算法对高中数学的渗透

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1、算法对高中数学的渗透成都市高新实验中学 张平福普通高中数学课程标准（实验）指出：“算法除作为本模块的内容之外，其思想方法应渗透在高中数学课程其他有关内容中，鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题。”新课程不仅开设算法初步专题，而且从内容上把算法融入数学课程的各个相关部分. 在高中数学课程中，解一元二次方程组、解二元线性方程组、解一元二次不等式、质数的判定、二分法、判定平面直角坐标系中直线与圆的位置关系、解三角形、求导数和定积分、建立线性回归方程等，都是算法的典型案例由此可见，算法思想贯穿整个高中数学，算法的学习对整个高中数学的学习有着“源”与“流”的关系.在教学中，要体现数学与算法的有机结合，在

2、学习相应内容的过程中，有意识地引导学生体会算法思想，使他们看到数学在算法设计中的作用，以及掌握算法思想对于提高数学能力的重要性。一、在问题解决中强化算法意识、提升算法思想算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有抽象性、概括性和精确性.在教学时尽量根据问题解决情景培养算法思想，以真正提高学生思维能力.【例1】已知椭圆的离心率为 ，试设计求的算法程序框图.算法分析：信息“椭圆”意味着，离心率需定位方程中4和哪一个是.可用条件结构表现“椭圆焦点在哪个坐标轴上”与“与4的大小”之间的依赖关系，即需判断与4的大小，并据此设计算法，程序框图如下.二、波利亚的“怎样解题表”是数学问题解决的普适性

3、算法按照波利亚的“怎样解题”表,解决数学问题的过程可以被分解为这样四个步骤： 第一，弄清问题；第二，拟定计划；第三，实现计划；第四，回顾.就这四个步骤而言，波利亚指出：“最糟糕的情况是：学生并没有理解问题就进行演算或作图.一般说来，在尚未看到主要联系或者尚未作出某种计划的情况下，去处理细节是毫无用处的”.作为新课程的践行者，数学教师需认真研读波利亚的“怎样解题”.波利亚的“怎样解题”表未知是什么？已知是什么？满足条件是否可能？要缺点未知，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？画张图，引入适当的符号。把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？弄清问题第一你必须弄清问题你以前

4、见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉问题？这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述这个问题？回到定义去。如果你解决所提出的问题，可先解决一个与此相关的问题。你能不能想出一个更容易着手的问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知

5、数能确定到什么程度？它回怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有已知的数据？你是否利用了所有条件？你是否考虑了包含在问题中的必要的概念？拟定计划第二找出已知数与未知数之间的联系.如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题.你应该最终得出一个求解的计划.实现计划实现你的求解计划，检验每一个步骤你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？第三实现你的计划回顾你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它

6、来?你能不能把这一结果或方法用于其它的问题?第四验算所得到的解【例2】(2003年全国卷第21题)已知常数a0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a,O是AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图15），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.分析：本题高考四川省均分仅1.59，惨不忍睹！很多学生考后仍然心有余悸地说面对此题无从下手.此题果真就这样难吗？让我们听听高考场内完美解决了此题的同学谈的解题感受：首先，这个问题虽然不好下手，但从问题情境看，它不是代数问题、不是立体几何问题，肯定

7、是解析几何问题；其次，既然这是解析几何问题，那就应该在坐标系环境下求解，因此要建立恰当的坐标系；第三，给出的图形太对称了，有助于建立坐标系，不妨如下图建系；开始结束问题的信息输入：这是解析几何问题，需建立坐标根据图形的对称性建立恰当的坐标系设置点A、B、C、D、E、F、G、O的坐标建立直线OF和GE的方程，用交轨法求点P的轨迹方程根据点P的轨迹方程判断点P的存在性第四，建立坐标系的目的是什么呢？当然从问题情境看可以设置点A、B、C、D、E、F、G、O的坐标（事实上只需设元引参：设=k，进而确定相关的点的坐标）；第五，不妨回到问题中来：结论需要我们做什么呢？若存在两个定点使P到这两点的距离的和为

8、定值的话，点P的轨迹不就是椭圆吗？因此问题的核心是求点P的轨迹方程;第六，根据前面五点可知，只需建立直线OF和GE的方程，用交轨法解决即可. 我们在赞叹这位同学聪明机智的同时，更应该看到他思维过程中算法思想的影子.我们不妨用算法的框图来描述解决此问题的思维过程和逻辑关系如右.事实上，上述框图中的前三步应该容易想到，并且有了前三步，想到第四步及以后的步骤就比较自然了.解：如图建立直角坐标系，按题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a). 三、算法思想也是思想实验【例3】(2002年全国卷文科22)给出两块相同的正三角形纸片（如图1、图2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱

9、锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积大小.图一图二分析：要求用正三角形纸片剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，除了给出的标准答案外，其实还有一种更简单自然的方法（如右图）.这种做法应该更容易想到，所用知识更少.像这样的动手实践的问题，其实更需要学生在平时积累的直接经验，这也是新课程标准所强调的（即动手实践能力）.而这一算法思想古人早就应用其解决实际问题。在九章算术中卷一“方田”第25题：今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几

10、何？注文中的“以盈补虚”就是刘徽的“出入相补”法，在高考中从代数角度也进行了考查，如上海高考试题：已知函数的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是A4B8C2D4四、 数学问题是算法思想培养的素材【例4】设实数mn,m+n=8,mn=12,求m和n.解析：算法一：（传统方法）m、n是方程x2-8x+12=0的根，利用求根公式或十字相乘法知m=6,n=2.算法延伸：在等差数列中，则_.思路：由等差数列性质知，可知是方程 的两个根，故，得，或。算法二：（构造共轭）m+n=8,mn=12（m+n）2=64m2+2mn+n2=64m2)-2mn+n2=16 (m-n)2=16m

11、-n=4 m=6,n=2.应用示例：设是第二象限的角，sin+cos=,则tan=_.思路：由算法二方法构造共轭式：sin-cos=，得算法三：（增量代换）m+n=8m超过4的的部分正好是n少于4的部分，据此设m=4+t,n=4-t,代入mn=12 (4+t)(4-t)=12t2=4t=2 m=6,n=2。应用示例：（1）已知正数满足，则的最小值为_.（2）（06江苏）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则xy的值为（ ）（A）1（B）2（C）3（D）4思路：（1）令，则，所以时取最小值2。（2）本题考查统计的基本知识，样

12、本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，所涉及的是初中知识，而不是离散型随机 变量分布列的期望（平均）与方差。样本平均数为 样本方差为解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出即可，由，设x=10+t, y=10-t,代入得：，故，选D五、利用算法思想提高学生数学思维品质【例5】(09福建理15)五位同学围成一圈依序循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为_.解

13、析：这是历史上著名的斐波那契数列.寻找规律是解决问题的根本，否则，费时费力. 利用算法初步案例1的思想首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了.这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，即设第次报数、第次报数、第次报数分别为，则有，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环，周期是8.在一个周期内只有第四个数和第八个数都是3的倍数，五位同学依序循环报完

14、100个数共经历12.5个周期，其中第4，8，12，16，96，100个数是3的倍数，已知甲同学第一个报数，他报数的位置为1，6，96.问题转化为当时有多少项是4的倍数，易知时是4的倍数，即甲同学拍手的总次数为5次.我们在看看四川06年理科12题：从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为（A） （B） （C） （D）【考查目的】本题考查排列组合、概率及分类的思想方法【解法】从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数一共有：= 998648（个）因为一个整数能被3整除当且仅当其各位数字之和能被3整除，所以我们将0到9这10个数

15、字按被3除所得余数分成1，4，7；2，5，8；0，3，6，9三组来考虑组成三位数的三个数字不含0，3，6，9，这时三个数字之和要能被3整除只能是1，4，7或2，5，8的组合，共有2个；三个数字中有且只有0，3，6，9中的一个，这时三个数字之和要能被3整除，其余两个数字只能分别是1，4，7和2，5，8两组中各取一个，共个，除去0在首位的个，还有198个；三个数字中有且只有0，3，6，9中的两个，这时组成的三位数三个数字之和都不能被3整除；三个数字都取自0，3，6，9，共个，这时三个数字之和必可被3整除，除去0在首位的个，还有18个故能被3整除的共有12+198+18228个不能被3整除的有648

16、228420个因此概率P【点评】本题是当年四川高考理科选择题的压轴题求能被3整除的三位数的个数是一个常规题，求能被3整除的没有重复数字的三位数难度就增加了不少，如果再与概率综合，随着需要考虑的情况复杂性的增加，需根据算法思想进行正确清晰的分类，对思维能力的要求很高。本题对高分考生的区分度明显高于对全体考生的区分，是一个难题六、利用算法思想提高学生问题解决能力算法是思维的条理化和逻辑化，其基本思想是程序化、按部就班. 我们可以利用这一算法思想拟订解决具体数学问题的思维流程或解题步骤，帮助我们走出思维混乱、表述不清的困境.【例6】(09海南宁夏理17)为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在

17、A，B两点进行测量A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图）飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤解析： 这是一个以三角为背景考查算法思想的一个好题，需要一定的算法分析能力。方案一：需要测量的数据有：点到，点的俯角；点到，的俯角；的距离（如图所示）第一步：计算由正弦定理；第二步：计算由正弦定理；第三步：计算由余弦定理方案二：需要测量的数据有：点到点的俯角；点到，的俯角；的距离（如图所示）第一步：计算由正弦定理；第二步：计算由正弦定理；第三步：计算由余弦定理七、算法思想本身就贯穿新课

18、程教材在学习算法初步之前我们实际上已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程、不等式的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想。人教A版教材充分关注算法的思想方法渗透在高中数学课程其他有关内容中，在教材正文及小贴士、思考、阅读与思考、信息技术应用等栏目设计了大量利用算法解决相关问题的情景，如人教A版数学5第三章不等式中，第二单元一元二次不都是的解法正文(P78)用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来，再要求学生在判断框和处理框中的空格填充相关内容（如下图），这能充分鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题。“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”通过算法初步及教材各章节渗透的算法他的学习，能否让学生理解算法概念？学生能否独立进行算法分析？独立进行算法设计？是否形成了算法意识？是否形成算法思想并能自觉运用于问题解决？是否发展了学生有条理的思考与表达的能力？是否提高了学生逻辑思维能力？算法思想是否已经成为学生数学素质的有机组成部分？这些既是我们践行新课程时面临的问题，也是我们教学实践中永久的追问，更是我们数学人永远的思考。