数学物理方法课件：14_1 分离变量法－直角坐标系

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1、分离变量法：直角坐标系yxeyuexuyuxu3128),0(,8)0,(4)4(38),(yxeyxu引例：求解关于u(x,y)的偏微分方程xe128)()(ygxfye3X X0)0,(),0(,sin)0,(0),(),0()0,0(,2xulxxlAxutlututlxuautxxtt写出上述问题的定解问题t=0时刻例：写出两端固定弦的定解问题，把弦拉到例：写出两端固定弦的定解问题，把弦拉到y=Asin(x/l)，自然释放。，自然释放。l有界有界弦的弦的自由横振动自由横振动),0(),()0,(),()0,(0),(),0()0,0(,2lxxxuxxutlututlxuautxxtt

2、考虑更一般的情况：直角坐标系下的分离变量法直角坐标系下的分离变量法分离变量法的基本思想分离变量法的基本思想1、解分离成时间函数和空间函数的乘积时间函数和空间函数的乘积，代入偏微分方程；2、推导时间函数和空间函数分别满足的常微分方程，逐个求解；（待续）将解表示为)()(),(xXtTtxu时间函数空间函数以下述方程为例：),0(),()0,(),()0,(0),(),0()0,0(,2lxxxuxxutlututlxuautxxtt )()0()(),()0()(0)()()()0()()()()(2xTxXxTxXtTlXtTXtTxXatTxX),0(),()0,(),()0,(0),(),

3、0()0,0(,2lxxxuxxutlututlxuautxxtt)()(),(tTxXtxu将解代入泛定方程和定解条件对应的方程为：第一步：第一步：时空变量分离、时空变量分离、推导时空函数各自的控制方程推导时空函数各自的控制方程 0)()0()()()()(2lXXtTatTxXxX )()()()(2tTatTxXxX0)()(2 tTatT 0)()0(0)()(lXXxXxX由泛定方程和边界条件，可得待定常数如何考虑初始条件？)()0()(),()0()(xTxXxTxX第一步：第一步：时空变量分离、时空变量分离、推导时空函数控制方程推导时空函数控制方程初始条件含空间函数，须先确定空间

4、函数，即X(x)。)()0()(),()0()(0)()()()0()()()()(2xTxXxTxXtTlXtTXtTxXatTxX（1）当 时，方程没有非平凡解(0解)。（2）当 时，方程也没有非平凡解。（3）当 时，方程有如下形式的通解0 0)()0(0)()(lXXxXxX00 xBxAxXsincos)(第二步：第二步：时空函数方程分别求解时空函数方程分别求解:固有值问题固有值问题结论：只有当结论：只有当为特定值时，才有非为特定值时，才有非0解。解。求非0解解。，方程才有非那么，0),2,1(,)(2nln 若干概念：若干概念：若对于的某些值，常微分方程定解问题的非0解存在，则称这种

5、的取值为该问题的固有值（或特征值）固有值（或特征值）；同时称相应的非0解为该问题的固有函数（或特征函数）固有函数（或特征函数）。这样的问题通常叫做Sturm-Liouville问题问题（或固有值问题）（或固有值问题）。0)()0(0)()(lXXxXxX第二步：第二步：时空函数方程分别求解时空函数方程分别求解固有值问题;也称为边值问题。称为固有值问题 的一系列固有值，相应的非零解 为对应的固有函数。),3,2,1(,)(2nlnn 0)()0(0)()(lXXxXxX),3,2,1(sin)(nxlnBxXnn第二步：第二步：时空函数方程分别求解时空函数方程分别求解:固有值问题固有值问题 将固

6、有值 代入方程 得 可得其通解为2)(lnn0)()(2 tTatT0)()(2222 tTlnatT),3,2,1(sincos)(ntlanDtlanCtTnnn第二步：第二步：时空函数方程分别求解时空函数方程分别求解:初值问题（时间函数方程）初值问题（时间函数方程）这样，就得到泛定方程的满足齐次边界条件的下列变量分离的一个特解一个特解 式中，是任意常数，当如何确定？),3,2,1(sinsincos)()(),(nxlntlanbtlanatTxXtxunnnnnnnnnnnDBbCBa,注意：注意：定解问题的初始条件没有采用！第三步：第三步：解迭加、确定参数解迭加、确定参数特解迭加特解

7、迭加 初始条件式中的 与 是任意给定的 一般情况下，任何一个特解都不会满足初始条件；由于泛定方程是线性齐次的，根据叠加原叠加原理理，级数 仍是泛定方程的解，并且满足边界条件。)(x)(x11sinsincos),(),(nnnnnxlntlanbtlanatxutxu第三步：第三步：解迭加、确定参数解迭加、确定参数参数确定参数确定)()(),(tTxXtxu分离变量法之最初假设矛盾？两个函数相乘！是否有最终结果也不能分解成 为了确定 ，使得上式也满足初始条件，在上式及其关于t的导数式中，令 由初始条件得nnba,0t)()0,(xxu)(|0 xtut根据上面两式如何确定?nnba,第三步：第

8、三步：解迭加、确定参数解迭加、确定参数参数确定参数确定1sinnnxlna1sinnnxlnlanb 和 分别是函数 、在区间 上的傅里叶正弦级数展开式的系数，即 nalanbn)(x)(xl,0lnxdxlnxla0sin)(2lnxdxlnxllanb0sin)(2第三步：第三步：解迭加、确定参数解迭加、确定参数参数确定参数确定lnxdxlnxanb0sin)(2),0(),()0,(),()0,(0),(),0()0,0(,2lxxxuxxutlututlxuautxxtt上述定解问题的解是1sinsincos),(nnnxlntlanbtlanatxu参数为,sin)(20 xdxln

9、xlalnxdxlnxanbln0sin)(2最终结果上述解，作为一个无穷级数解，要具有实际应用价值的条件是什么？级数要收敛，收敛越快越好！如何判断它的收敛性？傅立叶级数展开定理 取级数的一般项，并作如下变形：式中，最大振幅 相位 圆频率xlntNxlntlanbtlanatxunnnnnnsin)sin(sinsincos),(22nnnbaNnnnbaarctanlannlann记参数 为弦的固有频率，其中 是基频。1结果分析两端固定弦的振动：举例0)0,(),0(,sin)0,(0),(),0()0,0(,2xulxxlxutlututlxuautxxttt=0t=T/2两端固定弦的振动

10、：举例0)0,(),0(,3sin)0,(0),(),0()0,0(,2xulxxlxutlututlxuautxxtt节点，驻波t=0t=T/2分离变量法的基本步骤分离变量法的基本步骤基本步骤：1.变量分离，分别导出初始值问题，固有值问题；2.求解固有值问题，确定边值问题的固有值和固有函数；3.根据固有值，求解初始值问题，得到对应于一个固有值的一个特解；4.所有特解叠加，需要根据偏微分方程的初始条件。将解表示为 时间函数空间函数那么，导出时间函数和空间函数的前提是什么？前提是：叠加原理成立，方程和定解条件必须是线性的；),0(,0)0,(,)0,(,0),(,0),0()0,0(,2lxxulxxuxtlututlxuautxxtt写出上述问题的定解方程一端固定、另一段自由杆，把自由端杆拉到u=，自然释放。求解其自由振动问题。作业：作业：杆的纵向自由振动 lx另外：pp353T1（2，4）