例谈建模思想在解决数学实际性问题中应用

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1、例谈建模思想在解决数学实际性问题中应用张传高摘要：数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关的。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，它与数学同样有着悠久的历史。两千多年以前创立的欧几里德几何，十七世纪发现的牛顿万有引力定律，都是科学发展史上数学建模得成功范例。数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容应社会的发展趋势。当代教育应以培养学生具有从实际问题中获取信息，建立数学模型，分析问题与解决问题的能力作为主要任务。关键词：建模思想；数学建模；数学应用；实际性问题A

2、bstract: Mathematics, as a number of real-world relations and space forms of De science, Zai it produces and the development of river Zhong Li Shi, Yi Zhi yes, and its Shi Ji Sheng Huo relevant to the needs. Mathematical methods of mathematical modeling as the first step in solving practical problem

3、s, it also has a long history of mathematics. 2000 years ago founded the Euclidean geometry, the seventeenth century Newton discovered the law of gravity, are the scientific development in the history of mathematical modeling was successful example. Mathematical modeling is the use of mathematical i

4、deas, methods and process knowledge to solve practical problems, different levels of mathematics education has become an important and basic content of the social trends. Modern education should train students with access to information from the actual problem, a mathematical model to analyze the pr

5、oblems and problem-solving skills as the main task.Key words: modeling; mathematical modeling; mathematical applications; practical issues引言本人参加了“2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛”，并荣获了贵州赛区甲组三等奖。我们小组参赛的题目是“制动器试验台的控制方法”，这是一个物理模拟问题，简单的说，这是一个模拟刹车的过程，模拟的原则是试验台上制动器的制动过程与所设计的路试时车上制动器的制动过程理论上是一致的。这其中牵涉到数学和物理两科目的相关专业知识，其

6、中应用到数学方面的知识有柯西不等式、积分和数学软件MATLAB等数学知识，另外应用到的物理方面的知识有瞬时转速、制动扭矩、制动时间等。此次竞赛让我感触良深，它不仅让我领略到数学建模大赛的魅力，而且让我知道它对现实生活的重要意义，建模的思想可用于解决我们实际生活中的许多问题。其实数学建模就在我们日常的生活中，与我们息息相关。1.数学建模和解决数学应用性问题的意义1.1 什么是数学建模数学建模就是建立数学模型的过程，数学模型是近似表达现象特征的一种数学结构。也就是说，数学建模是将某一领域或者某一问题，经过抽象、简化、明确变量和参数，并根据某种规律建立变量和参数间的一个明确的数学模型，然后求解该问题

7、，并对此结果进行解释和验证。简单地说数学建模就是用数学作工具来解决现实生活中的实际问题的过程。1.2 研究数学建模对解决数学应用性问题的意义进入20世纪以来，随着数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，以及电子计算机的出现与飞速发展，数学建模越来越受到人们的重视。各领域的各种问题都可以归结为数学问题的求解，其求解大都依靠数学模型的建立，研究数学建模对解决数学应用性问题有着重要的意义。1.2.1 在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻，虽然这里的基本模型是已有的，但是由于新技

8、术、新工艺的不断涌现，提出了许多需要用数学方法解决的新问题；高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题（如大型水坝的应力计算，中长期天气预报等）迎刃而解；建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段。1.2.2 在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段。数学建模、数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算机软件，已经被固化于产品中，在

9、许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一。在这个意义上，数学不再仅仅作为一门科学，它是许多技术的基础，而且直接走向了技术的前台。国际上一位学者提出了“高技术本质上是一种数学技术”的观点。 数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生。一般地说，不存在作为支配关系的物理定律，当用数学方法研究这些领域中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的步骤和这些学科发展与应用的基础。在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度模型的余地相当大，为数

10、学建模提供了广阔的新天地。马克思说过，一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步。展望21世纪，数学必将大踏步地进入所有学科，数学建模将迎来蓬勃发展的新时期。1.2.4 数学建模对数学教学的意义开展数学建模活动是促进数学教育改革，实现从应试教育向的素质转变的切实可行的改革之路，是培养学生应用意识和创新精神的有效途径；是人类探索自然和社会的运行机理中所运用的有效方法；是数学应用于数学和社会的最基本的途径。新的课程标准中对各年段数学课程的教学要求都专门列出了问题解决能力的标准，并特别强调了数学建模作为问题解决的一个侧面的重要性。2. 建立数学建模的一般方法及基本思路建立数学模型的方法和步骤

11、并没有一定的模式，但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征，即：模型的可靠性和模型的实用性。2.1 数学建模的一般方法数学建模的方法很多，但从理论上讲，主要有两种方法：机理分析方法和测试分析方法。机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。测试分析方法也叫做系统辩识。将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试方法

12、来确定模型的参数，也是常用的建模方法。2.2数学建模的基本思路在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。机理分析法建模的具体步骤大致如下：（1）、 实际问题通过抽象、简化、假设，确定变量、参数；（2）、 建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数；（3）、 用实际问题的实测数据等来检验该数学模型；（4）、 符合实际，交付使用，从而可产生经济、社会效益；不符合实际，重新建模。数学模型方法的操作程序大致上为： 3 数学实际性问题中常见的建模及实例分析实际问题是复杂多变的，数学建模需要较多的探索和创造性，下面仅以初中数学应用性问题常见的建模方法规律进行归纳总结。数

13、学常见的建模方法有：涉及图形的位置性质，建立几何模型；涉及对现实生活中物体的测量，建立解直角三角形模型；涉及现实生活中普遍存在的等量关系（不等量关系），建立方程（不等式）模型；涉及现实生活中的变量关系，建立函数模型；涉及对数据的收集、整理、分析，建立统计模型等。3.1 建立几何模型诸如台风、航海、三角测量、边角余料加工、工程定位、拱桥计算、皮带传动、坡比计算，作物栽培等传统的应用问题，涉及一定圆形的性质，常需要建立相应的几何模型，转化为几何或三角函数问题求解。 例1：假设学生座位到黑板的距离是5米，老师在黑板上写字，究竟要写多大，才能使学生望去时，同他书桌相距30厘米的课本字感觉相同（即视角相

14、同）？分析：看黑板上的字和看课本的字有远与近的区别，若双眼去看，有一个调整视力焦距的问题，现在考虑二者的视角相等，要视角相等，只要两三角形相似。解：量得几何课本正文字的大小为（高宽）。如图，假设看垂直课本和垂直黑板上一个字的视角相等，于是有: 则 即这里 ，字高度： ，字宽度： ，因此，老师的黑板字大小应为（宽*高）。说明：相似三角形对应线段之比等于相似比，这一性质应用较多。例如利用影长计算大树或建筑物的高度；利用某种物质的固定长度，计算该物体与观测者的距离等等。例：暑假里，小强帮母亲到鱼店去买鱼。鱼店里有一种竹篓鱼，个个都长得非常相似，现有大小两种不同的价钱，如图所示，鱼长10cm的每条10

15、元；鱼长13cm的每条15元，小强不知道买哪种更好些，你们看怎么办？ 分析：这里要用到“立体相似”的知识，两个相似的立体，若相似比（对应线段长度之比）为，则体积之比是。解：设两条相似的鱼A、B的长分别为和，即 B 对于A的相似比是13/10，则体积之比就是。而A是10元，B是15元，这样B对于 A 的价格比是15/10=1.5。这里，论体积B是A的2.197倍，但价格B才是A的1.5倍，很显然，买日比买A更合算。 3.2 建立直角坐标系与函数模型当变量的变化具有近似函数关系，或物体运动的轨迹具有某种规律时，可通过建立平面直角坐标系，转化为函数图象问题讨论。例3 某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线

16、型（曲线AOB）的薄壳屋顶它的拱宽AB为，拱高CO为施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？分 析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数的关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图例4：6月以来，我省普降大雨，时有山体滑坡灾害发生。北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示：AFBC，斜坡AB长30米，坡角ABC 。为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过时，可以确保山体不滑坡。（1）求坡顶与地面的距离AD等于多少米？（精确到0.1米）（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿AF削进

17、到E点处，求AE至少是多少米？（精确到0.1米）解：（1）在RtADB中，AB30m，ABC ，sinABC （2）在 RtADB中连结BE、过E作ENBC于NAEBC四边形AEND为矩形 NEAD27.2在RtENB中，由已知当时BNEN27.2 AENDBNBD14.5（m） 说明：本题取材于学生身边常见的自然现象，以锐角三角函数、解直角三角形知识为主体而设计探索题。通过它把学习与自然、生活结合在一起，能自觉地唤起学生学习思考的兴趣，增强 探索大自然的信心。3.3 建立方程（不等式）模型对现实生活中广泛存在的不等量关系：如投资决策等可挖掘实际问题隐含的数量关系，转化为不等式组的求解式，目标

18、函数在闭区间的最佳问题。例5：某机床厂生产中所需垫片可外购，也可自己生产。如外购每个价格是1.10元，如自己生产，则每月的固定成本将增加800元，并且生产每个垫片的材料和劳力费用需0.60元，试决定该厂垫片外购或自产的决策转折点。分析：在固定成本增加800元不变的条件下，决定垫片外购还是自产的关键在于量的多少，设该厂每月需要垫片个，则外购费用为元，自产费用为元，当外购费用大于自产费用时则自产，否则便外购，问题转化为求不等式的解，解得；当该厂垫片需要量在1600个以上时，自产较为合算；少于1600个时以外购为好，而恰为1600个时外购与自产一样，都需花费元。3.4 建立函数模型例6：卢浦大桥拱形

19、可以近似看作抛物线的一部分。在大桥截面111000的比例图上，跨度，拱高，线段DE表示大桥拱内桥长，DEAB，如图（1）。在比例图上，以直线 AB 为轴，抛物线的对称轴为轴，以作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）。图（一）图（二）（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE与AB的距离，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据： ，计算结果精确到1米）。解：（1）由于顶点C在轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为。 因为点或 ,在抛物线上，所以，得 。因此所求函数解析式为。（2）因为点的纵坐标为 ， 所以 ，得 。所以点 D 的坐标为，点

20、 E 的坐标为。 。因此卢浦大桥拱内实际桥长为：（米）说明：解决此类问题时，要善于选择函数表达方式，并建立二次函数模型求解，找准解题的突破口。3.5 建立统计概率模型例7：下图反映了被调查用户对甲、乙两种品牌空调售后服务的满意程度（以下称：用户满意程度），分为很不满意、不满意、较满意、很满意四个等级，并依次记为1分、2分、3分、4分。（1）分别求甲、乙两种品牌用户满意程度分数的平均值（计算结果精确到0.01分）；（2）根据条形统计图及上述计算结果说明哪个品牌用户满意程度较高？该品牌用户满意程度分数的众数是多少？解：（1）甲品牌被调查用户数为：50100200100450（户）甲品牌满意程度分数

21、的平均值：乙品牌满意程度分数的平均值：答：甲、乙品牌满意程度分数的平均值分别是2.78分、3.04分。（2）用户满意程度较高的品牌是乙品牌。因为乙品牌满意程度分数的平均值较大，且由统计图知，乙品牌“较满意”、 “很满意”的用户数较多；该品牌用户满意程度的众数是3分。 例8：小明拿着一个罐子来找小华做游戏，罐子里有四个一样大小的玻璃球，两个黑色，两个白色。小明说：“使劲摇晃罐子，使罐子中的小球位置打乱，等小球落定后，如果是黑白相间地排列（如图所示），就算甲方赢，否则就算乙方赢。”他问小华要当甲方还是乙方，请你帮小华出主意，并说明理由。解：小华当乙方。理由：设表示第一个黑球，表示第二个黑球，表示第

22、一个白球，表示第二个白球。有24种可能结果（可以利用树状图或表格解释），黑白相间排列的有8种。因此，甲方赢的概率为 ，乙方赢的概率为 ,故小华当乙方。说明：这两道例题将统计、概率知识应用于解决日常生活中的问题，培养学生观察、思考问题的能力，体现数学的价值。4、建模在实际问题中的应用例9：投篮命中问题题目：老乔丹在38岁时第二次复出 ，表现依然神勇，在全场比赛还剩最后一秒时，华盛顿奇才仍以2分落后于纽约尼克斯，在这关键时刻，乔丹在三分线外出手了!已知篮球的飞行路线为抛物线，乔丹出手高度为2.37米，篮球在飞行了4米后达到最高3.37米，问乔丹此次能否力挽狂澜。(三分线是以篮框中心在地面的投影为圆

23、心，6.25米为半径的半圆；篮框的高度为3.05米)分析：引入的好坏在很大程度上关系到课堂教学的成败，上面选择多数同学关心的问题，构造问题悬念，激发学生的兴趣，引入新课，使学生体会到数学的乐趣和无穷的魅力。进而引导学生分析：(1)篮球的运行轨迹是什么形状?(抛物线)(2)研究抛物线还需要什么?(平面直角坐标系)(3)怎样建立平面直角坐标系?教师演示投篮动作，引导学生设想乔丹投篮时身体、篮球、篮框中心同在一个竖直的平面内，并说明要建立平面直角坐标必须有两条互相垂直的坐标轴，此时学生可能会有很多建立坐标系的方法，教师肯定这些方法在理论上都是可行的，不妨选取过乔丹的脚和篮框在地面的投影的直线为轴，乔

24、丹身体所在直线为轴，建立坐标系。引导学生将题目中的提供的数据转为化点的坐标，利用顶点式求出抛物线的解析式，进而分析“投中”的含义：抛物线经过点 ，验证发现：时， ，乔丹投篮命中!问题(3)是解答本题的难点和关键，教师可进一步说明建立坐标系的多种方法，并通过比较说明建立适当的坐标系可减少运算，达到事半功倍的效果。最后，引导学生回顾分析和解答过程，得到解决实际问题的一般思维策略。例10：洗衣问题题目：给你一桶水，洗一件衣服，如果我们直接将衣服放入水中就洗；或是将水分成相同的两份，先在其中一份中洗涤，然后在另一份中清一下，哪种洗法效果好？答案不言而喻，但如何从数学角度去解释这个问题呢？分析：我们借助

25、于溶液的浓度的概念，把衣服上残留的脏物看成溶质，设那桶水的体积为 ，衣服的体积为，而衣服上脏物的体积为，当然应非常小与 、 比可忽略不计。第一种洗法中，衣服上残留的脏物为 ；按第二种洗法：第一次洗后衣服上残留的脏物为 ；第二次洗后衣服上残留的脏物为；显然有。这就证明了第二种洗法效果好一些。事实上，这个问题可以更引申一步，如果把洗衣过程分为 步（给定）,那么怎样分才能使洗涤效果最佳？学生对这个问题的进一步研究，无疑会激发其学习数学的主动性，且能开拓学生创造性思维能力，养成善于发现问题，独立思考的习惯。5 总结综上所述，数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验

26、数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。数学应用和建模能力也是一项专门的能力，它与学习、掌握纯粹数学的能力有密切关系，但并不等价，应用的意义、技巧、方法、能力也需要有一个培养锻炼、提高的过程。我们相信，在开展“目标教学”的同时，大力渗透“建模教学”必将为数学课堂教学改革提供一条新路，也必将为培养更多更好的“创造型”人才提供一个全新的舞台。参考文献：1 姜启源.数学模型M.北京：高等教育出版.1993.2 沈文选.数学建模M.湖南：湖南师大出版社.1999.3 胡炯涛、张凡.中学数学教学纵横谈M.山东:山东教育出版社.1997.4 周以宏.例说数学在理化生中的应用J.数学通讯,2003(13).5 黄立俊、方水清增强应用意识，增强建模能力J.中学数学杂志,1998(5).