48数与代数复习策略

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1、数与代数复习策略安吉实验初中 陈忠伟本领域考试内容包括：数与式；方程与不等式；函数及其图像等三部分技能与方法有：数、式的运算（包括估算），描述规律 ， 解方程、解一元一次不等式 （组），符号表示，配方法、换元法、代定系数法 、去分母法等能力要求有：抽象思维能力，数与式的计算能力，数学建模能力，解决问题能力思想方法有：函数、方程、不等式模型思想 ，分类思想，转化思想，数形结合思想， 整体思想等本领域内容教材呈现特点：知识零碎分散；分段达标；螺旋上升；内容展开模式：问题 情景建立模型解释、应用与拓展近三年我市学业考试本领域试题总体特点：1、分值比较稳定，约占全卷的三分之一左右，数与式、方程与不等式

2、、函数又逐步递 增，是奠定整卷得分的基础2、在考试要求的难度分布上，从“数与式”到“方程与不等式”再到“函数”呈递增趋势；考 察了基础知识、基本技能，基本方法、基本数学思想，淡化了特殊技巧，注重再对 核心知识和核心技能的考察中；考察通性、通法3、试题呈现形式较以往更丰富，注重了以其它领域的综合，同时也推陈出新考察了学 生灵活运用知识的能力和创新意识一、近几年学业考试中学生存在的主要失分点和复习建议 （一）主要失分点及原因剖析1、概念不清，理解不到位例 1、（06湖州） 2的倒数是（）A、2B、 1/2 C、1/2D、1（ 07 湖州）-3 的绝对值是（）A、 -3B、 3C、13D、 3（ 0

3、8 湖州）2 的相反数是（）A. -2B. 2C11 D.-22错因分析：解这类基本题时，思想上容易掉以轻心，不能紧扣定义进行认真分析;没有将相关概念网络化，抓不住基本概念的要点和实质.例2、（07绵阳）计算：（-|）o +（3）-1 %Itan45-p3l错因分析：（1）对“负整数指数幕”与“零指数幕”的推导过程不重视，不理解，不能准确运用,误认为（-2）=-（2）对特殊角的三角函数值的理解停留在死记硬背的层次，盲目套用，将tan45 误认为学或其他值；绝对值知识掌握不牢固，将化简绝对值符号等同于去括号，这是一个较普遍的现象2、数感欠缺，数的大小比较模糊例3、(07湖州)估算空面+2的值是在

4、()A.5和6之间 B. 6和7之间C. 7和8之间D. 8和9之间(06 湖州)请你写出一个比 0.1 小的有理数错因分析：(1)缺乏数感，对无理数的认识不够，不会对无理数进行估算；(2)实数大小比较模糊，尤其是两个负数大小的比较.3、性质不熟，顾此失彼A、1x 一 y21x + y2例 4、(06 湖州)下列各式从左到右的变形正确的是()0.2a + b2a + ba + 0.2ba + 2b错因分析：(1)分式的性质不熟悉，如符号法则；(2)利用分式的性质变形时，没考虑分子、分母是多项式，顾此失彼过A. 一、二、三象限B. 二、三、四象限C. 一、二、四象限D. 一、三、四象限例5、(0

5、8丽水)已知反比例函数y =-的图象如图所示，则一次函数y = kx + k的图象经 x错因分析：(1)反比例函数与一次函数中的系数与图像的位置关系的性质不能融会贯通.2)解题中不能做到数形结合.4、方法混淆，相互干扰例6、(06湖州)分式方程-=二的解是x=x x +107 湖州)计算：2 一 1a2 1a 1错因分析：( 1)审题不清，把解分式方程和分式运算等同；( 2)将分式方程解法与分式加减运算混淆(前者是去分母，将分式方程转化为整 式方程，最终求出未知数值，而后者则是将分式的分母由异化同，达到化简 目的).5、思维定势，缺乏变通例7、(07湖州)将直线y=2x向右平移2个单位所得的直

6、线的解析式是()A. y=2x+2B. y=2x-2C. y=2(x-2)D. y=2(x+2)(06湖州)已知一次函数y=kx+b (k、b是常数，且k#0, x与y的部分对应值如下 表所示，那么不等式 kx+b0 的解集是( )A、 x0(2)由表格提供的条件，先用待定系数法求出k,b的值，再解不等式，而不知从 表中变量的变化规律结合函数性质直接得解6、数学思想运用意识不足例8、(07杭州)如果函数y=ax+b (aVO, bVO) 和 y=kx (k0)的图象交于点P,那么点 P 应该位于( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三限 D. 第四象限 错因分析：(1)联立解方程组，试

7、图通过求出交点坐标判断点所在的象限，受字母 a、 b、 k 干扰，消元时目的不明确，不会用含a、b、k的代数式表示x、y；且对一 次函数图像的分布规律掌握不扎实，这些都是导致错误的重要因素(2)主动运用“数形结合”思想的意识不强，若运用“数形结合思想”可以使复杂问 题简单化，使抽象问题具体化7、综合分析运用知识能力不够例9、(06湖州)已知二次函数y=x2bx+1 ( 1b1)，当b从一1逐渐变化到1的过程中， 它所对应的抛物线位置也随之变动下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是 ()A、先往左上方移动，再往左下方移动B、先往左下方移动，再往左上方移动C、先往右上方移动，再往右下方移动D、

8、先往右下方移动，再往右上方移动 错因分析：(1)不能从已知条件中获得对解题有用的信息，(2)不能联系相关知识将所得信息进行加工，获得解决问题的思路8、计算不过关，影响解题例 10、(08 湖州)为了支援四川人民抗震救灾，某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产 2 万顶帐篷的任务，计划 10 天完成(1) 按此计划，该公司平均每天应生产帐篷顶；(2) 生产2天后，公司又从其它部门抽调了 50名工人参加帐篷生产，同时，通过技 术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25，结果提前 2 天完成 了生产任务求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？错因分析：设该公司原计划安排x名工人生产帐篷，则由题

9、意得：2000200-00 2 2000(1+ 2%書10_鸟 丽5(此方程为分式方程，看上去结构较复杂，产生畏惧心理，解方程时，数式的运算能力薄弱，导致解方程错误9、忽视教材，不会迁移例 11、(07)湖州)利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b） 2=a2+2ab+b2.你根据图乙能得到的数学公式是错因分析：这是教材上两数和与两数差的平方的几何意义和解释，由于复习时脱离课本，造成课本内容的陌生，又因为类比能力不够，所以不能仿照左边的图正迁移得出结果10、面对新题，缺乏信心例12、（08湖州）将自然数按以下规律排列，则2008所在的

10、位置是第行第列.第-列第二列第三列笫四列第一行t2910第二行43811第三行56712第四行16151413第五行17t * 错因分析：学生审题时，面对试题的呈现，洞察力不够，对问题的实质把握不准，只是在局外观望，却不敢动手一试，解题信心不足（二）复习与备考建议1 、知识梳理系统化如：用框图整理“函数”的内容：2、设置问题串，知识连成片例 1、请研究二次函数 y=x2+4x+3 的图象及其性质，并尽可能多地写出有关结论解：（1）图象的开口方向：（2）顶点坐标：（3）对称轴：（4）图象与x轴的交点为：（5） 图象与y轴的交点为：（6）函数值y随自变量x变化的增减情况：（7）图象与y 轴的交点关

11、于对称轴的对称点坐标：（8）最大值或最小值：（9）由y的正负性判断 x 的取值范围：（10）图象的平移：（11）图像与坐标轴交点构成的三角形的面积： （ 11 ）对称抛物线：通过这道题的解决，已经基本上把二次函数的知识点都复习了一下，构建了数学知识结 构网络，使学生的知识更条理化，系统化例 2、根据 2008 年金华市中考题串联题目已知：x+求方程（组）或不等式的解若x、y是方程组的解，求X2y2的值 若a为方程的解，求a2-14a+50的值 若a为不等式的解，求y=a2-14a+50的y取值范围-0x-1x+y = 4x- y=8x2-14x+48 = 05x3 ax + 3的解集为.(2)

12、 (06嘉兴)已知函数y=x5,令x=丄、1、22222可得函数(A)丄9(B) A45(C) Z(D) 2455图象上的十个点.在这十个点中随机取两个点P (xi，儿)、Q (x2, y2),则P、Q两点 在同一反比例函数图象上的概率是( )加强综合，使学生能在有限的时空内更全面掌握知识，并有助于融会贯通.4、注重数学思想方法的渗透和运用. 初中阶段需要掌握的思想方法主要有：方程与函数思想、数形结合思想、分类思想、化 归思想、换元法、配方法、待定系数法等，在本领域都有体现.这些基本的数学思想方法是 数学知识的精髓，需要引导学生不断积累，逐步内化为自己的经验，并形成运用它们解决问 题的自觉意识

13、.下题更是将隐性的思想方法呈现在试题中.例 4、(07 台州)学习和研究反比例函数的图象与性质一次函数的图象与性质时，用到的数学思想方法有、 (填2个即可)5、重视思维训练，增强创新意识.近几年中考涌现出一大批内涵丰富、立意新颖、发人深思的好题，对学生的思维能力要 求越来越高.对此，平时的教学中要给予高度重视.(创新题的来源：1、从实际生活中抽象、 概括、提炼 2、从教学中生成 3、从教材习题改编 ) 教师可以通过解剖典型试题，引 导学生经历解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程，学会分析解决问题的方法.指 导学生适当做题、编题、改题，培养学生独立思考、探索研究的能力例5、(08绍兴)定

14、义p，q为一次函数y = px + q的特征数.(1) 若特征数是匕，k-2的一次函数为正比例函数，求k的值；(2)设点A，B分别为抛物线y = (x + m)(x - 2)与x，y轴的交点，其中m 0，且AOB的面积为4，O为原点，求图象过A B两点的一次函数的特征数.6、强化计算和解题规范，养成良好的解题习惯. 从中考阅卷情况看，不少学生基础题、会做的题得不到满分，出现了很多不应有的失 误.在复习中要注重培养学生进行各种语言的转化的能力，强化数与式的运算，准确运用数 学语言、简洁地表达自己的观点和思想，加强解题的规范性.二、本领域相联系的新题型、新方法1 、数值规律探索b 2 b5b8 b

15、11例1、(1) (08北京)一组按规律排列的式子：，(ab丰0 )，a a 3a3 a4其中第7个式子是，第n个式子是 (n为正整数).(2) (08湖州)将自然数按以下规律排列，则2008所在的位置是第行第列.第i列第二列第三列第四列笫一行t2910第二行43811第三行56712第四行16151413第五行17* 2、框图程序化算法例 2 、（ 1 ）（ 08 泰州）根据流程右边图中的程序，当输入数值 x 为 2 时，输出数值 y 为A. 4B. 6C. 8D. 10（2） （08扬州）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为48,我们发现第一次得到 的结果为=4九 2次得到的结果为1

16、2,，请你探索第2009次得到的结果为3、定义新运算例3、（06嘉兴）定义一种对正整数n的“F”运算：当n为奇数时，结果为3n+5；当n 为偶数时，结果为也（其中k是使丄为奇数的正整数），并且运算重复进行.例如，2 k2 k取n = 26，则:Q6血:也 44 血 J第一次第二次第三次若n=449,则第449次“F运算”的结果是.4、定义新术语1例4、（08南平）定义：a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数.如：2的差倒1 - a 1 1 1 1数是 =一1, -1的差倒数是=恳.已知ai =汗，a是a的差倒数，a1 - 21- （-1） 213213是a的差倒数，a是a的差倒数，依此类推

17、，则a =.2432009例 5、（06 浙江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平分差，那么称这个正整数为“神秘数”如： 4=2202，12=4222，20=6242因此 4， 12， 20 都是“神秘数”（1） 28 和2 012 这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k （其中k取非负整数）,由这两个连续偶数构造的神秘数是 4 的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方数（取正数）是神秘数吗？为什么？5、后续知识渗透a b=ad 一 be， c da b例6、（08四川）符号“，”称为二阶行列式，规定它的运算法则为:c d请你根据上述规定求出下列等式中x的值

18、.2111 = 11 一 x x 一 16、课内知识再研究例7、（07绍兴）设关于x的一次函数y二a x + b与y二a x + b，则称函数1 1 2 2y二m（a x + b ） + n（a x + b ）（其中m + n = 1）为此两个函数的生成函数.1 1 2 2（1）当x=1时，求函数y = x +1与y = 2x的生成函数的值；（2）若函数y = a x + b与y = a x + b的图象的交点为P，判断点P是否在此两个1 1 2 2 函数的生成函数的图象上，并说明理由7、删除内容改探究例8、（08广东）（1）解方程求出两个解x、x，并计算两个解的和与积，填人下表12方程x1x

19、2x + x1 2x . x1 29 x 2 一 2 = 02 x 2 一 3 x = 0x2 一 3 x + 2 = 0关于x的方程ax 2 + bx + e = 0（a、b、e为常数， 且 a 丰 0, b 2 一 4ae 0）一 b + Jb2 一 4ae一 b 7b2 一 4ae2a2a2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律?写出你的结论8、学习方法试题化例 9、（08 台州）在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是改善学习的重要方法善于 学习的小明在学习了一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数后，把相关知识归纳 整理如下:（1）一次函数的解析式就

20、是一个二元一次方程一次函数与方程的关系一次函数与不等式的关系（2）点B的横坐标是方程的解；（3）点C的坐标（x，y）中的x，y的值是方程组的解.8（1）函数y = kx + b的函数值y大于0时，自变量x的取值范围就是不等式的解集；1）请你根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论：; :; .（2）如果点C的坐标为（1,），那么不等式kx + b三kx + b的解集是.1 1例 10、（07 丽水）小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你按有关内容补充完整：复习日记卡片内容：一元二次方程解法归纳时间：2007年6月x日举例：求一元二次方程X2 -

21、x -1二0的两个解方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解解方程：x2 x 1 = 0 .解：方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解如图所示，把方程x2 x 1 = 0的解看成是二次函数y =的图象与x轴交点的横坐标，即x , x就是方程的解.1 2方法三：利用两个函数图象的交点求解（1）把方程x2 x 1 = 0的解看成是一个二次函数y =的图象与一个一次函数y =图象交点的横坐标；画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解.-3-2-1x9、试题呈现情境化例11、（08金华）跳绳时，绳甩到最高处时的形 状是抛物线正在甩绳的甲、乙两名同学拿 绳的手间距A

22、B为6米，到地面的距离-AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为 y=ax2bx0.9.（1）求该抛物线的解析式；（2）如果小华站在OD之间,且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头 顶，请你算出小华的身高；（3）如果身高为1.4米的小丽站在OD之间,且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超 过她的头顶，请结合图像，写出t的取值范围三、本领域易忽视知识点 本领域的知识点比较多，在教材中的分布也比较分散，因而有些知识点学生和教师都容易忽视

23、，现例举如下：1、相反意义的量和有理数的意义例1、（08金华）如果3吨表示运入仓库的大米吨数, 那么运出5吨大米表示为（ ） A5 吨B5 吨C3 吨D3 吨2、用有理数估计一个无理数的大致范围例2、（08芜湖）估计32 x+20的运算结果应在（）.2A. 6到7之间 B. 7到8之间C. 8到9之间D. 9到10之间3、有效数字的概念例3、 （08义乌）据统计， 2007年义乌中国小商品城市场全年成交额约为 348.4亿元，连续 第17次蝉联全国批发市场榜首.近似数348.4亿元的有效数字的个数是（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个4、整式的次数、项数例4、（08三明）写出含有字母x

24、、y的四次单项式 （只要写出一个）.5、解释一些简单代数式的实际背景或几何意义例5、（08青海）对单项式“5x”我们可以这样解释：香蕉每千克5元，某人买了x千克，共 付款5x元.请你对“5x ”再给出另一个实际生活方面的合理解释： .6、用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系例 6、 5月 23日 8时 40 分，哈尔滨铁路局一列满载着 2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发，途中除3次因更换车头等原因必须停车外，一路快速行驶，经过80小时到达成 都,描述上述过程的大致图象是（）例7、(08贵阳)利用图象解一元二次方程X2 + x - 3二0时，我们采用的一种方法是：在平 面直

25、角坐标系中画出抛物线y = X2和直线y = -x + 3，两图象交点的横坐标就是该方 程的解(1) 填空：利用图象解一元二次方程x2 + x - 3 = 0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y =和直线y二-x，其交点的横坐标就是该方程的解.(2) 已知函数y =-的图象(如图所示)，x利用图象求方程-x + 3 = 0的近似解x(结果保留两个有效数字).丄68、(a+b) (ab) = a2b2； (a+b) 2 = a2 + 2ab+ b2,公式的几何背景例 8、(07湖州)利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：(a+b)

26、2=a2+2ab+b2.你根据图乙能得到的数学公式是四、如何把握主要知识点的难度1、数与式( 1 )课标要求 掌握实数与数轴上的点的一一对应关系，借助数轴比较实数的大小、理解相反数和 绝对值. 科学记数法在生活中的应用. 掌握实数的基本运算. 具有良好的数感，估算、近似计算，数值规律探索. 用代数式表示简单问题的数量关系. 整式与分式的有关运算 对代数式的实际背景或几何意义的解释 因式分解（2）试题举例例 1、（08 金华）计算:2-1 （2008 兀）o + l3cos30实数的运算是学业考的常考题，往往涉及零指数、负整数指数、特殊角的三角函数值 例 2、（ 08 泰州）先化简，再求值：（-

27、X+2-4）十斗，其中x=2 +迈x 2 2 - 2 4 - + 4- 2 + 4 -代数式的化简计算是常见的考试内容，通常会涉及因式分解、分式的约分通分等知识点 要注意格式规范、计算准确，同时这几年命题形式的变化颇为丰富2、方程与不等式（ 1 ）课标要求 分析具体问题中的数量关系，列出方程或方程组并会求得其解并能检验结果是否合 理 会解一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的 分式不超过两个）及一元二次方程 分析具体问题中的数量关系，列一元一次不等式或不等式组，并能在数轴上表示不 等式的解集或利用数轴确定不等式组的解集（ 2 ）试题举例=1例3、（08杭州）已知是

28、彳方程2- ay = 3的一个解，那么a的值是A. 1 B. 3I y =1C. -3D. -1并判断-= 是否满足该不等式组-f + 3 0 例4、(08苏州)解不等式组：12(- 1) + 3 3-解方程（组）、解不等式（组）是初中数学学习的基本技能，要在掌握其通解通法的基础上，理解“解”的意义，这几年在“解”的定义上出题较多例 5 、 三个同学对问题“若方程组a- + by = c1 1 1a -+b y =c2 2 2f - = 3的解是I y = 4，求方程组3a - + 2b y = 5c1113a -+2b y =5c222的解”提出各自的想法甲说：“这个题目好象条件不够，不能求

29、解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以 5， 通过换元替换的方法来解决”参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是本题思维要求较高，解题的技巧性强，要有熟练的方程同解变形能力和换元技巧.3、函数及其图像（ 1 ）课标要求 对函数实质的理解刻画变量之间的关系，既有定性的判断又有定量的刻画 函数表示法（特别是图象法、列表法），对图象深刻性的理解 待定系数法求函数解析式 函数性质的分析，在此基础上对变量的变化规律进行初步预测 函数在实际问题中的应用(2)试题举例1 k 一一-一一例5、(1)(08扬州)函数y = 的图象与直线y = x没有

30、交点，那么k的取值范围是() xA、k 1B、k 1D、k y的x的取值范围是12A. x2B. x2 或一1 VxV0C. 一1VxV2D. x2 或 x-1考查反比例函数与一次函数的图象和性质及运用数形 结合思想解题例6、(08南京)已知二次函数y = x2 + bx + c中，函数与自变量的部分对应值如下表：x-101234y1052125(1)求该二次函数的关系式；( 2)当 x 为何值时， y 有最小值，最小值是多少？(3)若A(m,y1), B(m +1,y?)两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小.考查的是用待定系数法确定函数解析式的常规方法，一考查了学生对函数本质的理解

31、 (关注表中的对称性、与坐标轴的交点),二渗透着函数不同表达式之间的关系,三考查了 函数的增减性并要进行分类讨论.例7、(08苏州)初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y = ax2 + bx + c的图象时.列了 如下表格：R W_21012 * *61_4-2寺-2根据表格上的信息同答问题：该=次函数y = ax2 + bx + c在x =3时，y=.本题要求考生对二次函数的性质有较高层次的理解，渗透着数形结合研究函数的重要思想.例8、(08淮安)一盘蚊香长100cm，点燃时每小时缩短10cm,小明在蚊香点燃5h后将它熄灭，过了 2h,他再次点燃了蚊香.下列四个图象中，大致能表示蚊香剩余长度y(cm)与所经过时间t(h)之间的函数关系的是用图象的形式给出了两个变量之间的关系，解题时首先要理解坐标轴所表达的意义其次对图象中每一段的含义要理解