22 数项级数的基本概念

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1、、数项级数的定义及敛散性定定义：设给定一数列1叫:仏旳应”込，则称表达式-1辽 2 +n3 +.朽 +Ijjs%为数项级数，简称级数.记为M_1，即jj二萇+1/? +n3 + + 吗s + M-1其中第用项称为级数的通项，也称为一般项.注意：级数一定是由无穷多项相加而成的式子.d 11 1d 1 1 11+- + 1 + + - + j-例如：是级数，不是级数;是级数，不是级数.由中学学过的无穷递缩等比数列的求和公式可得,1111 仃十一十一 F H - 22 222丄可见，这里的“无穷项求和”的结果等于一个数.而对于级数1+ 2 + 3 + -卄 + 从直观上可知，这里的“无穷项求和”不等

2、于任何数. 接下来要研究的问题是：“无穷项求和”的运算如何进行?定义:项和为另冷 二+肚2 + 也 % + 记级数的前总显然Lilim二艮i + 聲g + 聲丫 lcs + =-1lim 二 如果fS为级数 的和,（常数），则称级数收敛，并称2X =s记作.0不存在，则称级数发散.典型例题例2.2.1讨论等比级数（又称为几何级数）另购 I = $ + 两 + 购 +- M-1的敛散性其中八,叫做级数的公比.解（1）如果幻，级数的前总项和SK = aaqaq2 Haql = （1 + ? + 富纟广）=a： -_1-qI I . Hlilfl 花| |hl 1 丄；H _当 时，由于，从而，因此

3、这时级数收敛，其和为1-.-!lim = onlimg二 co当，由于”沁，从而f，这时级数发散.如果，则当孑T时，级数的前附项和広FK，因此级数发散；当 第时，级数成为空-a + a-a-l0,= 2k凡=彳 血用=2 +1 ,显然”随着用的增大，总是在出或零上来回跳动，从而的极限不存在，这时级数 也是发散的.综上所述，我们得到：等比级数41aSH-1的公比为则当切C时，级数收敛，且收敛于1如果Ml，则级数发散.简记为r aM-1K-lI.发散,1可记忆为IICDV1n-11-处比发散,BQ由此公式，我们可以很快地得出:1 I=1 + + +匕丿227zK-li.r22 ，级数收敛.fl一=

4、+一+一22 7ZS-1，级数收敛.0发散.M-1(1)解2.2.2判定下列级数的敛散性:1 1斗(2)K-M-1亠3x4艸 x冲+ 1)(1) ,盘二 +%+%用盪+1)二 1 + 2皿二2lim E疋二 hm 从而i由于ma&B-lM-1H-1此性质说明，两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减.文层士叫）也收敛，且性质3在级数中去掉、加上或改变前面有限项的值,性质4 （级数收敛的必要条件）若级数 收敛, lim 込=0*沁K不会改变级数的敛散性.则它的一般项趋于零，即零,此性质说明，一般项的极限为零是级数收敛的必要条件.出lim 篡 H 0推论：若，则级数发散.注意：级数的一般项趋于零并不是级

5、数收敛的充分条件.有些级数虽然一般项趋于 但仍然是发散的将在后面学习的调和级数就是这样的例子.H-1典型例题例2.2.4判断级数z八、临W f 1、=skW-1 i2丿L m+5的敛散性.9 a广m-L收敛，所以由性收敛.(-i)h 1 丄DB-1(一厅 _1A，所以级数 收敛.1皿11迟2 ，所以级数发散.(1)因为P因为例 2.2.8 m 1X 判定下列级数的敛散性:1(1)解2 (2)0 1丄；血冷z 1，而Z冷收敛, 1 1丄故收敛.1血用 1 Z-，而* 1发散，所以专云发散.小结(1) 数项级数及其收敛与发散的概念；(2) 数项级数敛散性的常用判别法： 等比级数的敛散性判定及收敛时的求和.要求掌握有关的结 论和公式. 戸一级数的敛散性要求掌握有关的结论. 对于正项级数，在利用比较判别法时，常以厂一级数作为参 照. 当以上判别方法都不适用时，考虑用敛散性的定义进行判 别. 利用级数收敛的必要条件只能说明，一般项极限不为零的级 数发散，但一般项极限为零的级数未必收敛.重点题型：判断级数的敛散性.