解,20,最小非零解为,代入,21,9. 4 欧拉公式的适用范围 经验公式,1 临界应力,临界压力,临界应力,将惯性矩写为,i 惯性半径,22,将惯性矩写为,i 惯性半径,柔度 (长细比),柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全 面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形 状

6、对临界应力的影响。,23,柔度 (长细比),柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全 面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形 状对临界应力的影响。,则临界应力为, 欧拉公式,2 欧拉公式的适用范围,导出欧拉公式用了挠曲线近似微分方程,要求材料满足胡克定律,24,2 欧拉公式的适用范围,导出欧拉公式用了挠曲线近似微分方程,要求材料满足胡克定律,即：,记：,则欧拉公式成立的条件为：,可以看出：1 只与材料的性质有关。,25,记：,则欧拉公式成立的条件为：,可以看出：1 只与材料的性质有关。,对A3钢：E = 206 GPa，p = 200 Mpa,3 直线经验公式,对于 cr p 的情况，欧拉

7、公式不成立。 工程上使用经验公式。,直线经验公式,26,3 直线经验公式,对于 cr p 的情况，欧拉公式不成立。 工程上使用经验公式。,直线经验公式,式中, a, b是与材料有关的常数(表14.2, p162)。,27,直线经验公式,式中，a, b 是与材料性质有关的常数。,直线经验公式的适用范围,用直线经验公式时，应有,记：,则直线经验公式的适用范围为：,当 2 时，就发生强度失效，而不是失稳。,28,记：,则直线经验公式的适用范围为：,当 2 时，就发生强度失效，而不是失稳。,所以应有:,不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公 式。可根据柔度将压杆分为三类,(1) 大柔度杆(细长杆),

8、 1 的压杆,(2) 中柔度杆, 2 1 的压杆,4 压杆分类,29,4 压杆分类,不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公 式。可根据柔度将压杆分为三类,(1) 大柔度杆(细长杆), 1 的压杆,(2) 中柔度杆, 2 1 的压杆,(3) 小柔度杆(短粗杆), 2 的压杆,5 临界应力总图,30,5 临界应力总图,大柔度杆,小柔度杆,中柔度杆,31,临界应力计算的小结,对 1 的大柔度压 杆，临界应力公式为, 1 2 的中柔度压杆，临界应力公式为, 2 的小柔度压杆，临界应力公式为,32, 1 2 的中柔度压杆，临界应力公式为, 2 的小柔度压杆，临界应力公式为,6 抛物线经验公式,抛物线经

9、验公式为,式中，a1 , b1 是与材料性质有关的常数。,说明,若压杆的局部有截面被削弱的情况，则：,33,6 抛物线经验公式,抛物线经验公式为,式中，a1 , b1 是与材料性质有关的常数。,说明,若压杆的局部有截面被削弱的情况，则：,进行稳定性计算时，可忽略若压杆的局部削 弱，仍用原来截面的面积和惯性矩计算临界 应力； 进行强度计算时，应按削弱后的面积计算。,34,压杆柔度,的四种取值情况,临界柔度,比例极限,屈服极限,临界应力,35,9. 5 压杆的稳定校核,工作安全系数,稳定安全系数,稳定校核,满足稳定性要求时，应有:,稳定安全系数与强度安全系数的取值,强度安全系数取值 1.2 2.5

10、，有时可达 3.5； 稳定安全系数取值 2 5，有时可达 8 10。,36,压杆稳定问题的解题步骤,1 稳定校核问题 1)计算 1 ， 2， ； 2)确定属于哪一种杆(大柔度，中柔度， 小柔度) ； 3)根据杆的类型求出 cr 和 Pcr ; 4)计算杆所受到的实际压力 P； 5)校核 n = Pcr /P nst 是否成立。,稳定安全系数与强度安全系数的取值,强度安全系数取值 1.2 2.5，有时可达 3.5； 稳定安全系数取值 2 5，有时可达 8 10。,37,1 稳定校核问题 1)计算 1 ， 2， ； 2)确定属于哪一种杆(大柔度杆，中柔度杆， 小柔度杆) ； 3)根据杆的类型求出

11、cr 和 Pcr ; 4)计算杆所受到的实际压力 P； 5)校核 n = Pcr /P nst 是否成立。,2 确定许可载荷 前3步同稳定校核问题； 4) P Pcr / nst 。,38,2 确定许可载荷 前3步同稳定校核问题； 4) P Pcr / nst 。,3 截面设计问题 1)计算实际压力 P ； 2)求出 Pcr： Pcr = nst P； 3)先假设为大柔度杆，由欧拉公式求出 I,进一步求出直径 d (若为圆截面杆) ; 4)计算 1 和 ； 5)检验 1 是否成立。若成立，则结束;,39,3)先假设为大柔度杆，由欧拉公式求出 I, 进一步求出直径 d (若为圆截面杆) ; 4)

12、计算 1 和 ； 5)检验 1 是否成立。若成立，则结束;,6) 若 1 不成立，则设为中柔度杆，按经 验公式求出直径 d (若为圆截面杆) ;,7)计算 2 ； 8)检验 2 是否成立。 若成立，则结束。,40,6) 若 1 不成立，则设为中柔度杆，按经 验公式求出直径 d (若为圆截面杆) ;,7)计算 2 ； 8)检验 2 是否成立。 若成立，则结束。,稳定性计算的折减系数法,这里， 称为稳定系数，与材料、截面形状及 柔度有关；f 为强度设计值，与材料有关。,按静强度设计的方法设计受压杆,41,例 1(书例 9.4 ),已知: 空气压缩机的活塞杆由45钢制成，ss = 350 Mpa ,

13、 sp = 280 MPa, E=210GPa。长度l = 703 mm, 直径d = 45 mm。最大压力 Pmax=41.6kN。 稳定安全系数为 nst = 810。,求： 试校核其稳定性。,解：,1 求 1,2 求 ,活塞杆可简化为两端铰支杆,42,1 求 1,2 求 ,活塞杆可简化为两端铰支杆,惯性半径,对圆轴,柔度 ,43,1 求 1,2 求 ,柔度 ,因为,，所以不是大柔度杆。,3 求 2,采用直线经验公式。,由表14.2 查得(45钢属优质碳钢)：,所以，是中柔度杆。,44,3 求 2,采用直线经验公式。,所以，是中柔度杆。,4 求临界应力,采用直线经验公式。,5 求临界压力,

14、6 稳定校核,满足稳定要求。,45,例 2(书例 9.5 ),已知: 活塞直径 D= 65 mm，p=,求： 活塞杆直径d 。,解：,这是截面设计问题。,临界压力的最大值为,先假设为大柔度杆,1.2MPa, l=1250mm, 45钢，sp = 220MPa, E= 210GPa, nst = 6。,活塞杆所受压力,用欧拉公式计算临界压力,46,解：,这是截面设 计问题。,临界压力的最大值为,先假设为大柔度杆,活塞杆所受压力,用欧拉公式计算临界压力,活塞杆可简化为两端铰支杆,取,47,活塞杆可简化为两端铰支杆,取,根据求出的d计算柔度,计算 1,因为,，是大柔度杆。,以上计算正确。,48,练习

15、,材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根最不容易失稳。,49,稳定设计的折减系数法,按静强度设计的方法设计受压杆, f,FN, A,FN为压杆的轴力；称稳定因数, 与压杆材料、截面形状及柔度有关；f为强度设计值,与材料有关。 f和可在有关规范中查到。,50,51,补充题 截面为圆形，直径为 d 两端固定的细长压杆和 截面为正方形，边长为d 两端绞支的细长压杆，材料及柔度 都相同，求两杆的长度之比及临界力之比。,解：,圆形截面杆：,正方形截面杆：,由 1 = 2 得,所以,52,53,解：,用欧拉公式计算该杆的临界力的条件为,54,例题3 图示绞结构，若CD杆直径 d=40mm，材料的弹性

16、模量 E=200GPa，极限柔度 P =124。试计算压杆CD失稳时 主动力P的数值。,55,解：取 AB 为研究对象,列平衡方程,56,可用欧拉公式计算临界力,57,例题4 图示立柱CD为外径 D=100mm ，内径d=80mm 的 钢管，高 h=3.5m,设计要求的强度安全系数,稳定安全系数 。试求容许荷载 的值。,58,解：1）由平衡条件可得,2）按强度条件确定 P,59,3）按稳定条件确定P,立柱属大柔度杆用欧拉公式计算,60,稳定条件,61,P = 62.5KN,62,蒸汽机车的连杆，截面为工字形，A3钢。最大轴向力465kN。确定其工作安全系数。,例 4(书习题 9.13 ),63

17、,Iz=2174cm4,Iy=466cm4,A=72.38cm2,iz=5.48cm,iy=2.54cm,64,由l2确定稳定性,65,例 3(书习题 9.16 ),已知: 悬臂梁AC为10号 工字钢，AB杆为钢管， 内径为 d = 30 mm, 外径 D = 40 mm。梁及钢管 的材料同为A3钢。稳定 安全系数nst=2.5。,求： 当重为Q=300N的重物落于梁的A端时， 试校核AB杆的稳定性。,解：,这是一个综合性的题目。,1 求 Dst,66,解：,这是一个综合性的题目。,1 求 Dst,将重物作为静载荷。,这是一次静不定问题。,相当系统,载荷分解,67,相当系统,载荷分解,AC段弯

18、矩方程,AB段轴力,68,AC段弯矩方程,AB段轴力,由莫尔积分,69,由莫尔积分,由正则方程,静位移,2 动荷系数,70,由正则方程,静位移,2 动荷系数,由垂直冲击的动荷系数公式,3 压杆AB受到的动载荷,71,3 压杆AB受到的动载荷,4 压杆AB的临界压力,柔度,圆环的惯性半径,72,对A3钢,所以有,是大柔度杆。,用欧拉公式计算临界压力,其中,73,用欧拉公式计算临界压力,其中,5 稳定校核,工作安全系数,结论：不安全,74,9. 6 提高压杆稳定性的措施,1 选择合理的截面形状,截面的惯性矩 I 越大，或惯性半径 i 越大, 就越不容易失稳，即稳定性越好。,所以，应选择合理的截面形

19、状，使得:,在截面积相等的情况下，使 I 或 i 较大;,75,各纵向平面内的约束情况相同时,应使对各形心轴的 I 或 i 接近相等。,两纵向对称平面内的约束情况不相同时,应使在两个形心主惯性平面内的柔度接近相等。,所以，应选择合理的截面形状，使得:,在截面积相等的情况下，使 I 或 i 较大;,76,两纵向对称平面内的约束情况不相同时,应使在两个形心主惯性平面内的柔度接近相等.,77,2 改变压杆的约束条件,约束越强，越不容易失稳,78,3 合理选择材料,E,ss,但优质钢与普通钢的E差别不大。,对大柔度杆,选用E大的材 料，可提高临 界压力值。 钢压杆比铜、 铸铁或铝压杆 的临界压力大。,对中柔度杆,提高 ss 可提高临界压力值。,79,谢 谢 大 家 !,