大学物理-第二章连续体的运动.ppt

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1、大学物理,多媒体课件,任课教师 郑再明,第二章 连续体的运动,教学要求,（1）理解刚体概念和刚体运动的基本类型；,（2）理解描述刚体定轴转动的物理量，掌握它们和线量的关系及其刚体定轴转动的运动学规律；,（3）理解转动惯量的意义；,（4）掌握刚体绕定轴转动的转动定律来分析、计算简单的连续体的力学问题；,重点：刚体绕定轴转动的转动定律及其应用.,难点：应用刚体定轴转动的动力学规律分析求解有关连续体的力学问题。,第二章教学要求(1),授课学时（建议）：4学时,作业（建议）：,P63 26、28、210、 115、216、218,2.1预备知识,一、中学物理知识要点,（1）力臂（d）：从转动轴到力的作

2、用线的垂直距离叫做力臂。,（2）力矩（M）：力和力臂的乘积。,（3）动能：,（4）密度 ：,二、相关知识,（1）多重积分，微分；（附录 积分运算） （2）矢量运算；（附录 矢量的运算） （3）右手螺旋法则（矢积方向的判定）。,第二章预备知识(1),2.2.1刚体的运动,1.刚体：在任何情况下，其形状和大小都保持不变的物体。,注,“刚体”和质点一样是一个理想化的力学模型； 任何两点之间的距离在运动过程中保持不变。,研究方法： 把刚体视为无数质点组成的质点系，从质点运动规律出发，先讨论每个质点的运动规律，然后把构成刚体的全部质点的运动加以综合，就可得到刚体的运动规律。,2.2.1刚体的运动(1),

3、2.2.1刚体的运动(2),1)平动：,2.刚体的运动类型,刚体内任一直线方位不变，如下图所示。,特点：各点运动状态一样，如：速度 、加速度 等都相同。 故可用一个点来代表刚体运动。,2)转动,（1）绕点转动 （2）绕轴转动：刚体中所有点都绕一直线作圆周运动。如图所示。,瞬时转轴：转轴随时间变化 一般转动,固定转轴：转轴不随时间变化 刚体定轴转动,图2-4,2.2.1刚体的运动(2),说明：刚体的任何运动都可看作平动与转动的合成。（如：乒乓球飞行等）,特点：,2.2.1刚体的运动(3),3）定轴转动（本章仅讨论此情况）,定义：转轴固定时称为定轴转动。,（1）各质点都作圆周运动；,(3)刚体上各

4、点的 、 、 一般情况 下不同。,（2）刚体上各点的角位移 相同 ,各点的 、 相同；,说明： 是矢量，方向可由右手螺旋法则确定。,(2),2.2.2刚体绕定轴转动的运动学方程,1.角坐标 转动方程,图2-9,1）角坐标：动平面与定平面的夹角(称为二面角)，逆时针为正，反之，为负。见图2-9,2.2.2刚体绕定轴转动的运动学方程(1),2）转动方程：角坐标与时间的函数关系，称为刚体绕定轴转动的运动方程，又叫转动方程。,2.描述刚体绕定轴转动的物理量与运动学规律,2.2.2刚体绕定轴转动的运动学方程(1),运动学规律: 刚体绕定轴转动的运动学规律和质点作圆周运动的运动规律相同 （详见1.2.2节

5、p19）,描述转动的物理量: 描述刚体绕定轴转动的物理量与质点作圆周运动的物理量相同； 1)角位置 ； 2)角位移 ，,角速度,角加速度,匀速率定轴转动,匀变速率定轴转动,二类：已知刚体定轴转动的角坐标与时间的关系，求刚体的角速度和角加速度。,解题方法：将已知的对时间t求导，即和,解题方法：用定积分或不定积分求解。,2.2.2刚体绕定轴转动的运动学方程(2),应用刚体定轴转动理论解题的方法（大致可以分为三类）,一类：已知角量求线量或已知线量求角量。,解题方法：运用线量与角量的关系（，）和刚体绕定轴转动的运动学方程。,三类：已知刚体绕定轴转动的角加速度与运动初始条件 （t=0时刻的、 值），求定

6、轴转动规律。,例2-1 有一长为l的均匀细棒绕垂直通过其一端O的垂直轴匀角速转动，角速度为。求此捧中点A任意时刻的速度与加速度。,2.2.2刚体绕定轴转动的运动学方程(2),解法一:直接应用角量与线量的关系,得,A 的大小为，方向与棒垂直。,又由题可知恒量，故：,方向由A指向为O。,解法二:如例2-10图示。从图中可知,例2.2.2-1图,即A的大小为，方向与棒垂直。,又由题可知恒量，故：,方向由A指向为O。,2.2.2刚体绕定轴转动的运动学方程(3),解 由题意可知：，时， ，飞轮作匀减速运动。 设t=0时，00。由匀变速转动的公式得：,（1）在此时间内飞轮的角加速度,在此时间内飞轮所转的圈

7、数为,（2）在t=6s时，飞轮的角速度为,t=6s时，飞轮边缘上一点的线速度的大小为 ：,切向加速度和法向加速度为分别为,2.2.2刚体绕定轴转动的运动学方程(4),例2-2一飞轮半径为0.2m、转速为， 因受到制动而均匀减速，经30s停止转动，试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后时，飞轮的角速度、飞轮边缘上一点的线速度与切向加速度以及法向加速度。,-(1),在t=300s时,代入式（1）得,于是，式（1）变为,由角速度的定义及上式得,在300s内，转子转过的转数为,2.2.2刚体绕定轴转动的运动学方程(5),例2-3在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子可绕垂直

8、其横截面并通过中心的轴转动。开始时，它的角速度，经300s后，其转速达到 .已知转子的角加速度与时间成正比，问在这段时间内，转子转过多少转？,作业p63 6,7,8,2.2.3刚体绕定轴转动的动力学方程,1.力矩,1)引入: 外力对刚体转动的影响，与力的大小、方向和作用点的位置有关。,力通过转轴：转动状态不改变；,力离转轴远：容易改变；,力离转轴近：不易改变。,2)力矩的定义,力臂：从转轴与截面的交点0到力F的作用线的垂直距离d叫做力对转轴的力臂。,力矩 ：力F的大小和力臂d的乘积，就叫做力F对转轴的力矩，用M表示。,-(2-2),注：对“力矩”概念的说明,力矩为矢量，其大小为 ，方向由右手螺

9、旋法则判断；,（2-2）式中的F是作用在垂直于转轴的平面内的外力；,2.2.3刚体绕定轴转动的动力学方程(1),特例：质点作圆周运动时的力矩,如图2-14所示。,图2-14,-(2-3),对于定轴转动，力矩方向的规定；,当有几个外力同时作用在一个绕定轴转动的刚体上，且这几个外力都在与转轴相垂直的平面内，则合力矩等于每个分力的力矩之和，,图2-15,如图2-15所示，,在SI制中，力矩的单位为牛顿米（）。,2.2.3刚体绕定轴转动的动力学方程(2),2.2.3.2刚体绕定轴转动的定律,设有一刚体如图2-16的示。,图2-16,把刚体看成是由许多质点所组成的，任一质量为mi的质点所受的力矩为：,刚

10、体的力矩为刚体内所有质点的力矩之和，即：,考虑到同一刚体上各点的相同，则上式可写成：,定义转动惯量：,-(2-4),表示，刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。这个关系叫做定轴转动时刚体的转动定律，简称转动定律。,注：对转动定律的说明,转动定律是解决刚体定轴转动的基本定律，它的地位与质点动力学中的牛顿第二定律相当；,2.2.3刚体绕定轴转动的动力学方程(3),（2-4）式中的合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的；,瞬时性：同一时刻对同一刚体，同一转轴而言，随M的变化而变化。,3.转动惯量：反映刚体转动惯性大小的物理量。,（1）刚体的转动惯量等于

11、刚体上各质点的质量与各质点到转轴距离平方的乘积之和；,（2）对于质量连续分布的刚体，转动惯量可用积分式表示为,-(2-5),r为刚体质元dm到转轴的垂直距离,（3）影响刚体转动惯量的因素,刚体的总质量；,刚体的质量分布；,转轴位置。,（4）组合定理：当一个刚体由几部分组成时，可以分别计算各个部分对转轴的转动惯量，然后把结果相加就可以得到整个刚体的转动惯量，即,-(2-6),（5）转动惯量是标量，其单位为千克米2（kgm2）。,2.2.3刚体绕定轴转动的动力学方程(4),4.平行轴定理：如图2-17所示 。,图2-17,-(2-7),表示，刚体对任一转轴的转动惯量等于刚体对通过质心并与该轴平行的

12、轴的转动惯量JC，加上刚体质量与两轴距离d的二次方的乘积；,说明： （1)通过质心的轴线的转动惯量最小； （2)平行轴定理可以用来计算刚体的转动惯量。,5.垂直轴定理,如图2-18所示。则可以证明：薄板刚体对z轴的转动惯量等于对x轴的转动惯量和对y轴的转动惯量之和，即,图2-18,-(2-8),刚体转动惯量的求解：,根据转动惯量的定义可知，求解刚体转动惯量的方法有：,2.2.3刚体绕定轴转动的动力学方程(5),（1）对于离散型刚体用,单个质点的转动惯量,特例：,（2）对于连续型刚体用,其中dm的确定方法是：,（3）对于几何形状不规则刚体的J，虽然可用定义求解，但考虑到计算的复杂性，通常由实验测

13、定。,应用计算转动惯量的步骤是：,（1）根据计算方便建立坐标系；,（2）根据具体问题选择适当的积分元 ，并写出dm表达式；,（3）由选定的坐标系，写出积分元绕定轴转动的转动的惯量在dJ的表示式；,（4）统一变量、确定积分限，通过积分求出刚体绕给定轴的转动惯量。,（5 ) 利用平行轴定理，正交轴定理求解。,2.2.3刚体绕定轴转动的动力学方程(6),例2-4如图所示为一质量为m、长为l的均匀细棒。求通过棒中心O或棒端点的并与棒垂直的轴的转动惯量。,例2-19图,解：取如图坐标，,整个细棒对oy轴的转动惯量为,当以棒的端点并与棒垂直的轴（如轴）转动时，其转动惯量有二种计算办法 。,方法一：利用定义

14、，仿照上述方法可得,方法二：由平行轴定理可得：,例2-5求质量为m、半径为R的均匀细圆环通过其中心并与圆环平面垂直的轴的转动惯量。,2.2.3刚体绕定轴转动的动力学方程(7),例2-21图,例2-20图,解：如图所示，在圆环上任取一质元dm，该质元对轴的转动惯量为,所以圆环对轴的转动惯量为,例2-6有一质量为m、半径为R的均匀薄圆盘。求通过薄圆盘中心并与圆盘面垂直的轴的转动惯量。,解：取半径为r宽为dr的薄圆环,例2-7 细棒AB与二质点组成的刚体结构如图所示，试求此刚体对过AB中点且垂直AB的转轴的转动惯量。,解：由组合定理可得：,其中：,所以 ：,2.2.3刚体绕定轴转动的动力学方程(8)

15、,6.刚体绕定轴转动的动能,刚体的转动动能 =刚体上各质点动能之和。,设刚体绕一定轴以角速度 转动,第i个质点的质量为mi ,mi到转轴的距离为ri ,mi的线速度i=ri (各质点的角速度相同)；,相应的动能为,整个刚体的动能为：,即：,-(2-9),刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度二次方的乘积的一半。,注：转动惯量与动能在工程技术中的应用,应用刚体绕定轴转动的动力学理论解题：,刚体定轴转动问题可大致分为两类：,一类：已知刚体所受的合外力矩（由受力分析得出），求刚体定轴转动的角量。,2.2.3刚体绕定轴转动的动力学方程(9),此类问题的一般解法是：应用转动定律求出刚体转动的

16、角加速度，然后由运动的初条件（）,按运动学第二类问题的解法（积分法）或根据刚体运动学公式求出转动的角量。,二类：已知刚体转动规律，求刚体所受的合外力矩。,此类问题的一般解法是：按运动学第一类问题的解法（微分法）求出角加速度，然后应用转动定律求出合外力矩。,应用转动定律列方程的步骤,（1）根据题目要求和计算方便确定出研究对象；,（2）对研究对象进行受力分析，画出受力图，并确定外力矩；,（3）规定转动正方向，根据转动定律列方程求解。,例2-8如例2-23图a所示，一长为l、质量为m的匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链相连，并可以绕其转动。由于此竖直放置的细杆处于非稳定状态，其受到微小扰动时，细杆

17、在重力的作用下由静止开始绕铰链转动。试计算细杆转到与竖直线成角时的角速度与角加速度。,解：如例2-3图b所示，选细杆为研究对象，根据转动定律，得：,2.2.3刚体绕定轴转动的动力学方程(10),由角加速度的定义式可得,作变换后有：,例2-9如例2-24a图所示，一根轻绳跨过定滑轮，其两端分别悬挂着质量为m1和m2的物体，且m2 m1 。滑轮半径为R，质量为m3 （可视为匀质圆盘），绳不能伸长，绳与滑轮间也无相对滑动，忽略轴处摩擦，试求物体的加速度和绳子的张力。,例2-24a图,解：分别选m1 、 m2和m3为研究对象，其受力情况如例2.2.3-6b图所示，由题可知：,2.2.3刚体绕定轴转动的

18、动力学方程(11),例2-24b图,-(1),-(2),-(3),-(4),-(5),求解上述（1）（2）（3）（4）（5）,例2-10匀质圆盘的质量为m，半径为R，在水平桌面上绕其中心旋转，如图例2.2.3-7图所示。设圆盘与桌面之间的摩擦系数为。求圆盘从以角速度0旋转到静止时所需要的时间？,2.2.3刚体绕定轴转动的动力学方程(12),例2-25图,解：选圆盘为研究对象，在圆盘上任取一个半径为r，宽度为dr的细圆环。该细圆环所受的力矩为其中：,整个圆盘所受的力矩为：,根据转动定律得,由有：,2.2.3刚体绕定轴转动的动力学方程(13),作业p63 15,16,18,2.2.4流体运动,能流

19、动的物质称为流体。它包括液体和气体。流体具有以下基本属性：,（1）流动性：流体的一部分相对于另一部分所发生的相对运动，其形状随容器的形状而改变，这种性质称为流体的流动性。,（2）压缩性：指流体的体积随压力的变化而变化的性质。,（3）粘滞性：当流体各层之间有相对流动时，会出现层间阻力，这种层间阻力称为内摩擦力，或粘滞力。流体具有内摩擦力的性质称为流体的粘滞性简称粘性。,注：流动性是液体与气体的共性，也是流体区别于固体的主要特征。而液体和气体的显著差别在于气体易压缩，而液体几乎不能压缩。实验发现，在10时，每增加一个大气压，液体体积的减少量仅为原来的二万分之一。,2.2.4流体运动(1),2.2.

20、4.1流体运动的描述,流体运动的研究方法：,拉格朗日方法（JLLagrange1736118311、意大利数学家、力学家）：,欧拉法（LEuierl7074l7839瑞士数学家、物理学家）：,1、理想流体：无压缩性和无粘滞性的流体。,注：理想流体是一种流体模型。,概念：,3、定常流动：流体的流速只是空间位置（x,y,z）的函数，那么这种流体流动就称为定常流动，也叫稳定流动。,2、非定常流动：流体流速不仅随空间位置（x,y,z）变化，而且还随时间改变，即，这种流体流动称为非定常流动。,4、流线和流管：在流体流动的区域画出一些曲线，使曲线土每一点的切线方向和流经该位置的质元的速度方向,2.2.4流

21、体运动(2),一致，这种曲线称为流线，如图2.2.4-1所示。流线所围成的管状空间，称为流管，如图2.2.4-2所示。,注：对流线和流管的说明,流线和流管是为直观形象地描述流体运动而引入的；,当流体作定常流动时，流线就与流体质量元的运动轨迹相重合。当流体作非定常流动时，流线与流体质量元的运动轨迹不再重合。,在定常流动中，空间每一点都有确定的流速，因而流线不能相交。换言之，流体作定常流动时，流管内的流体不会流出管外，流管外的流体也不会流入管内。,讨论流体时，常以一段流管中的流体作为研究对象。在工程实际中，常直接把流体通过的管道当作流管 。,2.2.4流体运动(3),流量和连续性原理,作定常流动的

22、流体中，任取一段流管AB为研究对象，设其两端A、B的垂直截面积分别为S1和S2，每一截面上各点的流速相等，1表示A处的流速，2表示B处的流速，如图2.2.43所示。由定常流动的特点有：,图2.2.4-3,即：,-（2-9）,或：,-（2-10）,流量,连续性方程,在(2-9)式两边同乘以流体密度得：,即：,（2-11）式表示，单位时间内流过流管任一截面的流体质量都相同。,2.2.4流体运动(4),例2.2.4-1已知消防队员使用的喷水龙头入水口的截面直径是，出水口的截面直径是，若入水的速度是，试求射出水的速度。,解：设入水口的截面积为S1，水流的速度为1，出水口的截面积为S2，水流的速度为2，

23、由连续性原理有,2.2.4.2伯努利方程,图2.2.4-4,在作定常流动的理想流体中取任一段流管AB为研究对象，设A端的截面积为S1，B端的截面积为S2，流体流经A、B两处的速度分别为1、2，在A、B两处的压强分别为P1和P2，如图2.2.4-4所示。,流体在A处的机械能为：,2.2.4流体运动(5),流体在B处的机械能为：,外力对流管内的流体所作的功为,由有：,即：,-（212）,-（213）,此二方程即为伯努利方程,注：对伯努利方程的说明,压强与流速的关系,当理想流体在水平管道中作定常流动时，有h1=h2，伯努利方程的形式变为：,2.2.4流体运动(6),或,静压强,动压强,-（214）,

24、从(2-14)式中可以看出，在水平管中流动的流体，流速大的地方压强小、流速小的地方压强大。,将(2-12)和(2-13)式两边除以得：,-（215）,-（216）,称为压力水头,称为位置水头,称为流速水头,(2-16)式表示：理想流体作定常流动时，任一点的总水头H保持一常量。,2.2.4流体运动(7),适用范围：在对伯努利方程进行推导时，我们用到了理想流体的不可压缩性和没有粘滞性。因此伯努利方程只适用于理想流体中的定常流动。并且只对同一细管中的各截面才有意义。,例2.2.4-2如例2.2.4-2图所示，大桶侧壁有一小孔，桶内盛满了水，求水从小孔流出的速度和流量。,例2.2.4-2图,解：由伯努

25、利方程式有：,由此得小孔流速为：,托里拆利原理公式,例2.2.4-3 水在截面不同的水平管中作定常流动，出口处的截面积为管的最细处的2倍，若出口处的流速为2m/s，问最细处的压强为多少?（已知出口处的压强为大气压强）,解：由题可知，,2.2.4流体运动(8),根据连续性方程：有：,因水在水平流管中流动，有：,又根据伯努利方程可知：,2.2.4.2流体的粘滞性,如图2.2.4-5所示，在两片水平放置的玻璃板之间放一层粘滞流体如甘油，下面的玻璃板固定，给上面的玻璃板施加一水平向右的力而向右运动。假设上板以速度0匀速前进。假设相邻两液层之间的,图2.2.4-5,距离为dy，它们的速度差为d，它们相接

26、触的面积为S，实验发现，内摩擦力的大小f与面积S及 成正比，即:,2.2.4流体运动(9),-（218）,(2-18)式称为牛顿粘滞性定律，其中为比例系数，称为液体的粘滞系数，亦称粘度，在SI制中的单位为帕斯卡秒（），除与物质材料有关外，还和温度、压强、密度有关。,2.2.4流体运动(10),2.3应用知识伯努利方程与连续性方程的综合应用,空吸现象,图2.3.1-1,流量的测量文丘利流量计,如图2.3.1-2所示，主管和细管处都接上竖直的细管，两处竖直管中流体的高度差为h，设主管的横截面积为Sl，,2.3应用知识（1）,流速为1，压强为P1；细管的横截面积为S2，流速为2，压强为P2；由(2-

27、14)式可得,图2.3.1-2,-(2-19),又因压强差,故(2-19)式可写成：,-(2-20),-(2-21),由（219）（220）（221）可得：,-(2-22),2.3应用知识（2）,故流量即单位时间内流过截面的流体体积为：,-(2-23),在工程上实际应用时，(2-23)式要修正为：,-(2-24),上式中的是小于1的系数，称为速度系数，它的数值可根据流量计的形状和流速的快慢等因素而定。,流速的测量：,图2.3.1-3,如图2.3.1-3所示为皮托管的原理示意图，圆头中心A处和外管侧面B处各有一个开口。内外管与U型压强计的两管相连。测量时使圆头对着来流方向，流体到达A时流速为零，而流经B点时即为流体的流速。,2.3应用知识（3）,由伯努利方程得：,又因 故有：,-(2-25),压强差PA一PB可由两管液面的高度差求得，即,由此得待测流体的流速为,-(2-26),2.3应用知识（4）,本章小结,三、转动定律和牛顿第二定律的比较,作业p65 20,22,