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1、一般实系数三次方程的谢国芳求根公式和判别法作者：谢国芳（Roy Xie） Email:【摘要】本文给出了远比卡丹公式和盛金公式简明快捷的求解一般实系数三次方程 的新求根公式及相应的根的判别法则。【资料来源】 同作者已发表的学术论文一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则（2012年第21期数学学习与研究）和网页专题研究论文集三次方程研究一般实系数三次方程的谢国芳求根公式（形式1）和根的判别法则对于实系数三次方程，定义第一判别式（first discriminant） , 关键比（key ratio） , 则有如下根的判别法则和求根公式：（一）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根： （1.1）其
2、中 .（二）当，时，方程也有一个实根和两个共轭虚根： （1.2）其中 .（三）当，时，方程有两个相等的实根（即一个两重实根）和另一个与之不等的实根，此时仍可用求根公式（1.2）求解.当时，代入式（1.2）即得 , . 当时，代入式（1.2）即得 , . （四）当，时，方程有三个互异的实根： （1.3）其中. 以上求根公式的推导参见2012年第21期数学学习与研究上同作者的论文一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则。（五）当（即关键比的分母为0）时，方程可以配成完全立方求解，两边同除以，再利用可将它改写成解得 （1.4）其中为三次单位根（，）.易见当时，为实根. ,为共轭虚根. 当时，即方程
3、有一个三重实根.例题1 判别方程根的情况并求其实根.解：, , , ,由可知该方程有一个实根和两个共轭虚根，可用求根公式（1.1）求解., 实根 ,例题2 判别方程 根的情况并求其实根.解：, , , , 由, 可知该方程有一个实根和两个共轭虚根，可用求根公式（1.2）求解.,实根 .例题3 判别方程 根的情况并求解.解：, , , ,由, 可知该方程有三个互异的实根，可用求根公式（1.3）求解. （弧度）,.若改用角度计算（这在计算器上操作起来更方便一些），则,.附录： 实系数三次方程谢国芳求根公式的记忆秘诀（1）三次方程的谢国芳求根公式在整体形式上和二次方程的求根公式极为相似，这大大方便了
4、记忆。 二次方程的求根公式 三次方程的谢国芳求根公式其中仅仅是单个变量关键比的简单函数。（2）谢国芳公式中的第一判别式和二次方程的判别式极为相似，非常好记： , （3）谢国芳求根公式真正核心的参数只有一个，那就是关键比（只要算出了关键比，整个方程就解出了一大半，因为接下来的运算非常简单），以下是记忆关键比的秘诀： 注意齐次性，关键比的分子和分母的各项全都是的三次式（因为是三次方程，这很好记）。 关键比的分母最简单，就含一个，因为是二次的，为了变成三次，必须开 次方，即或（注意当为负时加绝对值符号）。 关键比的分子有三项，每项都是的三次式，第一项最容易记，后面两项全都是减号：和，系数连起来是（, ，这很好记吧），最后别忘了分母的系数也是！合起来关键比 作者简介： 谢国芳，浙江绍兴人，独立语言学者和数学研究者，著有解密英语学外语从零点到绝顶的最速路经、日语汉字读音规律揭秘、破解韩国语单词的奥秘等，建有以传播外语和数学知识与文化为宗旨的网站“语数之光”。已发表的重要数学和物理论文有：1. D 函数的一种初等推导及应用（1996年01期大学物理） 2. 量子角动量理论新探（1998年06期大学物理） 3. 球坐标D函数与的傅里叶级数表示 （2001年01期大学物理） 4. 一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则 （2012年第21期数学学习与研究）
一般实系数三次方程的谢国芳求根公式和判别法
