(完整版)高数中需要掌握证明过程的定理(一)

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1、高数中的重要定理与公式及其证明(一)考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类 繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应 该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有 些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费 力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。应深受大家敬佩的静水深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己 对考研数学的一点了解，总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。这些 证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来看都是 应当熟

2、练掌握的。由于水平有限，总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明 过程是必要的。1) 常用的极限ln(l+ x)ex -1ax -1(1+ x)a -11 -cos x 1lim= 1, lim = 1, lim = In a , lim= a , lim=x tOxxtO xxtOxxtOxx tOx 22【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想 过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限lim(1+ x)： = e与xtOlim皿 =1的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技x tO x巧。=e两边同时取对数即得li

3、mln(1+ x)limln(1+ x) = 1xtOx由极限lim(1+ x) xxtO证明：xtOlim = 1:在等式 limln(1)= 1 中，令 ln(1+ x) = t，则 x = et -1。由于极限xtO xxtOx过程是x t 0，此时也有t t 0，因此有lim丄 =1。极限的值与取极限的符号 ttO et - 1是无关的，因此我们可以吧式中的t换成x，再取倒数即得lim竺二1 = 1。 x t0 xlimg = lna :利用对数恒等式得lim竺二1 = lim空岁二1，再利用第二个极限可xt0xt0xt0得 lime x ln a - 1xt0e x ln a - 1

4、=ln a limxlna= ln a因此有 lim _1 = ln a。xt0xt0(1+ x)a 1 lim= a :x tOx利用对数恒等式得(1+ x)a 1ea ln(1+ x) 1lim= limx tOxea ln(1+ x) 1 ln(1+ x)=a limxtO a ln(1+ x)x= a limxtOea ln(1+ x) 1ln(1+ x)lima ln(1+ x ) x tOx上式中同时用到了第一个和第二个极限。1cos x 1 lim=xtO x22利用倍角公式得lim匕叱xtOx22sin 2 x=lim xtOx2=bim2 xtO.x)sin 22) 导数与微

5、分的四则运算法则(u 土 v) = u 土 v,(uv) = u V + uv, d( u 土 v) = du 土 dv d(uv) = vdu + udvvvu - uvv2d(-)=vvdu - udv(v 丰 0)v2【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。 而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概 念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不 赘述了。3) 链式法则设y = f (u),u =9 (x)，如果9 (x)在x处可导，且f (u)在对应的u =9 (x)处可导,则复合函数y = f (9 (

6、x)在x处可导可导，且有：f (9 (x)= f (u )9(x)或字=忡dx du dx【点评】：同上。4) 反函数求导法则设函数y = f (x)在点x的某领域内连续，在点x处可导且f(x)丰0，并令其反函 0数为 x = g(y) ，且 x 所对应的 y 的值为 y ，则有： 0011 dx 1g(y ) =或=j-0f(x ) f(g(y ) dy dy0 0 dx点评】：同上。5)常见函数的导数Ca ) =a xa-1，(sinx)= cosx， (cosx)=一sinx，(ln x) = ， (log x) = 1, xax ln a(ex) = ex， (ax) = ex lna

7、【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上， 掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对 极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。证明：Ca)=axa-1:导数的定义是f(x) = lim f (x +心)_，代入该公式得Axt0AxAx()丁 (x + Ax)a xa(1+T)a 1r (1+T)a 1xa ) = lim= xa= xa1 lim=a xa1。取后一AxaxtoAAxtOAx步用到了极限lim(1+ x)a 一1xt0Ax。注意，这里的推导过程仅适用于x鼻0的情形。x二0的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给

8、大家。(sin x) = cos x ： 利用导数定义(sin x) = lim sin(x十心)_，由和差化积公式得limAxt0似。Axt0Ax( 人、2cos( x +Ax)sin Axsin(x + 心)-smx = lim2I = cosx。(cosx) =-sinx 的证明类Ax t0AxAx(ln x)=xl (1 Ax):利用导数定义(lnx) = limln(x + Ax) lnx = lim 口 十 x = Axt0AxxAx 丄的证明类似(利用换底公式log x =旦)。 xlnaa lnaAxt0(ex) = ex:利用导数定义(ex) = lim -= lim ex

9、- -1 = e*AxAxt0AxAxt0证明类似(利用对数恒等式 ax = exlna)。- ex。Cx) = ex ln a 的6) 定积分比较定理如果在区间a,b上恒有f (x) 0，则有I & f(x)dx 0a推论：i如果在区间a, b上恒有f (x) g (x)，则有Ibf (x)dx Ibg (x)dx ； aaii设M和m是函数f (x)在区间a, b上的最大值与最小值，则有： m(b 一 a) Ibf (x)dx M (b - a)a 【点评】：定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。 掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。

10、7) 定积分中值定理设函数f (x)在区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一点g使得下式成立：1 bf (x)dx 二 f (g )(b a)a【点评】：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论，在证明题中有重要的作用。考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的 题目，重要性不严而喻。具体证明过程见教材。8) 变上限积分求导定理如果函数f (x)在区间a,b上连续，则积分上限的函数(x)二J xf (x)dx在a,b上a 可导，并且它的导数是0(x) = J xf (x)dx = f (x),a x bdx a设函数 F(x) = Ju(x)f (t)dt，则有

11、 F(x) = f (u(x)u(x)- f (v(x)v(x)。v(x) 【点评】：不说了，考试直接就考过该定理的证明。具体证明过程见教材。9) 牛顿-莱布尼兹公式如果函数 f(x) 在区间 a,b 上连续，则有 J b f (x)dx = F(b) - F(a) ，其中 F(x) 是 af(x) 的原函数。【点评】：微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理的 推论。具体证明过程见教材。10) 费马引理：设函数f (x)在点x的某领域U(x )内有定义，并且在x处可导，如果对任意的0 0 0x G U (x )，有 f (x ) f (x),那么 f(x ) = 00 0

12、0 0【点评】：费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是 很重要的思想方法。具体证明过程见教材。11) 罗尔定理：如果函数 f(x) 满足(1) 在闭区间a,b上连续；(2) 在开区间(a,b)上可导(3) 在区间端点处的函数值相等，即f (a) = f (b)那么在(a, b)内至少存在一点g (a g b)，使得也)二0。【点评】：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理； 它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相 互蕴含，可以相互推导的。这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主 要的证明方法。中值定理的证明是高数

13、中的难点，一定要多加注意。具体证明过 程见教材。12) 拉格朗日中值定理：如果函数 f(x) 满足(1) 在闭区间a,b上连续；(2) 在开区间(a,b)上可导那么在(a, b)内至少存在一点g (a g b)，使得f (g ) = f (b) f (a)。b - a【点评】：同上。13) 柯西中值定理：如果函数 f(x) 和 g(x) 满足(1) 在闭区间a,b上连续；(2) 在开区间(a,b)上可导那么在(a, b)内至少存在一点g (a g 0，那么函数f (x)在a,b上单调递增。如果在(a,b)上有f(x) 0的情形，f(x) x1 2 1 2则利用拉个朗日中值定理可得，玉G(x ,

14、 x )使得f (x ) - f (x ) = f (g )(x - x )。2 2 1 2 1 2由于 f (g ) 0，因此 f (x )- f (x ) 0 。12由x ,x的任意性，可知函数f (x)在a,b上单调递增。1214)(极值第一充分条件)设函数f (x)在x处连续，并在x的某去心邻域U(x ,6 )内可导。0 0 0i) 若x g (x -6,x )时，f(x) 0,而 x g (x ,x +6)时，f(x) 0,则 f (x)在 x 处0 0 0 0 0 取得极大值ii) 若x g (x -6,x )时，f(x) 0,则 f (x)在 x 处0 0 0 0 0取得极小值；

15、iii) 若x g U (x , 6 )时，f(x)符号保持不变，则f (x)在x处没有极值；00 【点评】：单调性定理的推论，具体证明过程见教材。15)(极值第二充分条件)设函数f (x)在x处存在二阶导数且f(x )二0，那么 00i) 若f(x ) 0,则f (x)在x处取得极小值；00ii) 若f ”(x ) 0,的情形，f(x ) 0,的情形类似。 00由于f (x)在x处存在二阶导数，由带皮亚诺余项的泰勒公式得。在x的某领域 00内成立 f (x)二 f (x )+ f (x )(x - x )+ f ” (x )+ o (x - x )200002L 0_由于f(x )二0，因此

16、0f(x) = f (x)+f(x+ o(xx匕 =f (x )+(x - x )2 止 + O (x - V002(x - x )20o ( x - x )2 由高阶无穷小的定义可知，当x T x时，有-400(x- x0f (x ) oL(x- x )2 因此在x的某领域内成立f一上+0 -02(x - x )20f (x ) o (x x0 )2 T +(x - x )20进一步，我们有f (x )+(x - x匕牛f (x0)。也即，在x的某领域内成立f (x) f (x )。00由极值点的定义可知f (x)在x处取得极小值。016)洛必达法则设函数f (x),g(x)在x = a的空心邻域内可导,g(x)丰 0，且 limx T af(x) g(x)则有lim/凹=A，其中A可以是有限数，也可以是+07。xTa g ( x)【点评】：洛必达法则是计算极限时最常用的方法，但它的证明却很少有人关注。 洛必达法则是拉格朗日中值定理的推论，证明过程比较简单，也是一个潜在的考 点，需要引起注意。具体证明过程见教材。