《数学物理方法课件：2_1数物-调和函数和初等函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学物理方法课件：2_1数物-调和函数和初等函数（13页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、第二章第二章 解析函数解析函数复变函数的导数解析函数调和函数初等函数平面场的复势调和函数是解析函数的扩展、加深；初等函数是基本函数类型，是复变函数的基础。复习复习：解析函数的判别法：解析函数的判别法条件1。的充分条件：u,v具有连续的一阶偏导数。解析性：举例（判断解析性）解析性：举例（判断解析性）z=0时可导，整个复平面不解析。结论：可导与CR条件的关系。可导CR条件+可微。调和函数调和函数拉普拉斯方程调和函数的简单性质调和函数的简单性质有限个调和函数的线性组合也是调和函数；解析函数的实部和虚部都是调和函数；但，两个调和函数u,v构成的复变函数f(z)=u+iv不一定构成解析函数。又称势函数共
2、轭调和函数共轭调和函数问题：u是v的共轭调和函数吗？结论：给定一个调和函数u，必定存在一个调和函数v，使得f(z)=u+iv为解析函数。如何求？定义：（共轭调和函数）设f(z)=u(x,y)+i v(x,y)为解析函数，则称v是u的共轭调和函数。已知实已知实(虚虚)部，求解析函数部，求解析函数例1：u(x,y)=e-ycosx，求一解析函数f(z)=u+iv例2：u(x,y)=(x-y)(x2+4xy+y2)，求一解析函数f(z)=u+iv.已知调和函数已知调和函数u或或v，求解析函数，求解析函数f(z)的方法汇总的方法汇总方法一：曲线积分方法二：逐步记分方法三：全微分积分路径：从z0到z的任
3、意路径先根据CR条件的一个方程用记分方法求出v,与另一个方程匹配，确定积分常数。（步骤清晰、容易理解）根据CR条件第一点（可微条件），要求更高（能看出全微分）。指数和对数函数指数和对数函数指数函数：对数函数：指数函数的反函数：若两个复数z,w满足关系z=ew，称w是z的对数函数，记为对数函数是多值的主支每个k对应一个分支)sin(cosyiyeexz)Ln(zw)Arg(|ln)Ln(zizz)arg(|lnlnzizz,2,1,0,2ln)Ln(kikzz指数函数是周期的T2ki指数函数、对数函数的解析性指数函数处处解析指数函数处处解析，且除了原点及负实轴除了原点及负实轴的复平面内，对数函数
4、lnz处处解析例：解方程1+ez=0例：证明：Ln(z1z2)=Lnz1+Lnz2 Ln(z1/z2)=Lnz1-Lnz2zzee)(zz1)(ln幂函数性质：性质：一般说来，幂函数是多值函数。讨论：讨论：什么情况下，什么情况下，幂函数是多值函数；什么情况下，什么情况下，幂函数是单值函数？当当为整数时，幂函数为单值函数。为整数时，幂函数为单值函数。对于任意复数，当 时，定义幂函数为0z)2arg|(lnLnikzizzeez幂函数的应用幂函数的应用：写出复数(1+i)i的代数式。取取z=1+i,=i 三角函数、反三角函数定义复变数z的正弦、余弦函数正弦、余弦函数分别如下：三角函数的反函数，称为
5、反三角函数三角函数的反函数，称为反三角函数设z=cosw或z=sinw，其反函数分别为：反余弦函数：w=Arccos z反正弦函数：w=Arcsin z例：例：求函数cos(z)的模。2cosizizeezieeziziz2sin双曲函数、反双曲函数双曲正弦函数和双曲余弦函数定义为：2shzzeez2chzzeez第二章：解析函数，小结第二章：解析函数，小结本章主要内容：1、可导性；2、解析性；3、可导、解析的判别条件；4、部分初等函数。作业（第二次作业）：1、已知解析函数的实部u=x3-3xy2，求此函数;2、p45,T4(1,2);3、p45,T5(4);4、p46,T15;5、p46,T16(1,3)
数学物理方法课件：2_1数物-调和函数和初等函数
