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1、第一讲第一讲蒙特卡洛模拟及衍生品定价蒙特卡洛模拟及衍生品定价潘慧峰金融学院金融工程系办公室：博学楼919房间：64492533:panhf2gmail Agenda 蒙特卡洛方法根本原理 估计欧式期权的定价区间 估计亚式期权的定价区间 蒙特卡洛方法的优缺陷 提高模拟效率的方法什么是蒙特卡罗模拟什么是蒙特卡罗模拟?根据韦氏词典的解释：Monte Carlo relates to or involves“the use of random sampling techniques and often the use of computer simulation to obtain approxima
2、te solutions to mathematical or physical problems especially in terms of a range of values each of which has a calculated probability of being the solution Merriam-Webster,Inc.,1994,P754-755根本思想：抽样实验来计算参数的统计特征，最后给出求解问题的近似值。实际根据：中心极限定理及大数定律为其主要实际根底主要手段：随机抽样 运用前提：知随机变量服从的分布或可以化为知分布的变量的函数。蒙特卡洛方法的根本原理蒙特
3、卡洛方法的根本原理抽样分布的根底抽样分布的根底辛钦大数定律辛钦大数定律 定理：设定理：设 是独立同分布的是独立同分布的随机变量序列，有有限的数学期望随机变量序列，有有限的数学期望E(X)E(X)，那么有那么有 .,.,21XnXX,1)(1lim,0,1|)(1|lim11XEXnPXEXnPnkknnkkn辛钦大数定律的辛钦大数定律的Matlab实现实现01002003004005006007008009001000-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6中心极限定理中心极限定理(central limit theorem)定理：设定理：设 是独立同分布的是独立同分布的随机变量序
4、列，有有限的数学期望和方差随机变量序列，有有限的数学期望和方差 ,那么有那么有.,.,21XnXX2,),(1),(/1lim211nNXnxxnXnPnkknkkn中心极限定理的中心极限定理的Matlab实现实现估计欧式期权的定价区间估计欧式期权的定价区间基于蒙特卡洛方法的定价区间估计基于蒙特卡洛方法的定价区间估计 找到描写标的资产价钱运动规律的随机过程，需求对误差项的分布作出假设 得到N个标的资产到期日价钱，得到一个期权价钱 得到多个期权价钱，给出定价区间 估计欧式看涨股票期权的定价区间估计欧式看涨股票期权的定价区间 假设标的资产满足几何布朗运动的随机过程，估计其欧式看涨期权的VaR?tt
5、ttttdSS dtS dWdWz dtzSStS zt 服从标准正态分布 例例 设有这样一个股票，其现行的市场价钱为50元，无风险利率为0.1,收益率的规范差为0.4。知有一种以该股票为标的资产，执行期限为T=5/12的看涨期权，执行价钱为52元，试用蒙特卡洛模拟法确定该期权的定价区间?第一步，得到此股票价钱的一条途径第一步，得到此股票价钱的一条途径020406080100120505560657075 得到第i-1个节点的价钱 根据价钱服从的随机过程，进而得到第i个节点的价钱第二步，得到第二步，得到1个期权价钱个期权价钱 得到标的资产的1000个途径 得到标的资产到期日1000个价钱 得到
6、max(P-K,0)的均值的现值一个期权价钱020406080100120020406080100120标的资产到期日价钱的直方图标的资产到期日价钱的直方图1020304050607080901001100102030405060708090第三步，得到多个期权价钱，画出直方图第三步，得到多个期权价钱，画出直方图 得到200个期权价钱 得到期权价钱的直方图及定价区间4.44.64.855.25.45.65.860510152025303540估计亚式期权的定价区间估计亚式期权的定价区间 亚式期权是一种途径依赖型期权，它的收益函数依赖于期权存续期内标的资产的平均价钱 离散平均价钱 亚式看涨期权的
7、现金流 11niiAS tn 11max,0,;,1,2NiiiS tKNTtiiNN 股票价钱为50，亚式看涨期权执行价为50，存续期为5个月，期权到期现金流是每月均价与执行价之差，股票收益率的规范差为0.4，无风险利率为0.1，下面用蒙特卡洛方法估计亚式期权的定价区间?蒙特卡洛的优缺陷蒙特卡洛的优缺陷 MCMC方法的优点方法的优点 分布假设更普通，描画市场要素能够变化的统计分布既可以是正态、对数正态的,也可以是带跳的分散分布、t分布等。随机生成风险要素的各种各样的未来假想情景,可在模型中交融管理层对未来风险程度的了解与预测,调查更多的假设情况。练习 股票价钱为50，亚式看涨期权执行价为50
8、，存续期为5个月，期权到期现金流是每月均价与执行价之差，股票收益率的规范差为0.4，无风险利率为0.1，下面用蒙特卡洛方法计算亚式期权的价钱?注：随机数采用自在度为6的t分布。提高模拟效率的方法提高模拟效率的方法对偶变量法对偶变量法 对于服从对称分布的随机变量来说，当随机产生一个随机数v时，可以自动的得到另一个随机数-v，可以得到两个价钱p1，p*1。对价钱的模拟可以运用平均P p1+p*1)/2替代Corr(v,-v)=-1，P 1和p*1的相关系数显然小于0.2),cov(4)var(4)var()var(*11*11ppppp0204060801001200204060801001201
9、4016018011.522.533.54304050607080304050607080051015202530控制变量法控制变量法 假设有两种类似的证券A和B，要用模拟的方法对证券A的价钱进展估计，假设证券B可以得到解析解，可以用解析公式计算出B的价钱fB。然后对fA-fB进展模拟，fA-fB的误差自然减少。控制变量法控制变量法变量A的数值的估计公式模拟括号中的数值，用解析式计算出B的数值然后相加得到A的模拟值。只需 就有)(BABA0)()(2)()()var(BVARBACOVBVARAVARA0)(2)(BACOVBVAR)()var(AVARA 构造化衍生品定价构造化衍生品定价奇特
10、期权奇特期权 妨碍期权-敲出-敲入 复合期权-call on call-call on put中信泰富外汇衍生品合约中信泰富外汇衍生品合约 合约类型：合约类型：Accumulator Accumulator 每月买卖量：每月买卖量：1000 1000万澳元万澳元 结算方式：结算方式：每月结算每月结算 合约期限：合约期限：24 24个月个月 敲出条件：敲出条件：累计盈利累计盈利350350万美圆万美圆 协议汇率：协议汇率：0.7815-0.9600 0.7815-0.9600美圆美圆/澳元澳元 加权协议汇率：加权协议汇率：0.8971 0.8971美圆美圆/澳元澳元 杠杆比率：杠杆比率：2.5
11、2.5 合约签署日：合约签署日：2021 2021年年7 7月月1616日日 汇率现价：汇率现价：0.9749 0.9749美圆美圆/澳元澳元 合约开场时间：合约开场时间：2021 2021年年1010月月1515日日定价分析：定价分析：定价步骤定价步骤 给出月汇率演化的随机过程包括参数、初值给出月汇率演化的随机过程包括参数、初值 模拟出一条途径模拟出一条途径 给出这条途径上每个月的损益给出这条途径上每个月的损益 计算累计损益计算累计损益-当节点价钱大于协议价钱，那么收益：节点价钱当节点价钱大于协议价钱，那么收益：节点价钱-协议价钱协议价钱-当节点价钱小于协议价钱，那么损失：当节点价钱小于协议价钱，那么损失：2.52.5*节点价钱节点价钱-协议价钱协议价钱-计算一切节点的累计损益计算一切节点的累计损益 假设累计损益大于假设累计损益大于350350万元，那么合约停顿万元，那么合约停顿 假设累计损益小于假设累计损益小于350350万元，那么合约继续万元，那么合约继续 得到多条实践的损益途径得到多条实践的损益途径 现金流贴现定价现金流贴现定价 谢谢！END
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