2022年秋高中数学第三章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程课后提能训练新人教A版选择性必修第一册

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1、第三章3.33.3.1A级基础过关练1(2021年沈阳月考)抛物线x216y的准线方程为()Ay4By8Cx4Dx8【答案】A【解析】由已知2p16，所以p8，所以准线方程为y42(2021年大连月考)点M(5,3)到抛物线yax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是()Ay12x2By12x2或y36x2Cy36x2Dyx2或yx2【答案】D【解析】分两类a0，a0可得yx2，yx23已知抛物线的方程为xy2，则该抛物线的准线方程是()Ax6Bx9Cy9Dy6【答案】B【解析】xy2，焦点在x轴上，且9，所以抛物线的准线方程是x94抛物线y2x2的焦点到准线的距离为()ABCD4【答案】C【解

2、析】根据题意，抛物线的方程为y2x2，其标准方程为x2y，其中p，则抛物线的焦点到准线的距离p5O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2B2C2D4【答案】C【解析】抛物线C的准线方程为x，焦点F(，0)，由|PF|4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP3，从而yP2，所以SPOF|OF|yP|226设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|()A5B6C7D8【答案】D【解析】如图，AFE60，因为点F(2,0)，所以点E(2,0)，则tan60，即|AE|4，所以点P的

3、坐标为(6，4)，故|PF|PA|6287(多选)(2021年濮阳段考)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C及其准线分别交于P，Q两点，3，则直线l的斜率可以为()ABCD【答案】AB【解析】如图，过点P作抛物线C：y22px准线的垂线，垂足为P1，设t，则3t，4t，由抛物线的定义可得t在RtPP1Q中，cosQPP1，所以sinQPP1，所以tanQPP1，所以直线l的斜率可以为或故选AB8已知P为抛物线y24x上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4,5)，|PA|d的最小值为_【答案】1【解析】抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线l：x1

4、由题意得d|PF|1，所以|PA|d|PA|PF|1|AF|111，当且仅当A，P，F三点共线时，|PA|d取得最小值19已知抛物线yx2与双曲线x21(a0)有共同的焦点F，O为坐标原点，点P在x轴上方且在双曲线上，则的最小值为_【答案】32【解析】抛物线yx2，即x28y的焦点为F(0，2)所以a222123，故双曲线的方程为x21设P(x，y)，因为点P在x轴上方，故由双曲线的性质可得y(x，y)，(x，y2)，x2y(y2)x2y22yy22y1y22y112因为y，故函数t2在，)上单调递增，当y时，取得最小值，最小值为()22132所以的最小值为3210如图，抛物线C的顶点为坐标原

5、点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2y21相切(1)求抛物线C的方程；(2)若点A，B都在抛物线C上，且2，求点A的坐标解：(1)依题意，可设抛物线C的方程为x22py(p0)，其准线l的方程为y因为准线l与圆x2y21相切，所以圆心(0,0)到准线l的距离d01，解得p2故抛物线C的方程为x24y(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由题意得F(0,1)，所以(x2，y21)，(x1，y1)因为2，所以(x2，y21)2(x1，y1)(2x1,2y1)，即代入得4x8y14，即x2y11又因为x4y1，所以4y12y11，解得y1，x1，故点A的坐标为或B级能力提升练11(多选)已知

6、抛物线y210x，则下列对于该抛物线的说法中正确的是()A焦点在y轴上B准线方程为xC抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6D由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可以为(2,1)【答案】BD【解析】抛物线y210x的焦点在x轴上，准线方程为x，A错误，B正确；设M(1，y0)是y210x上一点，则|MF|116，C错误；由于抛物线y210x的焦点为，过该焦点的直线方程为yk，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k2，D正确故选BD12抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点若抛物线

7、y24x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为()ABCD【答案】B【解析】将y1代入y24x，可得x，即A由抛物线的光学性质可知，直线AB过焦点F(1,0)，所以直线AB的斜率k13以椭圆1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_【答案】y216x【解析】因为椭圆的方程为1，所以右顶点为(4,0)设抛物线的标准方程为y22px(p0)，则4，即p8，所以抛物线的标准方程为y216x14如图，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方

8、向上高度之差至少要有0.5米以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则该抛物线的方程为_；若行车道总宽度AB为7米，则通过隧道的车辆限制高度为_米(精确到0.1米)【答案】x25y4.0【解析】如图，设该抛物线的方程为x22py(p0)，因为点C(5，5)在抛物线上，所以该抛物线的方程为x25y设车辆高为h，则|DB|h0.5，故D(3.5，h6.5)，代入方程x25y，解得h4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米15已知抛物线C：x22py(p0)上两点A，B，且ABy轴，OAOB，其中O为坐标原点，AOB的面积为16，求抛物线C的方程解：不妨设点A在第一象限且A(m，n)，则B(m，n)，可得m22pnABy轴，且OAOB，即AOB为等腰直角三角形，则直线OA的斜率为1，即mn由AOB的面积为16，得2mn16，解得mn4，所以p2所以抛物线C的方程为x24y6