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1、函数的奇偶性与周期公式推导方法一、奇函数、偶函数对于函数，其定义域关于原点对称：1、对于函数的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x）或f（x）+ f（x）=0，则称为奇函数.2、对于函数的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x）或f（x）f（x）=0，则称为偶函数.二、判断函数的奇偶性1、定义法判断有解析式的函数的奇偶性例1、判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|； （2）f（x）=（1+x）；（3）； （4）剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x（，+），对称于原点.f（x）=|x+1|x1|=|x1|x+1|=（|x+1|x1|）=f（x），f（
2、x）=|x+1|x1|是奇函数.先确定函数的定义域.由0，得1x1，其定义域不对称于原点，所以既不是奇函数也不是偶函数。 解：函数定义域 1x1 是偶函数（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由得故f（x）的定义域为1，0）（0，1，关于原点对称，且有x+20.从而有f（x）= = ，这时有f（x）=f（x），故f（x）为奇函数.（4）函数f（x）的定义域是（，0）（0，+），并且当x0时，x0，f（x）=（x）1（x）=x（1+x）=f（x）（x0）.当x0时，x0，f（x）=x（1x）=f（x）（x0）.故函数f（x）为奇函数.评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应
3、先求定义域再化简函数解析式.证明抽象函数的奇偶性例2、已知f（x）是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a，bR 都满足：f（ab）=af（b）+bf（a） 求f（0），f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论 分析：应用公式f（ab）=af（b）+bf（a），取a、b 的一些特殊的值进行计算 解：（1）f（0）=f（00）=0f（0）+0f（0）=0； 由f（1）=f（11）=1f（1）+1f（1）， 得f（1）=0 （2）f（x）是奇函数 证明：因为f（1）=f（1） 2 =f（1）f（1）=0， 所以f（1）=0， f（x）=f（1x）=f（x）+xf（1）=f（x
4、） 因此，f（x）为奇函数 点评：研究抽象函数的奇偶性，应紧紧围绕题目所给的抽象函数的性质进行研究如果觉得所给抽象函数的性质符合某些已知函数（如二次函数等）的性质，可以用已知函数替代抽象函数进行思考，探索求解思路。例3、定义在区间上的函数满足：对任意的，都有.求证：为奇函数； 思路点拨欲证明为奇函数，就要证明，但这是抽象函数，应设法充分利用条件“对任意的，都有”中的进行合理“赋值” 解析令x = y = 0，则f (0) + f (0) = = f (0) f (0) = 0令x(1, 1) x(1, 1) + f (x) = f () = f (0) = 0 f (x) = 在(1，1)上为
5、奇函数点评：对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值”，而抽象函数的不等式问题，要灵活利用已知条件，尤其是f (x1) f (x2) = f (x1) + f (x2)奇偶函数的性质及其应用1、奇偶函数图象的对称性（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称。（2）若是偶函数的图象关于直线对称； 若是奇函数的图象关于点中心对称；例、若函数在上为减函数，且对任意的，有，则 A、 B、 C、 D、2、（1）偶函数的和、差、积、商（分母不为0）仍为偶函数。 （2）奇函数的和、差仍为奇函数，奇数（偶数）个奇函数的积、商（分母不为0）为奇（偶）函数。 （4）奇函数与偶函数的积为奇函
6、数。 （5）定义在（，+）上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和。（1）若是奇函数且在处有定义，则。（逆否命题可判断一个函数不是奇函数） （2）奇函数的反函数也为奇函数。 （3）若，则既是奇函数又是偶函数，若,则是偶函数。 函数的周期性1、定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。 周期性不仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主要难点是抽象函数周期的发现，主要有几种情况：2、抽象函数的周期（1）若函数满足 ，则的周期是（2）若函数满足 ，则的周期是（3）若函数满足 ，则的周期是（4）函
7、数图象有，两条对称轴型，即=，=，则的周期是（5）函数满足，则的周期是 证明：（1）（2）对于定义域中任意满足，则有，故函数的周期是（3）若，则得，所以函数的周期是；同理若，则的周期是（4）函数图象有，两条对称轴，即，从而得，故函数的周期是（5）由得，进而得，由前面的结论得的周期是例、已知定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则 解析由得到，从而得，可见是以4为周期的函数，从而，又由已知等式得又由是上的偶函数得，又在已知等式中令得，即，所以例、已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足f(x+2)=f(x)，则f(6)的值为（ ） A1 B. 0 C. 1 D. 2函数的周期公式推导步骤及习题f(
8、x+a)= -f(x) ,f(x+a)= ,f(x+a)=- , 这几个式子的周期为什么是2a?1. f(x+a)= -f(x) 2. f(x+a)= 3. f(x+a)= - 4. f(x+a)= 5. f(x+a)= f(x+a)= 6. f(x+a)= f(x+a)=f(x-a) 这几个式子的周期为什么是2a?推导步骤如下1.f(x+a)= -f(x) .(1)两边x用x-a代左边=f(x)= 右边= -f(x-a).(2)把(2)带入(1)得f(x+a)= -f(x)= f(x-a)即f(x+a)=f(x-a)x用x+a代得f(x)=f(x+2a)所以周期是 2a这类的题目都是x用另一
9、个函数带只要最后是f(x)=f(x+周期)习题练习1.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x+4)= f(x)，当x（0.2）时，f(x)2x2 则， f(7) （ ） A.-2 B. 2 C. -98 D. 98 2. 设定义在R上的函数f(x)满足f(x). f(x+2)13.若f(1)2 求f(99)A.13 B. 2 C. 13/2 D. 2/13 3. 已知f(x)在R上是奇函数，且f(x)满足f(x+2)=-f(x)，f(6) （ ） A.1 B. 0 C. 1 D. 24. 设f(x)在R上是任意函数，下列叙述是正确的是（ ） A. f(x). f(-x)是奇函数 B. f(x).| f(-x)|是奇函数 C. f(x)-f(-x)是偶函数 D. f(x)+ f(-x)是偶函数 7
函数的奇偶性与周期公式推导方法
