第五章Chapter5

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1、 塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法课程教学内容：课程教学内容：第一章第一章 绪绪 论论第二章第二章 塑性成形分析的理论基础塑性成形分析的理论基础第三章第三章 有限元法基本概念有限元法基本概念第四章第四章 弹塑性有限元法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法基本理论与模拟方法第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法第六章第六章 几种通用有限元分析软件介绍（几种通用有限元分析软件介绍（ANSYSANSYS、MARCMARC、ABAQUSABAQUS）第七章第七章 几种典

2、型材料成形过程计算机模拟分析实例几种典型材料成形过程计算机模拟分析实例 塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法 刚塑性有限元法是在刚塑性有限元法是在1973 1973 年提出来的，这种方法虽然也年提出来的，这种方法虽然也基于小应变基于小应变的位移关系，但忽略了材料塑性变形时的弹性变形部分，而考虑了材料的位移关系，但忽略了材料塑性变形时的弹性变形部分，而考虑了材料在塑性变形时的体积不变条件在塑性变形时的体积不变条件。它可用来它可用来计算较大变形的问题计算较大变形的问题，所以近年来发展迅速，现已广泛应，所以

3、近年来发展迅速，现已广泛应用于分析各种金属塑性成形过程。用于分析各种金属塑性成形过程。刚塑性有限元法的刚塑性有限元法的理论基础是变分原理理论基础是变分原理，它认为在所有动可容的速，它认为在所有动可容的速度场中，使泛函取得驻值的速度场是真实的速度场。根据这个速度场可度场中，使泛函取得驻值的速度场是真实的速度场。根据这个速度场可以计算出各点的应变和应力。以计算出各点的应变和应力。5.1 5.1 刚塑性有限元法及其变分原理介绍刚塑性有限元法及其变分原理介绍 塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法泛函是函数的函

4、数泛函是函数的函数;在泛函进行变分时根据其有无附加条件而分为在泛函进行变分时根据其有无附加条件而分为一般变分一般变分和和 广义变分或条件变分广义变分或条件变分；广义变分又分为广义变分又分为不完全广义变分不完全广义变分和和完全广义变分完全广义变分。塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法v 对于实际的金属成形加工过程，弹性变形部分远小于塑性变形部分对于实际的金属成形加工过程，弹性变形部分远小于塑性变形部分 (弹性应变与塑性应变之比通常在弹性应变与塑性应变之比通常在1/1001/1000)，因而可忽略弹，因而

5、可忽略弹 性变形，将材料模型简化为刚塑性模型。性变形，将材料模型简化为刚塑性模型。v 采用刚塑性模型可大大简化有限元列式和求解过程。采用刚塑性模型可大大简化有限元列式和求解过程。v 与弹塑性有限元法相比较，可采用较大的时间增量步长。在保证足与弹塑性有限元法相比较，可采用较大的时间增量步长。在保证足 够的工程精度的前提下，可提高计算效率。够的工程精度的前提下，可提高计算效率。塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法v 由于刚塑性有限元法采用率方程表示，材料变形后的构形可通由于刚塑性有限元法采用率方程表示，材

6、料变形后的构形可通 过在离散空间对速度的积分而获得，从而避开了应变与位移之过在离散空间对速度的积分而获得，从而避开了应变与位移之 间的几何非线性问题。间的几何非线性问题。v 由于忽略了弹性变形，刚塑性有限元法仅适合于塑性变形区的由于忽略了弹性变形，刚塑性有限元法仅适合于塑性变形区的 分析，不能直接分析弹性区的变形和应力状态，也无法处理卸分析，不能直接分析弹性区的变形和应力状态，也无法处理卸 载和计算残余应力与变形。载和计算残余应力与变形。v 由于刚塑性模型假设，对一般的体积不可压缩材料，因为其静由于刚塑性模型假设，对一般的体积不可压缩材料，因为其静 水压力与体积应变率无关，如要计算应力张量，还

7、必须进行应水压力与体积应变率无关，如要计算应力张量，还必须进行应 力计算的处理。力计算的处理。塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法v从数学的角度来讲，有限元法是解微分方程的一种数值方法。它的从数学的角度来讲，有限元法是解微分方程的一种数值方法。它的基本思想是：在整个求解区域内要解某一微分方程很困难基本思想是：在整个求解区域内要解某一微分方程很困难(即求出即求出原函数原函数)时，先用适当的单元将求解区域进行离散化，在单元内假时，先用适当的单元将求解区域进行离散化，在单元内假定一个满足微分方程的简单函数作

8、为解，求出单元内各点的解；然定一个满足微分方程的简单函数作为解，求出单元内各点的解；然后，再考虑各单元间的相互影响，最后求出整个区域的场量。后，再考虑各单元间的相互影响，最后求出整个区域的场量。v刚塑性有限元法的求解过程刚塑性有限元法的求解过程 (1)离散化处理；离散化处理；(2)单元分析的基础上集合成总体方程组；单元分析的基础上集合成总体方程组；(3)刚塑性有限元法集合成的总体方刚塑性有限元法集合成的总体方程组为一非线性方程组，还须程组为一非线性方程组，还须 线性化处理并采用迭代方法求解。线性化处理并采用迭代方法求解。塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有

9、限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法 刚塑性有限元法按照处理方法的不同分成如下刚塑性有限元法按照处理方法的不同分成如下5 5种：种：(1)(1)流函数法；流函数法；(2(2)拉格朗日乘子法；拉格朗日乘子法；(3)(3)罚函数法；罚函数法；(4)(4)泊松系数泊松系数v v 接近接近0.50.5法；法；(5)(5)材料可压缩性法。材料可压缩性法。塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法5.1.1 刚塑性材料基本假设刚塑性材料基本假设 对于大变形金属塑性成形问题，将变形体视为刚塑性体，即把

10、变形中的对于大变形金属塑性成形问题，将变形体视为刚塑性体，即把变形中的某些过程理想化，便于数学上处理。此时，材料应满足下列假设：某些过程理想化，便于数学上处理。此时，材料应满足下列假设：(1)不计材料的弹性变形；不计材料的弹性变形；(2)材料的变形流动服从材料的变形流动服从 Levy-Mises 流动法则；流动法则；(3)材料是均质各向同性体；材料是均质各向同性体；(4)材料满足体积不可压缩性；材料满足体积不可压缩性；(5)不计体积力与惯性力；不计体积力与惯性力；(6)加载条件加载条件(加载面加载面)给出刚性区与塑性区的界限给出刚性区与塑性区的界限。塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机

11、数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法5.1.2 第一变分原理第一变分原理 刚塑性材料的第一变分原理又称为刚塑性材料的第一变分原理又称为马尔柯夫马尔柯夫(Markov)变分原理变分原理,其为：其为：在满足：在满足：(1)速度速度-应变速率关系应变速率关系 (在在 上上)的一切动可容场的一切动可容场 ，中使泛函：中使泛函：的变分为零，即：的变分为零，即：，且取极小值的，且取极小值的 ，必为本问题的真实解。，必为本问题的真实解。*iju*ijFSiiVijijSMdSuFdV320Miuijjiijuu,21(2)体积不可压缩条件体积不可压缩条件0k

12、kV(3)速度速度边界条件边界条件iiuu uS 塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法 证明：证明：设真实解为设真实解为 和和 ，而许可解，而许可解 由屈服条件和本构方程有：由屈服条件和本构方程有：(a)则有：则有：由最大塑性功原理，有：由最大塑性功原理，有：(b)ijiu,ij*,ijiuijSklklij23ijijijijS32VijijijdV0*塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法 由虚功率原理得：

13、由虚功率原理得：(c)将将(c)式代人式代人(b)式得：式得：(d)注意，在注意，在Su上。将上。将(d)式代人式代人(e)式有：式有：(e)将将(a)式代人式代人(e)式有：式有：(f)SiiSiiVijijdSuFdSuFdV*SiiSiiVijijdSuFdSuFdV*uFSiiSiiVijijdSuFdSuFdV*FFSiiVijijSiiVijijdSuFdVdSuFdV*塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法 即：即：因此，泛函取最小值，因此，泛函取最小值，于是于是第一变分原理得证第一变分原

14、理得证 FSiiVijijSSiiVijijdSuFdVdSuFdV32*Mm*塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法5.1.3 完全广义变分原理完全广义变分原理在第一变分原理中，所选择的速度场必须满足在第一变分原理中，所选择的速度场必须满足(1)，(2)和和(3)式，式，实际问题中，有些条件比较容易满足，而有些条件则不易满足。实际问题中，有些条件比较容易满足，而有些条件则不易满足。为了容易选择速度场，应用条件变分的概念，引用拉格朗日为了容易选择速度场，应用条件变分的概念，引用拉格朗日(Lagrangi

15、an)乘子乘子 ，和和 ，将运动许可解所必须满足的，将运动许可解所必须满足的条件引入泛函中，条件引入泛函中，则得到新的泛函：则得到新的泛函：(*)在任意选取的在任意选取的 、中，真实解使中，真实解使(*)式的泛函取驻值，这就是刚塑性式的泛函取驻值，这就是刚塑性 完全广义变分原理。完全广义变分原理。jiijaa idSuudVdVuuadSuFdVVSiiiijijVijjiijijSiiVijijSuF,*2132iuij 塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法 第一变分原理和完全广义变分原理对比第一变

16、分原理和完全广义变分原理对比v第一变分原理所选择的第一变分原理所选择的 和和 只要求满足运动许可条件，而只要求满足运动许可条件，而静力许可条件是通过变分近似满足的。静力许可条件是通过变分近似满足的。v据广义变分原理预选的据广义变分原理预选的 和和 不受任何约束，所有的方程均由不受任何约束，所有的方程均由变分近似满足。所以，由第一变分原理计算的近似解较广义变分变分近似满足。所以，由第一变分原理计算的近似解较广义变分原理得到的解更精确。但前者在预选满足运动许可条件的速度场原理得到的解更精确。但前者在预选满足运动许可条件的速度场时比后者困难。时比后者困难。iuijiuij 塑性成形过程塑性成形过程计

17、算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法5.2.3 不完全广义变分原理不完全广义变分原理 v在选取运动许可解在选取运动许可解 和和 时，可将其应满足的三个条件中的任意时，可将其应满足的三个条件中的任意两个或一个事先得到满足，而将其余的一个或两个，通过拉格朗日两个或一个事先得到满足，而将其余的一个或两个，通过拉格朗日乘子引入泛函中，组成新的泛函，真实解使泛函取驻值，这就是不乘子引入泛函中，组成新的泛函，真实解使泛函取驻值，这就是不完全广义变分原理。完全广义变分原理。v在选择速度场时应变速率与速度的关系在选择速度场时应变速率与速度的关

18、系(1)式和速度边界条式和速度边界条(3)式容式容易满足，而体积不可压缩条件易满足，而体积不可压缩条件(2)式难于满足。因此，可以把体积式难于满足。因此，可以把体积不可压缩条件用拉格朗日乘子入引入到泛函中，得到新泛函：不可压缩条件用拉格朗日乘子入引入到泛函中，得到新泛函：(*)可以证明，在一切满足应变速率与速度关系和速度边界条件的可以证明，在一切满足应变速率与速度关系和速度边界条件的 中，使泛函中，使泛函(*)式取驻值的式取驻值的 为真实解。为真实解。iuijVSVijijiiijijSFdVdSuFdV32*1iuiu 塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性

19、有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法v按照按照Markov变分原理求解时，面临速度场选取的困难。因而在实变分原理求解时，面临速度场选取的困难。因而在实际求解时常采用不完全广义变分原理求解塑性变形过程。际求解时常采用不完全广义变分原理求解塑性变形过程。对刚塑性体和刚粘塑性体，按对刚塑性体和刚粘塑性体，按Markov变分原理确定的泛函为：变分原理确定的泛函为：(*)FFiiVSijiiVSdVFu dSEdVFu dS刚塑性体：刚粘塑性体：塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法v解决的

20、问题是寻找某种方式将体积不可压缩条件解决的问题是寻找某种方式将体积不可压缩条件(2)式引入泛函式引入泛函(*)中，中，构成新的泛函，使问题转变成对新泛函的无条件的驻值问题。构成新的泛函，使问题转变成对新泛函的无条件的驻值问题。v通常采用拉格朗日乘子法、罚函数法及修正罚函数法来构造新的泛函。通常采用拉格朗日乘子法、罚函数法及修正罚函数法来构造新的泛函。v通过这样的方法将体积不可压缩条件引入后，便能求静水压力通过这样的方法将体积不可压缩条件引入后，便能求静水压力 ，从而解决了因忽略材料的弹性变形而带来的应力计算的困难。从而解决了因忽略材料的弹性变形而带来的应力计算的困难。m 塑性成形过程塑性成形过

21、程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法5.2 5.2 刚塑性增量理论的广义变分原理刚塑性增量理论的广义变分原理 欲求解变形体在塑性变形时的场变量，首先要建立基本方程组。欲求解变形体在塑性变形时的场变量，首先要建立基本方程组。塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法5.2.1 5.2.1 基本方程基本方程 基本方程如下：基本方程如下：微分平衡方程或运动方程微分平衡方程或运动方程:(5-1):(5-1)速度与应变速率的关系：速度与应变速率的

22、关系：(5-2)(5-2)式中：式中：速度；速度；应变速率应变速率 列维列维密赛斯应力密赛斯应力应变速率关系：应变速率关系：(5-3)(5-3),0ij jiF,12iji jj iijijd Siij 塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法假设材料符合密赛斯屈服准则，即假设材料符合密赛斯屈服准则，即:式中式中 k k 是变形过程的函数，如材料是理想刚塑性体时，是变形过程的函数，如材料是理想刚塑性体时，k=constk=const式式 5-3 5-3 两边平方后得：两边平方后得：将式将式5-4 5-4

23、代入式代入式5-5 5-5 整理后得：整理后得：(5-6)(5-6)将式将式5-6 5-6 代入式代入式5-3 5-3 可得：可得：(5-7)(5-7)这就是符合密赛斯屈服准则的应力应变关系式。这就是符合密赛斯屈服准则的应力应变关系式。212ijijS Sk2ijijijijdS S 2ijijdk 2ijijijijkS 232ijijS S(5-4)(5-4)(5-5)(5-5)塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法 体积不可压缩条件体积不可压缩条件:(5-8):(5-8)边界条件边界条件:边界条件

24、分为边界条件分为力学边界条件力学边界条件和和位移边界条件位移边界条件，分别为：，分别为：(5-9)(5-9)(5-10)(5-10)利用上述方程和边界条件，虽然在理论上是可以求解的，但实际上很利用上述方程和边界条件，虽然在理论上是可以求解的，但实际上很 困难，只有在几种简单情况下才能求出解析解。困难，只有在几种简单情况下才能求出解析解。0ijij ijjinpiiuu 塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法借助于刚塑性有限元法借助于变分原理变分原理可求出可求出近似解近似解，对对变形场的位能

25、泛函进行变分变形场的位能泛函进行变分，当变分取得驻值时，变形场满足，当变分取得驻值时，变形场满足平衡微分方程和力学边界条件。平衡微分方程和力学边界条件。处理体积不变条件的方法有两种：处理体积不变条件的方法有两种：一是在假设初始速度场时，除了满足速度边界条件以外，还应严一是在假设初始速度场时，除了满足速度边界条件以外，还应严格满足体积不变条件，这种方法给假设初始速度场带来困难。格满足体积不变条件，这种方法给假设初始速度场带来困难。另一种方法是假设初始速度场只满足速度边界条件，而对体积不另一种方法是假设初始速度场只满足速度边界条件，而对体积不变引入约束条件，即拉格朗日乘子进行有条件变分。这种方法在

26、变引入约束条件，即拉格朗日乘子进行有条件变分。这种方法在运算中较易实现，目前已得到广泛应用，运算中较易实现，目前已得到广泛应用，下面对这种方法进行详细论述。下面对这种方法进行详细论述。塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法5.2.2 5.2.2 不完全的广义变分原理不完全的广义变分原理 刚塑性有限元计算需要先选择初始速度场。在选择初始速度场刚塑性有限元计算需要先选择初始速度场。在选择初始速度场时，速度边界条件容易满足，而体积不可压缩条件较难满足。因此，时，速度边界条件容易满足，而体积不可压缩条件较难满足

27、。因此，把体积不可压缩条件用拉格朗日乘子引入泛函中去把体积不可压缩条件用拉格朗日乘子引入泛函中去。这种有条件的。这种有条件的但并非将所有条件引入泛函的变分称之为不完全的广义变分，所建但并非将所有条件引入泛函的变分称之为不完全的广义变分，所建立的泛函为：立的泛函为：2pVijijSiiVijijViikdVpvdSdVFvdV 式中：式中：S Sp p 变形体边界中应力边界部分；变形体边界中应力边界部分；克罗内克尔（克罗内克尔（KroneckerKronecker）符号。）符号。(5-11)(5-11)塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟

28、方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性不完全的广义变分原理认为：刚塑性不完全的广义变分原理认为：在所有满足速度在所有满足速度-应变速率关系和速度边界条件的应变速率关系和速度边界条件的 v vi i 中，使泛函中，使泛函式式 5-11 5-11 取得驻值的取得驻值的 v vi i 是真实解。是真实解。在忽略体力的情况下，式在忽略体力的情况下，式5-11 5-11 还可写成另一种形式，即还可写成另一种形式，即 pVijSiiVijijAdVpv dSdV 式中：式中：2ijijijAk (5-12)(5-12)塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本

29、理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法注意在刚塑性有限元中，利用的屈服准则是密赛斯屈服条件，它的注意在刚塑性有限元中，利用的屈服准则是密赛斯屈服条件，它的一阶导数是连续的，在计算中一般略去体力，并设外力在变形过程一阶导数是连续的，在计算中一般略去体力，并设外力在变形过程中不变。中不变。对于有硬化的材料，假设剪切屈服极限在一小段范围内是常数，采对于有硬化的材料，假设剪切屈服极限在一小段范围内是常数，采取台阶形硬化曲线来代替真实硬化曲线，这样处理可大大简化变分取台阶形硬化曲线来代替真实硬化曲线，这样处理可大大简化变分的运算。的运算。下面证明这一原理。下面证明这一原理。塑性成形过程塑性成形过

30、程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法由式由式 5-12 5-12 变分得：变分得：采用密赛斯屈服准则，有：采用密赛斯屈服准则，有：pijVijSiiVijijVijijijAdVp v dSdVdV /3ijijijijkkijAS(5-13)(5-13)(5-14)(5-14)塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法将式将式5-14 5-14 代入式代入式5-13 5-13 得：得：13pVijijVkk ijijSiiVij ij

31、VijijdVdVp vdSdVdV (5-15)(5-15)塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法且且 ，在，在 上上 ，由此得：，由此得：,11221122VijijViji jj iViji jijj iViji jVijiVij jijSijijVij jidVvvdVvvdVv dVvdVv dVv n dSv dV ,pVijijSijijVij jidVv n dSv dV 因为：因为：upSSSuS0ij(5-16)(5-16)塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第

32、五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法将式将式 5-16 5-16 代入式代入式 5-15 5-15 得得：,1313pppSijijVij jiVkkijijSiiVijijVijijSijjiiVij jiVkkijijijVijijv n dSv dVdVpv dSdVdVnpv dSv dVdVdV 因因 和和 都是任意的，要使泛函的变分为零，即都是任意的，要使泛函的变分为零，即 取得驻值，取得驻值，必须满足下列等式：必须满足下列等式：（在（在 表面上）表面上）(5-18)(5-18)（在（在 V V 体积内体积内 ）(5-19)(5-19)（在（在 V

33、 V 体积内体积内 ）(5-20)(5-20)（在（在 V V 体积内体积内 ）(5-21)(5-21)0ijjinp,0ij j103kkijij 0ijij iv0pS 塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法由式由式5-21 5-21 可知，泛函变分为零时，满足体积不变条件。可知，泛函变分为零时，满足体积不变条件。由式由式5-20 5-20 可得：可得：拉格朗日乘子拉格朗日乘子等于平均应力，即静水压力。这就是拉格朗日乘等于平均应力，即静水压力。这就是拉格朗日乘子子的物理意义。的物理意义。由式由式5-

34、19 5-19 可知，泛函变分为零时，在整个体积内都满足运动方可知，泛函变分为零时，在整个体积内都满足运动方程，即平衡微分方程。程，即平衡微分方程。由式由式5-18 5-18 可以看到，泛函变分为零时，满足应力边界条件。可以看到，泛函变分为零时，满足应力边界条件。这就证明了在满足速度边界和应变速率与速度关系的速度场这就证明了在满足速度边界和应变速率与速度关系的速度场v vi i 中，当泛函变分为零时，满足所有的基本方程，所以这个速度场就是中，当泛函变分为零时，满足所有的基本方程，所以这个速度场就是真实解。真实解。13kk(5-22)(5-22)塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模

35、拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法5.3 5.3 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法为使有限元计算方便，将式为使有限元计算方便，将式 5-11 5-11 改写成矩阵形式如下：改写成矩阵形式如下：(5-23)(5-23)式中：式中：应变速率列阵；应变速率列阵；速度列阵；速度列阵；应力边界应力边界 S Sp p 上给定的表面力列阵；上给定的表面力列阵；矩阵记号，矩阵记号，体力列阵。体力列阵。TTTT2pVSVVkdVvp dSC dVFv dV v p C T1 1 1000C F 塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限

36、元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法 在计算中如材料有硬化作用时，采用阶段硬化曲线来代替真实硬化曲线，在计算中如材料有硬化作用时，采用阶段硬化曲线来代替真实硬化曲线，如下图所示。经这样的处理，变分时可将如下图所示。经这样的处理，变分时可将 k k 视作常数，可从积分号中提视作常数，可从积分号中提出。计算中若忽略体积力，则泛函又可写成如下形式：出。计算中若忽略体积力，则泛函又可写成如下形式：(5-24)(5-24)TTT2pVSVkdVvp dSC dV 注意上式中：注意上式中：T111,222xyzxyyzzx 阶段硬化曲线来代替真实硬化曲线阶段硬化曲线来代替真实硬化曲线 塑

37、性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法5.3.1 5.3.1 离散化离散化 假设变形体被划分为假设变形体被划分为 M M 个单元，个单元，N N 个节点，由此可知：个节点，由此可知：(5-25)(5-25)对于一个单元而言，可建立下列泛函：对于一个单元而言，可建立下列泛函：(5-26)(5-26)式中：式中：VV单元的体积；单元的体积；SS单元的边界单元的边界。1Mmm TTT2pmVSVkdVvp dSC dV 塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模

38、拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法在单元内有：在单元内有：(5-27)(5-27)(5-28)(5-28)其中其中 为单元节点的速度列阵。为单元节点的速度列阵。Bu vNu将式将式5-27 5-27 和式和式5-28 5-28 代入式代入式5-26 5-26 得到：得到：(5-29)(5-29)TTTTT2pmmVSVkBuBudVuNp dSuBC dV u 塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法令：令：（这里（这里 KK不是刚度矩阵）不是刚度矩阵）TKBB TpSPNp dV TVQBC dV对

39、于一个单元来说，节点的速度对于一个单元来说，节点的速度 和和 都是定值。所以式都是定值。所以式5-29 5-29 可写成：可写成：(4-30)(4-30)TTT233mmVkuKu dVuPuQ泛函泛函 中只含单元的节点速度中只含单元的节点速度 和和 ，未知数为，未知数为 、即：即：,mmmmu u m u m()mu m 塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法集合成整体，得：集合成整体，得：泛函变分为零（泛函变分为零（），即得：），即得：(5-32)(5-32)1231231,MmmmkNmmuu u

40、 uu 110mmMMjijmmiuu由于变分，由于变分，和和 是任意的独立变量，所以有：是任意的独立变量，所以有：(5-33)(5-33)1101,2,3,01,2,3,mMmimMmjikNujM式中：式中：k k 求解问题的维数。求解问题的维数。(5-31)(5-31)0 iu j 塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法 对于每个单元有：对于每个单元有：TT23323mmVmmKukdVPQuuKuuQ 由式由式 5-34 5-34 集合成的方程组是非线性的，求解时需先进行线性化，集合成的方程组是

41、非线性的，求解时需先进行线性化，下面就此问题展开讨论。下面就此问题展开讨论。(5-34)(5-34)塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法5.3.2 5.3.2 方程的线性化方程的线性化 求解非线性问题的一种常用方法是摄动法，这种方法是先假设一求解非线性问题的一种常用方法是摄动法，这种方法是先假设一个初始解，根据这个解求出修正量，利用修正量修改原初始解，再由个初始解，根据这个解求出修正量，利用修正量修改原初始解，再由修正后的解求出新的修正解，如此这样通过反复迭代来逼近真解。采修正后的解求出新的修正解，如

42、此这样通过反复迭代来逼近真解。采用这种求解方法就能把非线性方程组化为线性方程组来求解。用这种求解方法就能把非线性方程组化为线性方程组来求解。塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法设有一个初始速度场设有一个初始速度场uu和相对应的速度增量和相对应的速度增量 uu，则每次迭代之间，则每次迭代之间的速度有如下关系：的速度有如下关系：1nnuuu 将式将式5-35 5-35 代入式代入式5-34 5-34 得：得：(5-36)(5-36)1TT1123323mnnmVnnnnKuukdVPQuuuKuu 现令：

43、现令：1TT111TTTT11112323nnnnnnnnnnnnAuuKuuuKuuKuuKuuKu (5-35)(5-35)塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法 略去高次小量，并注意略去高次小量，并注意 是一个数，即：是一个数，即：TTT11nnnnuKuuKu 1TT11111T2T1T11112232213nnnnnnnnnnAuKuuKuuKuuKuuKu把形如把形如 的因子展成幂级数并取线性项得：的因子展成幂级数并取线性项得：T11TT11112213132mmnnnnVnnnnKuuuK

44、ukdVPQuuKuuKu T1nnuKu12(1)x (5-37)(5-37)塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法因：因：令：令：则：则：将上式代入式将上式代入式5-37 5-37 后得后得 T1123nnuKu 11nnbKu 11TTnnbuK T111122 1333322mnnnnnnnnVmbbuKubukbKudVuPQ (5-38)(5-38)塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法 略去高次微量

45、得：略去高次微量得：(5-39)(5-39)T1112 12333mmnnnVbbkbKudVFQu再令：再令：得：得：(5-40)(5-40)112 13nnVHbdV T1112 1233nnnVbbFKdV 11TT133mmnnnmmnnk FuQPk HuQuQu 塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法将式将式5-40 5-40 写成矩阵形式为：写成矩阵形式为：(5-41)(5-41)11TT13300mnnmmnmk Hk FQuuPQuQ其中：其中：T211111111TT11T111TT

46、T212 13321323pnnnVnnnnVnnnnnnVSFKbbdVHbdVbuKuKuQBC dVPNp dSKBB (5-42)(5-42)塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法将单元分析得到的式将单元分析得到的式5-41 5-41 代入式代入式5-335-33，就得到刚塑性有限元法求解的，就得到刚塑性有限元法求解的矩阵方程组，即：矩阵方程组，即：11nnnnuSR(5-43)(5-43)求解真实速度场时采用迭代法，其迭代的收敛判据取范数比求解真实速度场时采用迭代法，其迭代的收敛判据取范数比

47、，当范数比小于某一定值，如当范数比小于某一定值，如0.00001 0.00001 时，认为泛函已收敛，即：时，认为泛函已收敛，即：21210.00001NiiNiiuuuu uu(5-44)(5-44)塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法从以上论述可以看出：从以上论述可以看出：(1)(1)引入拉格朗日乘子后，在假设初始速度场时，可以不满足体积引入拉格朗日乘子后，在假设初始速度场时，可以不满足体积 不可压缩条件，这对选择初始速度场有很大方便；不可压缩条件，这对选择初始速度场有很大方便；(2)(2)拉格朗

48、日乘子有明确的物理意义，即收敛时的拉格朗日乘子就拉格朗日乘子有明确的物理意义，即收敛时的拉格朗日乘子就 是对应单元的静水压力。是对应单元的静水压力。(3)(3)在变分运算中，假设剪切屈服应力是常数。因此，在计算有加工在变分运算中，假设剪切屈服应力是常数。因此，在计算有加工硬化的材料时，每次取的移动量不能太大，特别对于硬化显著的硬化的材料时，每次取的移动量不能太大，特别对于硬化显著的材料要尽可能取较小的步长。材料要尽可能取较小的步长。(4)(4)在线性化中，采用了摄动法，并应用了牛顿（在线性化中，采用了摄动法，并应用了牛顿（NewtonNewton）二项式展）二项式展开，展开时假设开，展开时假设

49、 uu是小量，并略去了高阶微量，因此在计算中，是小量，并略去了高阶微量，因此在计算中，每次的修正量要小，否则影响收敛性。每次的修正量要小，否则影响收敛性。塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法5.4 5.4 材料可压缩性法材料可压缩性法5.4.1 5.4.1 理论基础理论基础 刚塑性有限元法引入拉格朗日乘子后，可求得平均应力，但这样刚塑性有限元法引入拉格朗日乘子后，可求得平均应力，但这样增加了许多未知数和方程数，计算量大大增加了。增加了许多未知数和方程数，计算量大大增加了。从分析可知，一般刚塑性有限元法

50、不能求解平均应力的原因在于从分析可知，一般刚塑性有限元法不能求解平均应力的原因在于屈服条件中没有考虑平均应力的影响。材料有可压缩的刚塑性有限元屈服条件中没有考虑平均应力的影响。材料有可压缩的刚塑性有限元是假设屈服条件与平均应力有关，并写作为：是假设屈服条件与平均应力有关，并写作为：(5-45)(5-45)式中：式中：g g 为一个数值很小的正常数，一般取作为一个数值很小的正常数，一般取作0.010.01；平均应力，平均应力，2222*2222216232xyyzzxxyyzzxijmjmiS Sgg13mxyzm 塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法

51、基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法由式由式 5-45 5-45 可看出：当可看出：当g=0 g=0 时，即为密赛斯屈服准则，屈服曲面在应力时，即为密赛斯屈服准则，屈服曲面在应力空间为一圆柱面；当空间为一圆柱面；当g0 g0 时，屈服面在应力空间为一椭球面，如下图所示。时，屈服面在应力空间为一椭球面，如下图所示。屈服轨迹屈服轨迹 塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法密赛斯屈服条件下的势函数为：密赛斯屈服条件下的势函数为：同理，可压缩性材料的势函数为：同理，可压缩性材料的势函数为：2112

52、3ijijfS S2*13f所以：所以：29ijijmijijfddSg(5-46)(5-46)(5-47)(5-47)(5-48)(5-48)塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法又因：又因：1133ijijmijijij 体积变化速率为：体积变化速率为：2223993VijijijijmijijmmSgdgdgd 上式表明，可压缩性材料的体积变化速率不为零。上式表明，可压缩性材料的体积变化速率不为零。(5-49)(5-49)(5-50)(5-50)塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟

53、第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法因为：因为：122399ijijVijijmijmijijdSggd S 121212xyxyyzyzzxzxxyxyyzyzzxzxdddddd 又因：又因：(5-52)(5-52)(5-51)(5-51)塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法由式由式5-45 5-45 和式和式5-52 5-52 可得：可得：22222*22222222222222222222213213249211493xyyzzxxyyzzxmxyyz

54、zxxyyzzxmxyyzzxxyyzzxVdddgdgg设等效应变速率为：设等效应变速率为：222*2222223192213xyyzzxxyyzzxVijijVgg (5-53)(5-53)(5-54)(5-54)塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法式式5-53 5-53 可写作如下形式：可写作如下形式：(5-55)(5-55)222*94d*32d将式将式5-56 5-56 代入式代入式5-50 5-50 可得：可得：*Vmg即：即：(5-57)(5-57)(5-56)(5-56)塑性成形过程塑

55、性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法将式将式5-56 5-56 代入式代入式5-51 5-51 得：得：*2213332239ijijijVijijVijS *21239ijijVijg(5-58)(5-58)(5-59)(5-59)塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法上式写成矩阵形式为：上式写成矩阵形式为：*A 200032000320003200000320000032000003GGGGGGGGGA(5-61)(5-

56、61)129Gg(5-60)(5-60)塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法 由以上可以看出，可压缩性材料的应力与应变之间的关系系数由以上可以看出，可压缩性材料的应力与应变之间的关系系数 与不可压缩与不可压缩材料有相同形式，区别在于对等效应力和等效应变有不同的定义，即：材料有相同形式，区别在于对等效应力和等效应变有不同的定义，即：222*22222162xyyzzxxyyzzxmg222*2222223192xyyzzxxyyzzxVg(5-63)(5-63)(5-62)(5-62)塑性成形过程塑性成

57、形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法5.4.2 5.4.2 系数系数 g g 的取值的取值 系数系数 g g 的取值直接影响计算结果的精度，的取值直接影响计算结果的精度，g g 的取值可由实验来的取值可由实验来确定，表确定，表5-1 5-1 中给出了在单向压缩时，不同中给出了在单向压缩时，不同 g g 值所对应的屈服应力值所对应的屈服应力近似值以及高度压缩率为近似值以及高度压缩率为10%10%时的体积变化。由表可看出，取时的体积变化。由表可看出，取g=0.01 g=0.01 时，式时，式5-455-45与密赛斯屈服条件

58、相当接近，此时体积变化也很小。与密赛斯屈服条件相当接近，此时体积变化也很小。塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法5.4.3 5.4.3 求解方程的建立求解方程的建立 对于变形体，可建立相同的泛函，即：对于变形体，可建立相同的泛函，即：(5-64)(5-64)为了计算方便，上式后面一项表示成矩阵形式为：为了计算方便，上式后面一项表示成矩阵形式为：(5-65)(5-65)*piiVSdVv pdS T*pVSdVvp dS 对于可压缩性材料发生塑性变形时，因塑性判据与平均应力有关，对于可压缩性材料发生塑性

59、变形时，因塑性判据与平均应力有关，相当于隐含考虑了体积不可压。因此，对初始速度场的选择不需要严格相当于隐含考虑了体积不可压。因此，对初始速度场的选择不需要严格满足体积不可压缩条件。满足体积不可压缩条件。塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法计算过程是先将变形体离散，划分成计算过程是先将变形体离散，划分成 M M 个单元和个单元和 N N 个节点。第个节点。第 m m 个单个单元的真实速度场的泛函为元的真实速度场的泛函为 ，假设位移模式的速度场所得的泛函值为，假设位移模式的速度场所得的泛函值为设设:则则:

60、11MMmmmm 对泛函进行变分，当变分为零时，泛函取得驻值，这时的速度场是对泛函进行变分，当变分为零时，泛函取得驻值，这时的速度场是真实的速度场。真实的速度场。10mMimiuu因因 是任意的，所以有：是任意的，所以有：10mMmiu1,2,3,ikN式中：式中：k k 为维数，对于三维问题，为维数，对于三维问题，kNkN=3N=3N，即可得，即可得3N 3N 个方程。个方程。m m mmiu(5-67)(5-67)(5-66)(5-66)(5-68)(5-68)塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法

61、在单元内有在单元内有:(5-69):(5-69)(5-70)(5-70)将式将式5-54 5-54 代入式代入式5-64 5-64 得：得：(5-71)(5-71)vNu Bu*2213pmijijViiVSdVv p dSg 上式写成矩阵形式为：上式写成矩阵形式为：(5-72)(5-72)2TTT*213pmVSCdVvp dSg 塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法设设:(5-73):(5-73)式中式中:(5-74):(5-74)M T111,222xyzxyyzzx T111,222xyzxy

62、yzzx211000333121000333112000333000100000010000001M(5-76)(5-76)(5-75)(5-75)塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法式式5-72 5-72 又可写作：又可写作：(5-(5-77)77)2TTTTT*2TTTTT*213213ppmVSVSMMCdVuNp dSguKuuBCdVuNp dSg式中式中 对式对式 5-77 5-77 求导得：求导得：*TT*23pmVVSKuBCdVNp dSug(5-78)(5-78)TTKBMMB 塑

63、性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法将将 按阶段硬化处理，将式按阶段硬化处理，将式 5-78 5-78 代入式代入式 5-68 5-68 可得到一组方程，可得到一组方程，对于三维问题一共可得对于三维问题一共可得 3N 3N 个方程，包含个方程，包含 3N 3N 个未知数，即：个未知数，即：112331212332312333312333(,)0(,)0(,)0(,)0NNNNNNq u u uupq u u uupq u u uupqu u uup(5-79)(5-79)所得的方程组式所得的方程组式 5

64、-79 5-79 是非线性的，不能直接求解，需进行线性化，是非线性的，不能直接求解，需进行线性化，采用牛顿采用牛顿-拉夫森拉夫森 （Newton-RaphsonNewton-Raphson ）方法线性化，设第）方法线性化，设第n+1n+1次速度次速度场场 是第是第 n n 次速度场增加一个次速度场增加一个 ，则有下列关系式：，则有下列关系式：(5-80)(5-80)11iiinnnuuu*1inu1inu 塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法将式将式 5-80 5-80 代入式代入式 5-79 5-7

65、9 中，并在中，并在 处按台劳处按台劳(Taylor)(Taylor)级数展开，级数展开，略计高阶微小量，得到下列线性方程组，即：略计高阶微小量，得到下列线性方程组，即：110Mkkiknnminqqdupu1,2,3,3kN由式由式5-815-81得到的线性方程组就能在假设一初始速度场的基础上进行反得到的线性方程组就能在假设一初始速度场的基础上进行反复迭代，最后收敛于真解。利用这种方法求出来的应力不再是应力偏复迭代，最后收敛于真解。利用这种方法求出来的应力不再是应力偏量，而是全应力。量，而是全应力。inu(5-81)(5-81)塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章

66、 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法对于轴对称问题，当单元采用等参四边形单元时，式对于轴对称问题，当单元采用等参四边形单元时，式5-815-81中的中的 有下列展开式：有下列展开式：24T311114mDDijRkZkjqqYVAduuu或式中：式中：0004242211999993URkkRkkkkzkRzkkVYBDDBBDCBDg002411993uzkRkzkRzkVYCCBCg kiqu(5-82)(5-82)塑性成形过程塑性成形过程计算机数值模拟计算机数值模拟第五章第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法 2202020220202110010101T1010100000110101011010rkkkkkzkkkrkkkkkzkkkrkkkkkzkkkrkkkkkzkkkE BE DEBDGCE CE CGBE BE DEBDGCE CE CGBAduE BE DEBDGCE CE CGBE BE DEBDGCE CE CGB2211111RkzkRkzkRkzkRkzkdudududududududu(5-8