运动学习题课学生

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1、第1页/共124页第2页/共124页第第13章章 点的运动学与点的运动学与刚体的基本运动刚体的基本运动第3页/共124页第4页/共124页tddytdldlxsinsincos2cos2第5页/共124页P点的运动方程：tddytdldlxsinsincos2cos2第6页/共124页第7页/共124页Rv0A第8页/共124页cossinAMACyAMOCx(sin)(1 cos)xRyRRCMOCxA第9页/共124页cossinAMACyAMOCx(sin)(1 cos)xRyR点M的速度分量为：(1 cos)sinxRyR22(1 cos)sinsincosxRRyRR加速度分量为：于

2、是M点的运动方程为：第10页/共124页AxOCR0AxRv第11页/共124页再对t求一次导数，可得 这对于沿直线轨迹滚动的物体都是正确的。0AxRv00AxRva引入 则有RaRv00第12页/共124页即轮上M点的速度大小与M点到C点（轮上与地面接触点）的距离成正比。其方向由下式确定：coscos2v,jyvvcossin2v,ixvvcos1222RyxvMCv2sin20M点的速度大小为第13页/共124页于是，纯滚动时轮上各点的速度如图所示。vMC 当=0和=2 时，M点与地面接触，此时M点的速度为零。从图中的几何关系可以证明：任意点的速度矢量垂直于滚动时轮与地面接触点的连线，即，

3、第14页/共124页加速度可由式 22(1 cos)sinsincosxRRyRR求得 ja2R 由此可见，当M点与地面接触时，其加速度的大小不等于零，方向垂直于地面向上。该加速度是点M在此瞬时的切向加速度，因为此时速度为零，故其法向加速度为零。第15页/共124页220nvaRR这时M点的速度为v=2=2v0 0，于是，轨迹在最高处的曲率半径为：RRvvav4)2(2020n2iv02v22aijRR M点轨迹在最高点处的切线方向与i 同向；曲线向下弯曲，所以主法线方向与j同向。于是，法向加速度的大小为：由于当=时，M点的速度和加速度分别为：第16页/共124页若v0为常矢量，则 为常量，故

4、，此时由式M点加速度大小恒为：RaRv0022(1 cos)sinsincosxRRyRR222axyRM点加速度的方向由下式确定：cossina,ixaacoscosa,jyaa根据式第17页/共124页 所以，这时轮缘上M点的加速度方向均指向轮心A，如图中所示，此时的加速度既非切向加速度，也非法向加速度，而是这两种加速度的矢量和。不过请注意，若v0不为常矢量，则加速度方向并不指向轮心。cossina,ixaacoscosa,jyaa第18页/共124页第19页/共124页北vr第20页/共124页北yxzzxyvr第21页/共124页北yxzzxy第22页/共124页北yxzzxyaear

5、aCvr第23页/共124页jcos2Risin2rvCreaaaaa kjsincos22RvRvrr北zxyyxzaearaCvr第24页/共124页第25页/共124页第26页/共124页第27页/共124页x1y1第28页/共124页0ar0ae23sin6021cos60rvvrvv,第29页/共124页 aa 的大小和方向？ar 的大小和方向？ae 的大小和方向？第30页/共124页Creaaaaa araaaCaen 432322 2001ero1CrrAOvvaae第31页/共124页 araaaCaeaenCaaaaecos30202043223rrr2083第32页/共12

6、4页第33页/共124页已知：凸轮的偏心距OCe,凸轮半径 ,并且以等加速度绕O轴转动，图示瞬时，AC垂直于OC，30o。er3求：顶杆的速度与加速度。第34页/共124页1、选择动点、动系，运动分析与速度分析动点：顶杆上A点;动系：Cx1y1固结于凸轮。对于动点A，在 t 瞬时 绝对运动：铅垂直线运动；相对运动：圆周运动；牵连运动：绕O轴的定轴 转动第35页/共124页1、选择动点、动系，运动分析与速度分析动点：顶杆上A点;对于动点A，在 t 瞬时绝对速度va：ve为所要求的未知量，方向沿着铅垂方向向上；相对速度vr：大小未知，方向垂直与CA。牵连速度ve：veOA 2e ，方向垂直与OA，

7、指向左方；动系：Cx1y1固结于凸轮。第36页/共124页解：1、选择动点、动系，运动分析与速度分析对于动点A，在 t 瞬时绝对速度va：ve为所要求的未知量，方向沿着铅垂方向向上；相对速度vr：大小未知，方向垂直与CA。牵连速度ve：veOA 2e ，方向垂直与OA，指向左方；动系：Cx1y1固结于凸轮。动点：顶杆上A点;第37页/共124页解：2、加速度分析aa:大小未知，为所要求的量，沿着AB，假设指向上方；ar:arn=vr2/AC，沿着AC，指向C；aen:aen=OA 2，沿着OA，指向O；ar 大小未知，垂直于 AC，指向未知，假设指向右上；aC:沿着CA，指向左上 2 rCva

8、 arnaaaCar第38页/共124页解：3、应用速度合成定理确定顶杆AB的速度 va 绝对速度va：ve为所要求的未知量，方向沿着铅垂方向向上。由速度平行四边形e332va vetan30o同时求得相对速度evv3342ar第39页/共124页aen=OA 2=2e 2，eeACva3316222rnr29316eeva33422rC2338e解：3、应用加速度合成定理确定顶杆AB的加速度 aaarnaaaCar第40页/共124页arnaaaCar解：3、应用加速度合成定理确定顶杆AB的加速度 aaaen=OA 2=2e 2，2nr9316ea2C338ea将Creaaaaa向aC方向投

9、影cos30cos30nenrCaaaaa22a3)9316338(23eea2a92ea第41页/共124页2a92eaarnaaaCar第42页/共124页第43页/共124页第44页/共124页xyAB第45页/共124页ABxy第46页/共124页ABxy第47页/共124页ABxy第48页/共124页ABxy第49页/共124页OvOaO第50页/共124页OvOaOxy第51页/共124页OvOaOxy第52页/共124页OvOaOaAOA第53页/共124页OvOaOBanBOatBOaO第54页/共124页A第55页/共124页解：由已知条件，OA杆和套筒C均作定轴转动；AB杆

10、作平面运动。现已知AB杆上A点的速度和加速度，欲求B点的速度和加速度，需先求AB杆的角速度和角加速度。因AB杆在套筒中滑动，所以AB杆的角速度和角加速度与套筒C的角速度和角加速度相同。所以：以A为动点，套筒C为动系，则其绝对运动为以O点为圆心，OA为半径的圆周运动；相对运动为沿套筒C轴线AB的直线运动；牵连运动为绕C轴的定轴转动。第56页/共124页va=ve+vr rv arv23rrv21e4eeACv第57页/共124页tnaeerCa=a+a+a+a2ara 22ene8rACa2reC432rva第58页/共124页otaeCcos30aaat2e34art2ee38aaAC tna

11、eerCa=a+a+a+a2ara 22ene8rACa2reC432rva第59页/共124页第60页/共124页第61页/共124页,0DAADvvOA第62页/共124页解：1、速度分析 各速度如图中 所示，由 va=ve+vr Dvv aooracos60cos600 5m/s.vvOAooeasin60sin600 433m/s.vvOA19.61e1DOv解得 第63页/共124页2 OAaA0nBAat23BAAaat23BAADaaAB 第64页/共124页t23BAAaa32ABaBAADtnaeerCaaaaaaDtnaaaaDADADA第65页/共124页tnaeerCa

12、aaaaaDtnaaaaDADADAtnneerCaaaaaaaADADA2 OAaAtDAADaAD211neDOar1C2va0nDAa第66页/共124页tteCcos60cos30ADAaaaatnneerCaaaaaaaADADA2 OAaAtDAADaAD211neDOar1C2va0nDAa第67页/共124页tt322eCADAaaaat21178 2rad/se.aO D tteCcos60cos30ADAaaaa第68页/共124页第69页/共124页第70页/共124页第71页/共124页第72页/共124页第73页/共124页第74页/共124页第75页/共124页 凸

13、轮顶杆机构中半径为R的半圆形凸轮以等速度v0沿水平轨道向右运动，带动顶杆AB沿铅垂方向运动，如图所示，试求=60时，顶杆AB的速度。ABv0nR例题1第76页/共124页ABnROxy v01.选择动点，动系与定系。动系Oxy，固连于凸轮。绝对运动直线运动。牵连运动水平平动。动点 AB的端点A。相对运动沿凸轮轮廓曲线运动。定系固连于水平轨道。例题1解答【解】：2.运动分析。第77页/共124页3.速度分析。绝对速度va a：大小未知，方向沿杆AB AB 向上。相对速度vr：大小未知，方向沿凸轮圆周的切线。牵连速度ve：ve=v0，方向水平向右。ABnRvavev0vr00ea577.060 c

14、ot cotvvvv 此瞬时杆AB的速度方向向上。reavvv应用速度合成定理第78页/共124页 军舰以20节（knot，1节=1.852 kmh-1）的速度前进，直升飞机以每小时18 km的速度垂直降落。求直升飞机相对于军舰的速度。例题2第79页/共124页1.选择动点，动系与定系。动系Oxy，固连于军舰。2.运动分析。绝对运动垂直向下直线运动。相对运动直线运动。牵连运动水平方向平动。动点直升飞机。OxyM定系固连于海岸。例题2解答【解】：第80页/共124页-12a2erhkm 18.41 vvv486.0 tanea vv 92.25 reavvv3.速度分析。绝对速度va：大小已知，

15、方向沿铅垂方向向下。相对速度vr：大小方向均未知，为所要求的量。牵连速度ve：大小已知，方向水平向右。OxyMvevavr应用速度合成定理第81页/共124页 M点沿直管运动，同时这直管又在图示固定平面内绕定轴O转动。已知r=OM 和转角的变化规律：求M点绝对速度和加速度的表达式。OxxyyM例题3第82页/共124页1.选择动点，动系与定系。动点点M。动系 Ox y固连于直管。2.运动分析。绝对运动 平面曲线运动。牵连运动直管绕O作定轴转动。相对运动沿动直管的直线运动。xyOxyM定系固连于机座。例题3解答【解】：第83页/共124页3.速度分析。绝对速度va：大小和方向未知。OxxyyMv

16、avr=varve=va牵连速度ve：大小 ，方向垂直于向直管向左上。trvdde相对速度vr：大小 ，方向沿直管向右上。dtdrvr reavvv由点的速度合成定理dtdrvvrar dtdrvvea M点的绝对速度va的大小222a2ara)dtd(rdtdrvvv 第84页/共124页角度可由右式确定 rrvvtg aarOxxyyMarTaC4.加速度分析。Crenetaaaaaa由加速度合成定理绝对加速度aa：待求。牵连加速度切向分量ate：，垂直于管向上。22teddtra 牵连加速度法向分量ane:，方向沿MO。2ne)dd(tra 22rddtra 相对加速度ar：，方向沿管向

17、上。第85页/共124页trtvadddd22rC科氏加速度aC：，垂直于管向上。Crenetaaaaaa 把上式投影到径向Ox 和横向MT，得绝对加速度的径向投影和横向投影222raddddtrtratrtrtrttradddd1dddd2)dd(222a故M点绝对加速度aa的大小2222222a2raa)dd(dd1)dd(dd trtrtrtraaa 第86页/共124页 图示一往复式送料机，曲柄OA长l，它带动导杆BC和送料槽D作往复运动，借以运送物料。设某瞬时曲柄与铅垂线成角。曲柄的角速度为0，角加速度为0，方向如图所示，试求此瞬时送料槽D的速度和加速度。DBCAO00例题4第87页

18、/共124页DBCAO001.选择动点，动系与定系。动系O xy，固连于导杆BC。2.运动分析。绝对运动以O为圆心的圆周运动。相对运动沿导杆滑槽的铅垂直线运动。牵连运动导杆BC 沿水平直线的平动。动点滑块A。Oxy定系固连于机座。例题4解答【解】：第88页/共124页DBCAO00Oxy3.速度分析。绝对速度va：va=l 0，方向与OA垂直。相对速度vr：大小未知，方向沿导杆滑槽向上。牵连速度ve：所求的送料槽的速度，方向水平向右。vevavrreavvv 应用速度合成定理coslcosvvv0aeD 求得：第89页/共124页DBCAO00Oxy4.加速度分析。绝对加速度法向分量aan：a

19、an=l 02，沿着AO。相对加速度ar：大小未知，方向沿O y 轴牵连加速度ae：大小未知，为所要求的量，方向水平，假设向右。绝对加速度切向分量aat：aa t=l0，方向与OA 垂直，指向左下方。aeaataanar第90页/共124页应用加速度合成定理retanaaaaa投影到O x轴，得到 enatasincosaaa 于是，求得)sincos(200e la 即为导杆和送料槽D的加速度aD，其中负号表示在此瞬时ae的指向与图中所假设的相反。DBCAO00O xyaeaataraan第91页/共124页 曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA以匀角速度转动。已知曲柄OA长为R，连杆AB长为l。

20、当曲柄在任意位置 =t 时，求滑块B的速度。BAOxy例题5第92页/共124页B AOxyvAvAvBvBA因为A点速度 vA已知，故选A为基点。应用速度合成定理，B点的速度可表示为 其中vA 的大小 vA=R 。1.基点法)sin()2sin()2sin(BBAAvvv由速度合成矢量图可得例题5解答【解】：BAABvvv vAvBvBABxy22第93页/共124页 cos)sin()2sin()sin(RvvAB所以 sinsinlR 其中 可求得连杆AB 的角速度 coscos)2sin()2sin(lRlvlvABAAB顺时针转向。vAvBvBABxy22BAOxyvAvAvBvBA

21、第94页/共124页将 代入上式有：,-90 ,rvA)sin(cos ABvv应用速度投影定理，有：cos cos BAvv AvABOxyvB90o-2.速度投影法 cos)sin(cos)sin(RvvAB求得第95页/共124页 在图中，杆AB长l，滑倒时B 端靠着铅垂墙壁。已知A点以速度u沿水平轴线运动，试求图示位置杆端B点的速度及杆的角速度。ABuO例题6第96页/共124页ABvO解法一、选A点为基点，A点的速度vA=v，则B点的速度可表示为 BAABvvv 式中vB方向沿OB向下，vBA方向垂直于杆AB，由速度合成矢量图可得,tan vvB,sin vvBA AB sin1 l

22、vlvBAAB所以(逆时针 )例题6解答【解】：第97页/共124页ABO解法二、也可以选B点为基点，则A点的速度可表示为 ABBAvvvvA=vvBvAB式中vB方向沿BO向下，vAB方向垂直杆AB，且vBA=ABAB，但AB未知，而vA=v。由速度合成矢量图可得ABvB,tan vvB,sin vvBA sin1 lvlvBAAB所以(逆时针)第98页/共124页ABOABv 因为杆AB上A点的速度已知，B点的速度方向也已知，故可求出杆AB的速度瞬心在C 点。cot cos sin vllvBCvABB所得结果自然与前相同，但求解步骤却简单得多。注意到 vA=v，所以可以求得CvvB si

23、nlvACvAB(逆时针)第99页/共124页 图示机构中，曲柄OA以角速度0顺钟向转动。设OA=AB=r，BD=r ，在图示瞬时，O，B，C 在同一铅直线上，试求此瞬时点B和C的速度。03060ODCAB例题7第100页/共124页03060ODCAB1.分析作平面运动的连杆AB。已知杆上 A，B 两点速度的方向。由A和B 分别作出 vA 和 vB 的垂线，所得交点C1 就是杆 AB 的速度瞬心。并且230sin1rABAC 所以，杆AB的角速度00122 rrACvAAB（逆时针转向）vBvAABC1 速度瞬心法连杆AB 和BC 均作平面运动。例题7解答【解】：第101页/共124页此后就

24、可以用瞬心法求B点的速度。因为2330 cos1rABBC所以，B 点的速度大小等于003223 rrvB 方向如图。03060ODCABvBvAABC1第102页/共124页03060ODCABvBvAABC1 已知杆上B，C 两点速度的方向。得交点C2 就是杆BC 的瞬心。点C 的速度大小002222323330cos rrvBCvCCCCvBBBCC 方向如图。2BCvBBC （顺时针转向）vCBCC2杆BC 的角速度2.分析作平面运动的连杆BC。第103页/共124页 曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA长R，连杆AB长l。设曲柄以匀角速度沿逆钟向绕定轴 O 转动。试求当曲柄转角为 时滑块B

25、的加速度和连杆AB的角加速度。OAB 例题8第104页/共124页OABvA因为A点速度 vA已知，故选A为基点。应用速度合成定理，B点的速度可表示为 其中vA的大小 vA=R 。vB=vA+vBAvAvBvBA先求连杆AB的角速度)sin()2sin()2sin(BBAAvvv由速度合成矢量图可得例题8解答【解】：第105页/共124页OABvA RvBAcoscos 所以 sinsinlR 其中 可求得连杆AB 的角速度 coscos lRlvBAAB顺时针转向。vAvBvBABxy22vAvBvBA第106页/共124页选点A为基点，则滑块B的加速度为 其中，基点A 加速度的大小为ntB

26、ABAABaaaa2n RaaAA ABBAABa t 方向沿AO；动点 B 绕基点 A 相对转动的切向加速度的 大小为连杆的角加速度 AB 尚属未知。暂时假定 AB 沿逆钟向，故 如图所示。tBAa求滑块B的加速度。OABaAaAatBAanBAaB第107页/共124页滑块B 的加速度aB方向为水平并假定向左，大小待求。n)cos(cosBAABaaa n)cos(cos1BAABaaa 求 的大小时，为消去未知量 ，把式 投影到与 相垂直的方向BA 上得：BanBAtBAABaaaa tBAatBAa从而求得滑块B的加速度2nABBAABa 相对转动法向加速度 的大小为 nBAaOAB

27、aAaAatBAanBAaB第108页/共124页转向为逆时钟向。同样，把 投影到铅直轴 y上，有ntBABAABaaaa连杆AB的角加速度)sinsin(cos1nt BAABAaaa )sinsin(cos1nt BAABAABaalABa 从而求得 sin cos sin0ntBABAAaaa 求连杆AB的角加速度。yOABaAaAatBAaBanBA第109页/共124页 如图所示，在椭圆规的机构中，曲柄OD以匀角速度绕O轴转动，OD=AD=BD=l，求当 时，规尺AB的角加速度和A点的加速度。yOBAxD例题9第110页/共124页 曲柄OD 绕O轴转动，规尺AB作平面运动。AB上的

28、 D点加速度 ，取AB上的D点为基点，A点的加速度laD2 ntADADDAaaaa设规尺 AB 的角速度为AB，可由基点法或瞬心法求得：AB其中 的大小 ，方向沿AB。atAD 大小未知，垂直于AD，其方向暂设如图。因为A点作直线运动，可设aA的方向如图所示。ADaABAD 2n nADayOBAxDaDaDaAlADaABAD22n 则例题9解答【解】：第111页/共124页n)2cos(cosADDAaaasincos sin0ntADADDaaalllaaaADDA222n60cos60cos cos)2cos(0cossin)(cossinsin22nt llaaaADDAD0t A

29、DaADAB ntADADDAaaaa。yOBAxDaDaDaA第112页/共124页 如图所示平面机构，滑块B可沿杆 OA滑动。杆BE与BD分别与套筒B铰接，BD杆可沿水平导轨运动。滑块E以匀速v 沿铅直导轨向上运动，杆BE长为 。图示瞬时杆OA铅直，且与杆BE夹角为 。求该瞬时杆OA的角速度与角加速度。OEBDllOA45vA例题10第113页/共124页由v及vB方向可知此瞬时点O为BE杆的速度瞬心，所以有lvOEvBE vOBvBEB 以E为基点，B点的加速度为ntBEBEEBaaaa OEBDllOA45vAvBaB 杆BE作平面运动，可先求出套筒B的速度和加速度。套筒在OA杆上滑动

30、，并带动杆 OA转动 ，可按复合运动方法求解杆OA的角速度和角加速度。1.求B点的速度。2.求B点的加速度。例题10解答【解】：第114页/共124页沿BE方向投影上式，得n45 cosBEBaa lvaaBEB2n245 cos lvBEaBEBE22n2 ntBEBEEBaaaa 从而求得OEBDllOA45vAvBaB由于滑块E作匀速直线运动，故aE=0。的大小为nBEa第115页/共124页式中va=vB；牵连速度ve其方向垂直于OA，因此与va同向；相对速度vr沿OA杆，即垂直于va。显然有应用速度合成定理reavvv,eavv ,0r vvvvB e于是得杆OA的角速度3.求OA杆

31、的角速度。上面用刚体平面运动方法求出了B点的速度和加速度。由于B 滑块可以在OA杆上滑动，因此可利用点的复合运动方法求解杆OA的角速度和角加速度。OEBDllOA45vAvrveva动系固连于OA杆。动点滑块B。lvOBvOA e（逆时针转向）第116页/共124页OEBDllOA45vAaa牵连法向加速度lvOBaOA22ne 滑块B的绝对加速度Baa a 滑块B的相对运动为沿OA的直线运动，此瞬时，vr=0，故相对加速度 ar=0。4.求杆OA的角加速度。rneteaaaaa 应用加速度合成定理牵连切向加速度沿BD杆。第117页/共124页故杆OA的角加速度为将上式投影到与ar垂直的BD线

32、上，得teaaa lvaaB2te2 则滑块B的牵连切向加速度为 22te2lvOBaOA （顺时针转向）OEBDllOA45vAaaOA第118页/共124页aABACBEDvBaBvA 如图所示平面机构，AC杆铅直运动，BD杆水平运动，A为铰链，滑块B可沿槽杆AE中的直槽滑动。图示瞬时,AB=60 mm，求该瞬时槽AE杆的角速度及角加速度。例题11第119页/共124页BACBEDvB为槽杆上与滑块B重合的B点的速度，其大小和方向均未知。B vveBvv a式中，vr方向沿AE，大小未知；有三个待求量，无法作出速度平行四边形。式vA中已知；vBA方向垂直于AE，大小未知；vB 大小、方向均

33、未知。1.求槽杆AE的角速度。vAvrva=vB本题为刚体平面运动和点的复合运动综合问题。先用点的复合运动理论分析，动系固连于槽杆AE。定系固连机座。动点滑块B。reavvv由速度合成定理，有（1）再对作平面运动的槽杆AE，以A为基点，有ABABvvv（2）vA例题11解答【解】：第120页/共124页ABABvvv60 cos30 cosr60sin30sinvvvAB1smm 330ABv1rsmm 10v将上式分别投影到vBA及vr方向，有从而解得故槽杆AE的角速度为reavvvABABvvvrvvvvABAB得联立上面（1）、（2）两式1srad 866.023ABvABAE（顺时针）

34、BACBEDvBvAvrva=vBvAAE第121页/共124页再对作平面运动的槽杆AE，以A为基点，B点的加速度2.求槽杆AE的角加速度。2rCsmm 32.173102vaAE,aBaa ar方向沿AE，大小未知；B aae其大小和方向均未知。式中 smm 4522nABaAEAB式中BACBEDaAaBaAaa=aBaraC同理先用点的复合运动理论分析，动点、动系与定系的选取与上相同，则有Creaaaaa（3）ntABABABaaaa（4）第122页/共124页CrntaaaaaaABABAB分别投影到atBA及vr方向，得解得故槽杆AE的角速度Ct30sin30cosaaaaABABrn30cos30sinaaaaABAB smm 32.172tABa2rsmm 65aBACBEDaAaBaAtABanABaaa=aBaraCAE联立上面（3）、（4）两式有 srad 289.02tABaABAE（逆时针）第123页/共124页感谢您的观看！第124页/共124页